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¿Está el mundo en un caos ahora? Porque uno más uno no es igual a dos, al menos no todo el tiempo .
Tomar un litro de agua y un litro de arena. Súmalos juntos. ¿Qué sacas? Arena mojada, pero ciertamente no dos litros.
Tome un conejo y agregue un conejo. Súmelos juntos. Tienes una probabilidad razonable de terminar con bastante más de dos conejos, si esperas un tiempo suficiente.
Incluso en el ámbito de las matemáticas puras, uno más uno no es necesariamente igual a dos. Si «estás trabajando con módulo dos aritmética , 1 + 1 = 0. Si estás trabajando con módulo dos aritmética y 1 + 1 = 2, He hecho algo muy mal. – Además, no es como si la aritmética del módulo dos fuera una nota al margen oscura – su computadora la está usando ahora mismo en forma de «bit a bit xor» y las computadoras modernas no podrían funcionar sin ella. (Aunque es cierto que la aritmética del módulo dos es bastante simple en sus propiedades, por lo que no hay muchos matemáticos que se molesten en estudiarla).
Matemáticas se basa en axiomas (suposiciones sobre las propiedades de un sistema) y las implicaciones que se derivan lógicamente de esos sistemas. Si se descubre que una de esas implicaciones es «contrafáctica», entonces, o la lógica era inválida o uno de los axiomas era incorrecto para ese sistema. – Para ese sistema es un bit importante. El hecho de que algo sea contrafactual para un conjunto de axiomas no significa que es contra-factual para un conjunto diferente de axiomas.
Tome el axioma paralelo de Euclides. Incluya aquellos con el resto de los axiomas de Euclides y obtendrá la geometría euclidiana. Esta es la geometría «estándar» con la que usted y yo estamos familiarizados, y con la que operan una fracción sustancial de los matemáticos. Sin embargo , puede configurar diferentes geometrías donde esto no es válido . De hecho, la física moderna nos dice que en realidad estamos viviendo en una geometría no euclidiana; la física avanzada no funcionaría en una verdadera geometría euclidiana donde se cumple el axioma paralelo.
Ahora, ¿eso significa que las geometrías euclidianas? ¿Y el axioma paralelo está equivocado? No. Es una construcción matemática perfectamente válida que cientos de miles de matemáticos e ingenieros – y físicos – utilizan a diario. El hecho de que la geometría euclidiana tenga axiomas que produzcan resultados inconsistentes con el mundo observado no significa que la geometría euclidiana no sea válida, solo significa que esos axiomas no se aplican al sistema que estás observando. No significa que hayan ganado «No se aplican, o incluso que no son los mejores para usar, en alguna otra situación.
Así que 1 + 1 = 2 es una observación muy conveniente y se mantiene en muchos casos. Pero no todos. A veces 1 + 1 = 0, o algún otro número.El hecho de que los axiomas de la aritmética de números naturales estándar no sean válidos para un sistema en particular no significa que sean inválidos, simplemente significa que no son aplicables a ese sistema, y tienes que idear otro conjunto y otro. sistema aritmético.
O podría redefinir su sistema de modo que los axiomas se mantengan. (Eso es lo que las personas que escriben frenéticamente «Pero si tú …» están haciendo los comentarios a continuación. «Si los guardas en contenedores separados, si» ambas son mujeres, si ignoramos el módulo aritmético … «Si redefines cosas tales que los axiomas son válidos, las consecuencias lógicas de esos axiomas siguen lógicamente.)
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Como lo hará cualquier matemático decirle, 1 + 1 = 2 se sigue trivialmente de las definiciones, y no es un teorema. Su pregunta no tiene sentido.
Es como si usted declarara:
Defino que 1 zounce de fluido es exactamente 30 mililitros.
Pero, ¿y si resulta que estoy equivocado?
Es tu definición. No puede estar equivocado porque el fluido se mueve, antes de su definición, simplemente no existía.
