¿Qué queremos decir con el término “ Número de cosas ”?

El libro es muy antiguo: 2ª ed. 1903; 1st ed 1890.

Como puede ver en la nota al pie de la página 131, Cantor y Dedekind se mencionan como «contribuciones interesantes a la literatura del tema» …

Por lo tanto, no puede Esperamos que los conceptos introducidos al principio sin definición, utilizados como primitivos para «dilucidar» el siguiente tratamiento, puedan traducirse exactamente a nociones teóricas de conjuntos modernas (es decir, posteriores a 1930).

Creo que:

grupo debe significar una colección finita de objetos (cosas)

y eso:

cantidad de cosas en un grupo es «claramente» (de la discusión) el equivalente de la cardinalidad moderna (restringida a colecciones finitas ) y se llama una «propiedad» de la colección (grupo).

Mi interpretación es que cosas son «individuales», concretas o abstractas (si las hay). Por supuesto, es fácil pensar en ellos como objetos concretos, como piedras en un bolsillo o soldados en un pelotón.

Un pelotón es un grupo de soldados y el número de cosas en el pelotón es el número de soldados individuales que lo forman.

Esta interpretación tiene sentido también con respecto a la definición resultante de adición (ver CoolHandLouis «s respuesta).

Tenga en cuenta que aquí grupo tiene el significado» genérico «de colección o agregado; no tiene nada que ver con el término técnico» grupo «de teoría de grupos .

Cuando «abstraemos» de los «caracteres» de las cosas individuales (es decir, formamos sus propiedades individuales, como color, tamaño, forma para una colección de bolas) y del orden de los objetos de la colección (es lo mismo para el concepto «moderno» conjunto : {A, B, C} es «el mismo» conjunto que {C, B, A} ) lo que obtenemos es el «número» de las cosas del grupo (el número de miembros de la colección).

Recuerde r que la notación original de Cantor para representar el número cardinal del conjunto A era una «doble barra superior» sobre A:

el símbolo de un conjunto anotado con una sola barra superior sobre A indica A despojado de cualquier estructura además de orden, por lo tanto, representó el tipo de orden del conjunto. Una doble barra sobre A indicaba que se quitaba el orden del conjunto y, por tanto, indicaba el número cardinal del conjunto.

Comentarios

• ¿Qué queremos decir con el término Número de cosas en inglés general?
• @Anupam – Lo siento, pero ‘ no soy un hablante nativo de inglés. ‘ he buscado en el Cambridge Dictionary online : no hay una paráfrasis directa: la locución más similar I ‘ que hemos encontrado son » varias cosas de un tipo particular: decidí no ir, por varias razones. » Debemos usar la ‘ s locución como un » término técnico «.
• Creo que » group » no es el » conjunto » de nuestras matemáticas modernas. Un conjunto es una colección de objetos-abstractos por otro lado » grupo » es una colección de cosas (que no son abstractas). La teoría de conjuntos no tiene nada que ver con mi pregunta.
• No he ‘ t leído este trabajo, pero como alguien con más experiencia en matemáticas, la oración » grupo debe significar una colección finita de objetos (cosas) » me da vergüenza.
• @JamesKingsbery – pero » grupo » aquí no está previsto como en teoría de grupos ; el significado es » colección » o » agregado » de objetos individuales.

Prefacio

Proporcioné dos respuestas a esta pregunta:

• La otra respuesta es la mejor respuesta y es mi respuesta principal. Sugiere que el Sr. Fine se refiere a la teoría de conjuntos ingenua.

• Proporcioné esta respuesta porque el OP insistió en pensar que {A, A, A} contiene «tres elementos distintos «y publicó una recompensa. De lo contrario, no había absolutamente ningún OP convincente, así que ¿por qué no aceptar y obtener la recompensa? 🙂

  Las dos respuestas en realidad se complementan entre sí, ya que muestran cómo se pueden describir los mismos fenómenos matemáticos cambiando axiomas, definiciones y reglas en diferentes lugares. Dices TOE MAY TOE Yo digo TOE MAH TOE. Resulta que esta respuesta contiene una linda» prueba matemática «de que el Sr. Fine pensó que {A, A, A} representa tres elementos distintos». Pero siéntase libre de leer una actitud irónica en este respuesta.

