Estoy luchando por comprender el concepto de varianza asintótica. El contexto es el procesamiento de series de tiempo geofísicas con métodos robustos que se emplean.
Los métodos con un punto de ruptura muy alto generalmente tienen una eficiencia relativa asintótica más pequeña en la distribución gaussiana que LS. Esto significa que cuanto mayor sea la robustez del estimador, mayor será la varianza asintótica. Para lograr las mismas incertidumbres en los parámetros mediante el procedimiento robusto, se requieren más mediciones.
¿Alguien puede explicar esto?
Comentarios
- No está claro cuál es su confusión acerca de la " varianza asintótica " por decir. Parece estar confundido por el concepto de eficiencia relativa asintótica, no por varianza asintótica.
- @Bey, los dos están íntimamente relacionados, ya que el A.R.E. es una razón de varianzas asintóticas. (También creo que te refieres a " per se " allí.)
- @Glen_b sí, me refiero per se, y sí, están muy relacionados, pero por supuesto en el terreno de los métodos gaussianos, no robustos, robustos los métodos requieren más muestras. Quería aclarar por qué esto era contrario a la intuición, pero veo que hay una respuesta aceptada, por lo que Matt pude abordar el problema.
- Eficiencia relativa asintótica .
Respuesta
Un estimador robusto es aquel que no cambia o cambia muy poco cuando se introducen nuevos datos o se violan supuestos. Por ejemplo, la mediana es un estimador más robusto que la media porque si agrega una observación relativamente grande a su conjunto de datos, su mediana cambiará muy poco mientras que su media cambiará mucho más.
Al ajustar un modelo de regresión lineal, obtenemos estimaciones de parámetros y errores estándar asociados de nuestras estimaciones. Uno de los supuestos del modelo de regresión lineal es la igualdad de varianza, es decir, independientemente del valor de $ x $, los errores se distribuirán con la media $ 0 $ y la desviación estándar $ \ sigma $. En el caso de que se viole esta suposición, podemos preferir utilizar errores estándar robustos que son generalmente errores estándar más grandes que explicarán cualquier violación de nuestra suposición de igualdad de varianzas. (Esta violación se conoce como heterocedasticidad.)
Cuando usamos errores estándar robustos, nuestros errores estándar (y de manera equivalente, nuestras varianzas) son generalmente mayores de lo que serían si no lo hiciéramos «t use errores estándar robustos. Denotemos» s el error estándar robusto como $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $ y el error estándar «típico» (no robusto) como $ \ frac {\ sigma_T } {\ sqrt {n}} $. Debe quedar claro que, cuando el error estándar robusto es mayor, $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} > \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt { n}} $. También debe quedar claro que, asintóticamente, el error estándar robusto será mayor que el error estándar «típico» porque podemos cancelar el $ \ sqrt {n} $ en ambos lados.
Vamos a «s digamos que nuestro error estándar «típico» es $ k = \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt {n}} $. Entonces $ k < \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $. Para que el error estándar robusto sea igual a $ k $, debemos aumentar $ n $ (también conocido como recopilar más observaciones / muestra).
¡Espero que esto tenga sentido!
EDITAR: Vea el enlace incluido y los comentarios a continuación para una breve discusión sobre cuándo se producirán los errores estándar robustos ser mayor que los errores estándar «típicos» (no robustos). http://chrisauld.com/2012/10/31/the-intuition-of-robust-standard-errors/
Comentarios
- ¡Es posible construir casos en los que los errores estándar robustos son en realidad más pequeños que los estándar!
- Christoph, editaré mi respuesta apropiada . Estoy ' interesado en saber cuándo un $ \ sigma $ más grande se correlaciona con un $ (x_i- \ bar {x}) $ más pequeño porque eso parece contradictorio y, aunque no imposible, extremadamente improbable. Parece que usted implica tanto en su respuesta – que es posible construir un caso tal que esto ocurra – pero sería interesante ver con qué frecuencia esto surge en datos reales y no en casos patológicos.