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ecuación más fundamental
Su suposición es errónea. 1 + 1 = 2 no es un axioma de las matemáticas, sino (como señala Sputnik) una consecuencia de los axiomas de Peano aplicados a base 10 representaciones de números.
Se puede cambiar fácilmente de decimal (base 10) a unario (base 1) y diga:
1 + 1 = 11.
O cambie a binario (base 2, lo que realmente usa su computadora), y diga:
1 + 1 = 10.
Y por el simple hecho de hacerlo, puedo entrar en números romanos :
I + I = II.
Por lo tanto, hay representaciones en las que 1 + 1 es no 2 (e incluso sistemas en los que no tienes el glifo 1), pero el universo no ha implosionado pero por eso.
Ahora, ¿y si tu pregunta fuera más e …
¿Qué pasa si los axiomas de Peano contradice las observaciones del mundo natural?
En ese caso, mi respuesta sería doble:
- Las matemáticas basadas en los axiomas de Peano seguirían siendo útiles
- Los matemáticos encontrarían otra conjunto de axiomas que encajarían en el mundo natural, junto con las matemáticas basadas en esos nuevos axiomas
Para entender esto, tome por ejemplo newtoniano física : son un gran conjunto de reglas de las matemáticas construido sobre algunos axiomas que encajan muy bien con las observaciones del mundo natural.
Pero luego Einstein notó que algunos de los axiomas realmente no encajaban (en particular cuando las cosas van a la velocidad de la luz), y se le ocurrió la física relativista , que prácticamente invalida toda la física newtoniana.
Incluso sabemos que la física newtoniana está equivocada (porque se basa en un modelo demasiado simple), son una herramienta válida para muchos problemas.
Lo mismo ocurre con la aritmética basada en Peano: incluso si no encajan con alguna observación en el mundo natural, seguirían siendo buenas herramientas. Y como consecuencia de la falta de aptitud, otro conjunto de matemáticas podría derivarse de eso.
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Si 1 + 1! = 2, entonces 1 – 1! = 0, lo que significa que la carga de los protones en un núcleo ya no cancela la carga en los electrones. Así, todos los átomos adquieren una carga eléctrica neta y todos los cuerpos macroscópicos son atraídos (o repelidos) entre sí con una fuerza increíble: 36 órdenes de magnitud más fuerte que la gravedad. Esto machacaría todo el universo en una pulpa subatómica en un orden bastante corto …
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Lo que sucedería es conceptualmente muy simple. El artículo que demuestre que «¬1 + 1 = 2» se volverá a titular « La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es inconsistente » y se publicará.
De allí, se vuelve más difícil. Dependiendo de cómo funcione la demostración, deberíamos terminar con un nuevo teorema de conjunto más débil que resulte en la restauración de la consistencia. O algo peor; los Peano Axioms podrían no ser válidos con la consecuencia de, bueno, francamente no lo sé. Alguna operación a la que estamos acostumbrados desaparece, pero ganó «Es una suma. La suma de enteros no puede ser refutada en el ámbito finito (¡gracias a la ciencia!), por lo que se descarta algo más en el camino hacia la contra prueba. Quizás el manejo del infinito esté mal en todas las matemáticas. Quizás algo más. Lo siento si esto suena a especulación. De hecho, la especulación está en la pregunta. Depende un poco de qué tan grande sea el agujero que quieras hacer.
En el aspecto práctico, ya sabemos lo que sucede. . 1 + 1 = 2 seguirá siendo cierto para cualquier dominio y caso de uso razonable, por lo que continuaremos usándolo. Después de un tiempo, el modo de falla se entenderá y se excluirá cuidadosamente (o no tan cuidadosamente) como lo hacemos en Ciencias de la Computación para desbordamiento ahora.
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1 + 1 = 2 es una verdad necesaria — aproximadamente, una afirmación que es cierta en todos los mundos posibles. Por lo tanto, su pregunta está pidiendo verdaderos condicionales contrafácticos con antecedentes imposibles. A veces se les llama contraposibles (p. Ej., La sección 5.1 aquí ).