Anupam,

Tiene razón, Sr. Fine considera {A, A, A} = 3.

Estoy enviando otra respuesta porque descubrí esto, pero quería dejar mi respuesta anterior por el bien de la historia. ¡Tienes razón! Henry Burchard Fine quiso decir tres cosas concretas, por lo que {A, A, A} se cuenta como tres. Su declaración no puede ser un error porque es su premisa principal para fundamentar toda su aritmética numérica, la base de todo su libro, comenzando con la suma:

Adición: Si dos o más grupos de cosas se juntan para formar un solo grupo, el símbolo numérico de este grupo se llama la suma de los números de los grupos separados.

Si la suma es sy el números de los grupos separados abc, etc. respectivamente, la relación entre ellos se expresa simbólicamente mediante la ecuación s = a + b + c + etc donde se supone que el grupo de suma se forma al unirse al segundo grupo al que b pertenece al primero el tercer grupo al que pertenece c al grupo resultante y así sucesivamente

La operación de encontrar s cuando se conocen abc, etc. es suma. La suma se abrevia contando.

6 Suma Si dos o más grupos de las cosas se juntan para formar un solo grupo, el símbolo numérico de este grupo se llama la suma de los números de los grupos separados Si la suma es sy los números de los grupos separados abc, etc., respectivamente, la relación entre ellos es simbólicamente expresado por la ecuación sab c + etc donde se supone que el grupo de suma se forma uniendo el segundo grupo al que b pertenece al primero el tercer grupo al que c pertenece al grupo resultante y así sucesivamente La operación de encontrar s cuando abc etc se conocen es la adición La suma se abrevia contando

• Dado a, b, c son «grupos / conjuntos»,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Sea d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Suma (d) = Suma (a) + Suma (b) + Suma (c)

• Ahora defina los grupos / conjuntos de la siguiente manera:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Suma (d ) = Suma (a) + Suma (b) + Suma (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Por lo tanto, el «operador de unión» del Sr. Fine debe crear d = {A, A, A} y suma ({A, A, A}) = 3.

• Si el «operador de unión» del Sr. Fine fuera una notación de conjunto normal, entonces d = {A} y no hay forma de que uno pueda obtener «3» de eso.

Por lo tanto, el Sr. Fine considera {A, A, A} = 3.

Este es el caso cuando A representa distintos objetos concretos, como 3 monedas en un bolsillo.

Comentarios

• No ‘ creo que esta sea la conclusión correcta. Creo que Fine solo asume que cuando » juntando los grupos » con el propósito de sumar, el » grupos » son disjuntos.
• ¿Está asumiendo que la letra $ A $ es » objeto abstracto » o » objeto concreto «. Si $ A $ se asume como un » objeto abstracto «, entonces $ a $, $ b $ y $ c $ todos tendrán $ 1 , 1,1 $ número de cosas en ellos, pero $ d $ no tendrá $ 3 $ número de cosas porque el término Número de cosas se define solo para » grupos » que tienen cosas distintas . Si asume $ » A » $ como un » objeto concreto » entonces todo está bien.
• +1 a su comentario arriba Anupam!Anupam, esa es probablemente la mejor pregunta que ‘ has hecho en los comentarios. ¡Bravo y +1 a esa pregunta! ¡Toda esta respuesta mía depende de lo que quise decir! Eso significa que no puede estar seguro de si esto es correcto o no, a menos que le diga si me refiero a » abstract » o » hormigón «. ¡Excelente! ¡Me encanta! Creo que esto es paralelo a la pregunta original sobre la intención de lo que quiso decir el Sr. Fine.
• » A » es un objeto concreto.

El trabajo que Lo primero que me viene a la mente es la Filosofía de la aritmética de Edmund Husserl. Él aborda con cierto detalle la dificultad obvia con el número: que para contar las cosas contadas deben ser ambas diferentes (por lo que puede haber más de una) y lo mismo (estás contando ciertas cosas). Cuando digo «tres manzanas», todas son iguales en un sentido (son manzanas) y todas son diferentes en otro (hay tres de ellas, que se distinguen por su relación si nada más)

Hay «multiplicidad» y «unidad» simultáneas. Esto lleva a la pregunta «igual en qué y diferente en qué».

