Matemáticamente, una integral de ruta es una generalización de una integral. En las integrales habituales de $ N $ -dimensionales, se integra $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ sobre un subespacio de $ {\ mathbb R} ^ N $, una integral $ N $ -dimensional. Una integral de trayectoria es una integral de dimensión infinita $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ sobre todas las funciones posibles $ f (y) $ de una variable $ y $, que puede ser un número real o un vector. Los valores de las funciones $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ etc. juegan el mismo papel que las variables $ x_1 $, $ x_2 $ etc.en la integral multidimensional habitual .
Debido a que el índice $ i $ de $ x_i $ tomaba valores en el conjunto finito $ 1,2, \ dots N $, y ahora se reemplaza por la variable continua $ y $, la integral de ruta es una integral de dimensión infinita.
Los matemáticos rigurosos ven muchos problemas que impiden definir la integral de trayectoria de dimensión infinita utilizando la teoría de la medida. Pero los físicos saben que se pueden tratar integrales similares. Hay algunas «divergencias ultravioleta», etc. que se experimentan al intentar calcularlas, pero es posible que se resuelvan. En esencia, uno quiere usar todas las reglas naturales que se aplican a las integrales de dimensión finita. Por ejemplo, las integrales (de ruta) de una suma de dos funciones son la suma de dos integrales (de ruta), y así sucesivamente.
Las dos aplicaciones más importantes de las integrales de ruta en física se encuentran en el enfoque de Feynman a la mecánica cuántica, especialmente a la teoría cuántica de campos; y a la mecánica estadística.
En la mecánica estadística (clásica), uno quiere calcular la suma de partición $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ sobre todas las configuraciones $ c $ del sistema físico. Pero debido a que las configuraciones a menudo están etiquetadas por funciones completas $ f (y) $ – infinitos valores en todos los valores permitidos del argumento $ y $ – la suma no es «realmente un» suma». Ni siquiera es una integral de dimensión finita. Es una integral de trayectoria.
En mecánica cuántica, las amplitudes de probabilidad complejas, etc. se calculan como $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ es decir, como la ruta integral sobre todas las configuraciones de las variables $ \ phi (y) $ etc. El integrando es una fase – un número cuyo valor absoluto es uno – y el ángulo de fase depende de la acción clásica evaluada a partir de la historia posible $ \ phi (y) $. Los estados inicial y final $ i, f $ se incorporan integrando sobre aquellas configuraciones en los «tiempos intermedios» que obedecen a las condiciones de contorno apropiadas.
Casi toda la teoría cuántica de campos puede expresarse como un cálculo de algunas integrales de trayectoria. Así que, en este sentido, aprender «todo» sobre un camino integral equivale a aprender casi toda la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, lo que puede requerir entre un semestre y 10 años de estudio intenso, dependiendo de qué tan profundo quieras llegar. Seguramente no se puede cubrir en una respuesta de tamaño permitido en este servidor.
El cálculo de la ruta se integra con el integrando gaussiano, es decir, $ \ exp ({\ rm bilinear}) $, quizás con polinomio prefactores en las variables de integración, es quizás el ejemplo más importante o «más simple» de una integral de ruta no trivial que realmente necesitamos en física.
En mecánica cuántica, la integral de ruta representa la fórmula final explícita para cualquier Amplitud de probabilidad. La amplitud para cualquier transición del estado $ | i \ rangle $ al estado $ | f \ rangle $ puede expresarse directamente como una integral de trayectoria, y la probabilidad es el valor absoluto de la amplitud de probabilidad al cuadrado. La mecánica cuántica permite calcular se reduce a estas probabilidades, por lo que la integral de ruta representa «todo» en la mecánica cuántica (este párrafo se publicó originalmente como un comentario mío, y el usuario que propuso esta edición tenía una buena razón para hacerlo.)
Comentarios