La vista tradicional solía ser que todas estas contraposiciones son trivialmente ciertas. Según este punto de vista, «si uno más uno no fueran dos, entonces q » sería cierto para q arbitrario. Más recientemente, varios filósofos han argumentado que dar sentido a la ciencia y el razonamiento cotidiano requiere una semántica de contraposibles que no implica trivialmente su verdad. Vea las referencias a este debate en la última entrada de SEP vinculada anteriormente.
En cualquier caso, tenga la seguridad de que uno más uno necesariamente equivale a dos.
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- " en todos los mundos posibles ". Esto es discutible. Puede haber un mundo que no podemos ' entender e incluso imaginar, ya que ' leyes lógicas (y aritméticas si es que existen allí) son completamente diferentes.
- @ rus9384 el consenso entre los teóricos que trabajan en este tema es que las verdades lógicas son necesarias. Suponiendo aquí que el OP no está interesado en cuestionar la verdad de los axiomas de Peano, entonces es necesario 1 + 1 = 2, que se deriva de estos axiomas. En la construcción de la necesidad del mundo posible, ser necesario significa ser verdadero en todos los mundos posibles. Debido a que, como usted dice, a veces necesitamos razonar sobre situaciones imposibles, algunas teorías funcionan con una noción de mundo imposible exactamente para este propósito.
- Entonces, ¿ese mundo es imposible, porque ' no podemos pensar en él? Las personas ciegas ' no pueden ver, pero ese ' no es el problema. Hay colores que otros animales perciben y que nosotros ' t no percibimos (a menos que la tecnología avance lo suficiente). Es solo para que nuestro sentido de la lógica no permita la percepción de otros sistemas lógicos. Y no podemos ' estar seguros de que los axiomas de Peano realmente funcionan en nuestro mundo. Incluso 1 + 1 = 2 puede ser impugnado a nivel cuántico.
- Bueno, digamos ' s esto: la posibilidad es una noción útil, ya que no todos los pozos -La oración formada en indicativo representa un posible estado de cosas. Tome una oración que exprese una de esas cosas imposibles. ¿Cómo deberíamos razonar sobre ellos? Algunos dicen: al postular mundos adicionales en los que per impossibile tales cosas son ciertas.
- @ rus9384 No ' no pienso 1+ 1 = 2 se puede disputar en cualquier nivel. Lo que podría cuestionar es que los axiomas de Peano modelan bien el mundo a nivel cuántico. Sin embargo, eso no ' no hace que 1 + 1 = 2 no sea cierto dados los axiomas de Peano.
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La prueba debe haberse realizado en algún tipo de sistema formal, de lo contrario no es tanto una prueba como un argumento persuasivo. Entonces, tenemos una prueba en algún sistema del enunciado 1 + 1! = 2.
Los filósofos en el tema de la lógica y los matemáticos mirarían de cerca los detalles de esta demostración. Dado que todos los sistemas formales en los que cualquiera está interesado demuestran lo contrario de esta afirmación, También probar esta afirmación demuestra que cualquier sistema que se usó es inconsistente. Por lo tanto, ese sistema ya no podría usarse para un trabajo serio. Por lo tanto, los lógicos habrían aprendido algo extremadamente importante sobre ese sistema lógico en particular, y querría saber qué otros sistemas resultará inconsistente con la misma técnica.
El universo no podría ser «arrojado al caos» a menos que uno crea en algún tipo de (me atrevo a sa y it: ¿mágico?) efecto por el cual el movimiento de las estrellas en la galaxia de Andrómeda se ve afectado significativamente por las marcas que haces en un papel en la Tierra. Supongo que un solipsista podría creer que el universo se sustenta únicamente en su creencia personal en la coherencia lógica y, por tanto, que el universo se alteraría fundamentalmente al leer esta prueba. La mayoría de la gente tiene suficiente fe en la existencia de una realidad externa, como para no creer que el universo tiene algún interés en las pruebas que los humanos producen o no producen.