Lo que más recuerdo de este libro es la discusión sobre la diferencia y la distinción. Es algo de lo que vale la pena hablar. Hay dos términos que se pueden contrastar, «diferente», «distinguido».

• Para distinguir entre dos cosas debemos hacer un juicio
• Diferente es una condición necesaria pero no suficiente para distinguir las cosas

En matemáticas todo lo diferente se distingue y se considera una totalidad de cosas distintas. Esto evita la parte complicada: el juicio humano.

Este juicio es a menudo fácil para nosotros. Está claro que percibimos muchas cosas como distintas y que el mundo «cristaliza» en objetos. Aunque esta percepción no siempre es Todo lo que se necesita para distinguir entre las cosas, en la mayoría de las situaciones del día a día es suficiente. Es sólo en los casos extremos donde necesitamos ir más allá de nuestra apariencia de objetos separados en el espacio, y usar algún otro modo de juicio.

La capacidad de distinguir entre cosas es el tema principal del campo científico de la psicofísica, que realmente comenzó alrededor de la década de 1890 y continúa hasta el día de hoy. Ha habido muchos escritos filosóficos sobre esta capacidad humana también, de hecho soy de la opinión de que es la cuestión principal de la filosofía (otros pueden no estar de acuerdo).

Para responder a su pregunta directamente: las matemáticas excluyen el juicio humano, por lo que al construir un sistema formal debemos comenzar después de que se haya hecho el juicio – lo hacemos asumiendo que sus objetos son todos distinguibles entre sí. Si los objetos en matemáticas no se pueden distinguir, se consideran iguales. Esto no es cierto para las cosas reales, que pueden ser diferentes pero no distinguibles.

Nota: Los detalles de cómo la aritmética se abstrae de los juicios humanos se tratan en el resto del libro de Husserl. Realmente no soy capaz de articularlo aquí. Creo que podría haber algunos problemas con él a la luz de una investigación científica reciente «numerosidad» . No seguro todavía.

Comentarios

• El problema de » Uno sobre muchos » se remonta a Platón; consulte el argumento del tercer hombre , pero nos da poca información sobre qué son los números y cómo apoyan el » proceso humano » de contar. Las matemáticas pueden establecer números como primitivos o intentar » explicarlos » mediante la teoría de conjuntos, utilizando los conceptos de correspondencia (números cardinales) y orden (números ordinales). Pero el problema sigue ahí: ¿qué son los números y por qué podemos » aplicarlos » a la realidad externa?
• @MauroALLEGRANZA Sí, es ‘ s antiguo, ‘ es la pregunta principal;) El resto de Husserl ‘ El libro trata sobre la relación entre la aritmética abstracta y el mundo, por lo que ‘ lo he mencionado en lugar de cualquier otra cosa. No ‘ t lo detallé porque es 1) bastante técnico (razón principal) 2) posiblemente incorrecto, y 3) no es necesario explicar » Por qué Mr. Fine ha limitado este término solo para aquellos grupos que tienen todos los elementos distintos. »
• I ‘ No digo que Husserl estuviera equivocado … Mi entendimiento personal es que Bien (¡1890!) intentaba » dilucidar » el concepto de número evitando al » platónico » sabor, es decir, evitando toda referencia a objetos » abstractos «. ‘ no estoy convencido de que Platón tuviera razón … pero ‘ estoy convencido de que hasta ahora no Se ha encontrado un argumento sólido para » que explica » qué números son que evitan todas las referencias a » abstract » objetos o conceptos.
• @MauroALLEGRANZA No ‘ quise decir que lo eras. Husserl es bastante crítico con la idea de que los números deberían estar restringidos a objetos físicos (específicamente Mill), dice » La mera alusión a actos o estados psíquicos, que seguramente se puede contar tan bien como el contenido físico, refuta [esto] «. Si se pueden contar objetos abstractos, una teoría que omita los objetos abstractos de referencia estaría incompleta. Pero quizás ‘ no te entiendo del todo.
• De nuevo estoy de acuerdo contigo; » amo a » G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (» Los fundamentos de la aritmética: una investigación lógico-matemática sobre el concepto de número «), Breslau, 1884 donde » demolió la teoría empirista de los números de » Mill ‘. Había conexiones (y contactos) entre H y F; ver por Claire Ortiz Hill, ¿Husserl o Frege? Significado, objetividad y matemáticas .

