Estoy tratando de usar la segunda ley de Kepler para encontrar la duración de la órbita de Venus. Estoy asumiendo órbitas circulares (usando la Tierra y Venus, excentricidad tan baja). Este es mi proceso:
Suponiendo que el radio de la órbita de la Tierra es de 150 millones de km, entonces el área barrida en un día es $ \ frac {1} {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ approx 194 \ text {millones de km} ^ 2 $ .
Venus debe barrer la misma área al mismo tiempo. Suponiendo un orbital radio de 108 millones de km para Venus, y usando $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ , podemos encontrar el ángulo central para el sector barrido, es decir, el ángulo recorrido en un día terrestre:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ implica \ theta = 1.90 ^ {\ circ} $ por día terrestre.
Por lo tanto, el período orbital debe ser $ \ frac {360} {1.90 } \ approx 189 $ días terrestres.
Por supuesto, el período orbital de Venus es $ 224.7 $ días terrestres. La diferencia entre 189 y 224.7 parece estar mucho más allá del error introducido por mi suposición de órbitas circulares.
¿Qué estoy haciendo mal?
Sé que esta es quizás una forma tortuosa de hacer este cálculo. Mi objetivo es escribir un ejercicio de matemáticas que use el área de sectores de una manera significativa.
Comentarios
Responder
Leyes de Kepler establece que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales a medida que se mueve en su órbita elíptica. No dice que diferentes planetas barran la misma área.
La ley de «áreas iguales» se puede derivar de la «conservación del momento angular». De hecho, dA / dt = L / (2m) (donde A es el área, L es el momento angular ym es la masa (reducida)).
Diferentes planetas barrerán diferentes áreas. Para calcular el período, usó la tercera ley de Kepler: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = período orbital, a = eje semi-mayor). Si , por conveniencia, toma a en AU y T en años terrestres, luego la constante $ k = 1 $ .
Para Venus, a = 0.72 . entonces $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ o aproximadamente 223 días.
La hiperfísica tiene una sección sobre Leyes de Kepler
+1por mostrar todo el trabajo y hacer una pregunta muy clara.