Espero que los filósofos no estén interesados en la lógica y la prueba formal. Los sistemas ignorarían en su mayoría el resultado, al menos hasta que los lógicos les explicaran exactamente bajo qué condiciones ellos (los no lógicos) están usando realmente el mismo sistema defectuoso que prueba 1 + 1! = 2, y por lo tanto, qué razonamiento necesitan. dejar de usar.
Por supuesto, también depende hasta cierto punto de lo que quiere decir con refutar que 1 + 1 = 2. Uno podría imaginar una «prueba física» en lugar de una lógica formal. Si quiere decir que alguien ha demostrado que puede colocar una naranja en un recipiente vacío y luego colocar otra naranja en el mismo recipiente, y no se han agregado ni eliminado otras naranjas, y que el recipiente ahora contiene una cantidad de naranjas además de 2, se podría decir que han probado 1 + 1! = 2. Pero la expectativa de todos es que, en realidad, está involucrado algún tipo de proceso físico previamente desconocido que involucra naranjas. Entonces, si bien has descubierto algo que realmente cambia nuestras nociones de la naturaleza de la realidad, eso no se debe a que la «ecuación más fundamental» sea lógicamente incorrecta, sino a que las naranjas (u objetos físicos en general) aparentemente ya no obedecen a la aritmética y, por lo tanto, la ecuación ya no les es aplicable. Naturalmente, esto sería extremadamente preocupante, porque los humanos dependen todo el tiempo de poder contar cosas, por lo que la sociedad humana podría verse sumida en el caos.
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Quizás sea relevante para la discusión Matemáticas inconsistentes :
es el estudio de objetos matemáticos comunes, como conjuntos, números y funciones, donde se permiten algunas [ énfasis agregado ] contradicciones.
Y vea la discusión sobre Aritmética :
Una aritmética inconsistente puede considerarse una alternativa o variante en la teoría estándar, como una geometría no euclidiana.
Los axiomas estándar de la aritmética son los de Peano, y sus consecuencias, la teoría estándar de la aritmética, se llama PA . El modelo estándar de aritmética es N = {0, 1, 2, …} , zero y sus sucesores.
Los modelos no estándar consistentes son todos ex tensiones del modelo estándar, modelos que contienen objetos extra. Los modelos inconsistentes de aritmética son el dual natural, donde el modelo estándar es en sí mismo una extensión de una estructura más básica, que también hace que todas las oraciones correctas sean verdaderas.
La aritmética inconsistente fue investigada por primera vez por Robert Meyer en 1970. «s. Allí tomó la lógica paraconsistente R y le agregó axiomas que gobiernan el sucesor, la suma, la multiplicación y la inducción, dando al sistema R #.
En 1975 Meyer demostró que su aritema no es trivial, porque R # tiene modelos. En particular, R # tiene modelos finitos con un dominio de dos elementos {0, 1} , con la función sucesora se mueve en un círculo muy estrecho sobre los elementos.
Tales modelos hacen que todos los teoremas de R # sean verdaderos, pero mantienen ecuaciones como 0 = 1 simplemente falso.
¿Y qué? Tal vez podamos sobrevivir a un (¿limitado?) cantidad de inconsistencia .
Pero considere esto h-experiment, basado en un ejemplo intuitivo derivado del análisis de Graham Priest de la estructura general de modelos de aritmética inconsistente:
imagina el modelo estándar de aritmética, hasta un elemento inconsistente
n = n + 1 .
Se sospecha que esta n es una muy , número muy grande [ énfasis agregado ], " sin realidad física ni significado psicológico. " Dependiendo de sus gustos, es el número finito más grande o el número menos inconsistente. Además, imaginamos que para j, k > n , tenemos j = k .
