Estoy auto-estudiando electrodinámica y quiero saber qué se entiende por potencial . Entiendo el concepto de energía potencial , pero ¿qué se entiende por potencial? ¿Es lo mismo que un campo, como la gravitación o el electromagnético?
Respuesta
El potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica son dos conceptos diferentes pero están estrechamente relacionados entre sí. Considere una carga eléctrica $ q_1 $ en algún punto $ P $ cerca de la carga $ q_2 $ (suponga que las cargas tienen signos opuestos).
Ahora, si liberamos la carga $ q_1 $ en $ P $, comienza a moverse hacia cargar $ q_2 $ y por lo tanto tiene energía cinética. La energía no puede aparecer por arte de magia (no hay almuerzo gratis), así que ¿de dónde viene? Proviene de la energía potencial eléctrica $ U $ asociada con la atractiva fuerza eléctrica «conservadora» entre los dos cambios. Para contabilizar la energía potencial $ U $, definimos un potencial eléctrico $ V_2 $ que se configura en el punto $ P $ por cargo $ q_2 $.
El potencial eléctrico existe independientemente de si $ q_1 $ está en el punto $ P $. Si optamos por colocar el cargo $ q_1 $ allí, la energía potencial de los dos cargos se debe cargar $ q_1 $ y ese potencial eléctrico preexistente $ V_2 $ tal que:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Puede usar el mismo argumento si considera chage $ q_2 $, en ese caso la energía potencial es la misma y viene dada por: $$ U = q_2V_1 $$
Respuesta
En el lenguaje del cálculo vectorial:
La palabra potencial se usa generalmente para denotar una función que, cuando se diferencia de una manera especial, le da un campo vectorial. Estos campos vectoriales que surgen de potenciales se denominan conservadores . Dado un campo vectorial $ \ vec F $, las siguientes condiciones son equivalentes:
- $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
- $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
- $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ para cualquier ciclo cerrado $ C $ (de ahí el nombre «conservador»)
La función $ \ phi $ que aparece en $ (2) $ se llama potencial de $ \ vec F. $ Entonces, cualquier campo vectorial irrotacional se puede escribir como el gradiente de una función potencial.
En electromagnetismo específicamente, la ley de Faraday nos dice que $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} $. Para campos magnéticos que no varían con el tiempo (electrostática) obtenemos que $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ y por lo tanto $ \ vec E = – \ nabla V $ donde $ V $ es el potencial de $ \ vec E $. Esto es exactamente lo que llamamos al potencial eléctrico o «voltaje» si no eres un físico. En el caso de la electrodinámica donde $ \ frac {\ parcial \ vec B} {\ parcial t} \ neq 0 $ todavía existe una noción de potencial eléctrico, ya que podemos dividir el campo eléctrico en la suma de un campo irrotacional y un campo solenoidal. (esto se llama teorema de Helmholtz). Entonces podemos usar las ecuaciones de Maxwell para obtener que $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} $ donde $ V $ es el mismo potencial eléctrico y $ \ vec A $ es un campo vectorial que llamamos potencial vectorial .
El caso de la gravedad es análogo. Si $ \ vec g $ es un campo gravitacional irrotacional (que siempre es el caso en gravedad newtoniana) entonces $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ donde $ \ phi $ es el potencial gravitacional. Esto está estrechamente relacionado con la energía potencial gravitacional en que una masa $ m $ colocada en el campo gravitacional $ \ vec g $ tendrá energía potencial $ U = m \ phi $.
Comentarios
- +1 para la respuesta detallada. Sin embargo, las condiciones 1. y 3 .no son equivalentes en general. Es posible tener un campo vectorial tal que $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ y $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Ver para instancia ¿Por qué este campo vectorial no tiene curvas? .
- @Diracology Buen punto. Debemos exigir que $ \ vec F $ no ot divergen en un área limitada por $ C $. En general, asumiendo que 1. es cierto, tenemos que $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ donde $ S $ es una superficie con límite $ C $ y la primera igualdad es por Stoke ' teorema de s. Claramente, si $ \ vec F $ diverge en $ S $, encontraremos algunos problemas con estas igualdades.