Si en el modelo clásico j ≠ k , entonces esto también es cierto; por lo tanto, tenemos una inconsistencia, j = k y j ≠ k . Cualquier hecho verdadero de números mayores que n es verdadero de n también, porque después de n , todos los números son idénticos a n .
No se pierden datos del modelo coherente.
Pero ahora considere el caso de que n es muy grande pero no " sin significado psicológico " e imagina que tu cuenta bancaria suma una cantidad de n USD (o GBP o lo que sea).
A partir de ese momento la cuenta bancaria no crecerá más, sin " interrupción " en las leyes habituales de la aritmética.
¿Podemos considerarlo como un caso de " el universo será arrojado al caos " ?
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El teorema de Gödel dice a grandes rasgos que cualquier sistema matemático suficientemente útil es incompleto o contradictorio, es decir, hay enunciados que no se pueden probar o refutar, o hay enunciados que se pueden probar tanto verdaderos como falsos.
Hay muchas afirmaciones que no hemos podido probar verdaderas o falsas (pero eso podría deberse a que no fuimos lo suficientemente inteligentes), y no se ha demostrado ninguna contradicción (pero eso también podría deberse a que no fueron lo suficientemente inteligentes), por lo que no es inconcebible que se pueda probar «1 + 1 ≠ 2». 1 + 1 = 2 sería entonces simultáneamente verdadero y falso.
¿Qué pasaría?Sucedería una gran cantidad de palabrotas entre los matemáticos. Habría muchas discusiones sobre cómo podemos ignorar este hecho y quedarnos con matemáticas útiles. El universo no cambiaría.
Considerando la pregunta: «1 + 1 = 2» no puede y nunca será refutado (es decir, la prueba, que no es mucho más que la simple aplicación de axiomas, está probada lo que es remotamente posible es que además de la prueba de que es cierto, también puede haber una prueba de que es falso.
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Las matemáticas y / o la ciencia mejorarían.
Los matemáticos buscan y usan patrones para formular nuevas conjeturas; resuelven la verdad o falsedad de las conjeturas mediante pruebas matemáticas ( de wikipedia ). Podríamos argumentar que 1 + 1 = 2 se deriva de una definición y no de una prueba que hace que la pregunta sea discutible o mal formada. Pero su pregunta sigue siendo válida en un sentido más amplio. Una prueba matemática puede estar equivocada. Ya sucedió. Esta pregunta mathoverflow está llena de pruebas históricas y conjeturas que no son correctas. Cuando se descubre un error de este tipo, no Sucede la destrucción del universo. Simplemente dejamos de estar equivocados y acertamos, hemos mejorado nuestro conocimiento de las matemáticas.
Entonces, digamos que estamos trabajando con axiomas que no incluyen 1 + 1 = 2. Y que llegamos a 1 + 1 = 2 a través del razonamiento matemático y establecemos una prueba matemática para ello. Y digamos, por el bien del argumento, más tarde descubrimos que tal prueba es incorrecta, en realidad 1 + 1 = 3. No, eso no arrojaría al universo al caos. El universo era lo que era antes de que los humanos llegaran a el concepto de 1 + 1 = 2 (o eso supongo, yo no estaba realmente allí para observarlo, pero tenemos muchas buenas evidencias que nos ayudan a saber cómo era). Y cada vez que se ha demostrado que una prueba matemática es incorrecta, el universo ha no ha sido arrojado al caos. Lo que cambió fue nuestra comprensión de las matemáticas. Es razonable suponer que sería lo mismo para 1 + 1 = 3.
Hay una cosa que sería arrojada al caos. Matemáticos . Ahora que sabemos que 1 + 1 = 2 es falso, todas las pruebas que dependen de él son defectuosas. Defectuoso, no exactamente incorrecto. Las afirmaciones validadas por las pruebas que dependen de 1 + 1 = 2 pueden seguir siendo verdaderas, pero las pruebas antiguas no serviría para establecer esa verdad. Mucho material necesitaría ser revisado y reescrito, se produciría mucha discusión. Pero saldríamos más sabios de la en el caos.
¿Qué pasa con las teorías científicas que dependen de 1 + 1 = 2 ?. Como lo que se describe en otra respuesta a esta pregunta. No, esto no machacaría todo el universo en una pulpa subatómica en poco tiempo. El universo era lo que era antes de que descubriéramos 1 + 1 = 3 y seguiría siéndolo (supongo que ya que eso ha sucedido con otras pruebas refutadas). Dado que hubiéramos descubierto que las antiguas teorías científicas no explican adecuadamente el universo, se desarrollarían mejores modelos.
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Si tales cosas elementales se ponen en duda, entonces, a fortiori, son cosas mucho menos elementales, como los pasos del razonamiento necesarios para demostrar que uno y uno no suman dos. Por tanto, sería razonable dudar de tal prueba. De hecho, ignoraría la prueba, junto con la docena o más de otras afirmaciones increíbles que encuentro todos los días, como (sospecho) haría la mayoría de las personas.
Como resultado, esperaría que la prueba tienen tanto efecto en el mundo como una nueva demostración de trisección de ángulo euclidiana (como se ha presentado muchas veces antes). Es decir, ocuparía temporalmente a las relativamente pocas personas que decidieron mirarlo.
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Respuesta corta: Sí. Si pudieras probar que una afirmación tan elemental y aparentemente obvia es falsa, eso pondría en tela de juicio gran parte de lo que creemos saber sobre matemáticas y probablemente muchas otras cosas sobre el universo.
¿Y qué? A menos que tenga alguna evidencia de que esta afirmación es falsa, es una hipotética sin sentido. De hecho, he tenido muchas conversaciones en las que alguien me presentó algunas hipótesis sobre un tema complejo, como, «¿Y si se probara que esta política política que usted apoya no «¿no funciona?», o «¿Qué pasaría si Dios le ordenara hacer algo malo?», etc. Y mi respuesta generalmente es decir, «No creo que esa situación hipotética que usted describe sea probable que suceda». ¿Qué pasaría si alguien probara que 1 + 1 = 2 es falso? «
En un sentido matemático estricto, no veo cómo se puede probar que 1 + 1 = 2 es falso porque es verdadero por definición. la definición de «2» es «1 + 1». Al menos eso es lo que me enseñaron en la clase de teoría de números. Dada la complejidad de las matemáticas modernas, es probable que existan otras definiciones en otras ramas. Pero no se puede probar que una definición es falsa. Es verdadera por … definición.
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No le pasaría nada a la realidad – se quedaría como está. Sin embargo, necesitaríamos entonces un cambio en nuestra teoría del conteo, que repercutiría en otras teorías matemáticas que se basan en el conteo. Dado que esta ecuación de aritmética es efectivamente una definición de dos (ver, por ejemplo, la construcción de aritmética en sistemas de axiomas matemáticos), una prueba de que esta ecuación es incorrecta significaría que no podemos sumar válidamente uno y uno ( o más precisamente, cualquier sistema de axiomas que nos permita sumar uno y uno es lógicamente inconsistente). Eso requeriría que formulemos sistemas matemáticos de axiomas alternativos que eviten la inconsistencia. La realidad seguiría avanzando con normalidad mientras intentábamos resolver eso.
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No puedes refutar un axioma y axiomas de Peano establecen que 1 + 1 = 2.
Cambio de contexto, en lógica booleana + significa otra cosa y 1 + 1 = 1.
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- Yo ' estoy bastante seguro de que ' s lógica circular. básicamente dijiste que ' es un axioma porque ' está en una lista de axiomas.
- @ Ruadhan2300 Los axiomas de Peano son los axiomas habituales de la lógica. Puede considerarlo dogmático, pero es tan trivial como " Cada número tiene un sucesor. "
- No negando que los axiomas de Peano son definitivamente una fuente altamente creíble, pero " es ' cierto porque ' s true " sigue siendo un argumento extraño de hacer.