Prefacio

Proporcioné dos respuestas a esta pregunta:

• Esta respuesta es la mejor respuesta y sugiere que el Sr. Fine se refiere a la teoría de conjuntos ingenua. Además, no hay un gran intento de rigor aquí, y el Sr. Fine simplemente avanza hacia su tema de interés. Esta es mi respuesta principal.

• Proporcioné otra respuesta en este mismo hilo porque el OP insistió en pensar que {A, A, A} contiene «tres elementos distintos» y publicó una recompensa. De lo contrario, no había absolutamente ningún OP convincente, así que ¿por qué no aceptar y obtener la recompensa? 🙂

  Las dos respuestas en realidad se complementan entre sí, ya que muestran cómo se pueden describir los mismos fenómenos matemáticos cambiando axiomas, definiciones y reglas en diferentes lugares. Dices TOE MAY TOE Yo digo TOE MAH TOE. Resulta que la otra respuesta contiene una linda «prueba matemática» de que El pensamiento de Mr. Fine {A, A, A} representa tres elementos distintos. Puede ser interesante ver cómo defendí tal propuesta.

1. El libro hace referencia a la teoría de conjuntos ingenua

Es más fácil hacer referencia al siguiente enlace de Google Libros: El sistema numérico del álgebra: tratado teórica e históricamente « (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, publicado en 1907). El siguiente es el extracto en cuestión de este libro de 1907:

I. EL INTEGER POSITIVO Y LAS LEYES QUE REGULAN LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE INTEGERS POSITIVOS

1 Número. Decimos de ciertas cosas distintas que forman un grupo (por grupo nos referimos a un grupo finito que es uno que no se puede poner en una correspondencia uno a uno 2 con cualquier parte de sí mismo) cuando los convertimos colectivamente en un solo objeto de nuestra atención.

El número de cosas en un grupo es esa propiedad del grupo que permanece sin cambios durante cada cambio en el grupo que no no destruir los separatistas s de las cosas entre sí o su separación común de todas las demás cosas.

Dichos cambios pueden ser cambios en las características de las cosas o en su disposición dentro del grupo. Nuevamente, los cambios de disposición pueden ser cambios en el orden de las cosas o en la forma en que se asocian entre sí en grupos más pequeños.

Por tanto, podemos decir: El número de cosas en cualquier grupo de cosas distintas es independiente de los caracteres de estas cosas, del orden en el que se pueden organizar en el grupo y de la forma en que se pueden asociar entre sí en grupos más pequeños.

2 Igualdad numérica. El número de cosas en dos grupos de cosas distintas es el mismo cuando para cada cosa en el primer grupo hay una en el segundo y recíprocamente para cada cosa en el segundo grupo una en el primero. De ahí el número de letras en los dos grupos A, B, C; D, E, F, es lo mismo … [Mr. Fine sigue hablando de la correspondencia 1 a 1 – CoolHandLouis] …

Es Para cualquiera que tome una clase de nivel principiante «Teoría de conjuntos 101», este libro describe los fundamentos de la teoría de conjuntos. Podemos decir con seguridad que las referencias del Sr. Fine a un «grupo» son exacta y precisamente lo que ahora se conoce como un «conjunto», y a los «elementos» cuando describía «cosas distintas». (Como comentario al margen, este toda la publicación en realidad se refiere a lo que se llama «Teoría de conjuntos ingenua», pero eso es intrascendente para esta pregunta / respuesta).

Dado que el Sr. Fine se refiere a la teoría de conjuntos, y su libro fue escrito en 1907 , mi primera sugerencia es que se olvide completamente del Sr. Fine y busque en Google algunas buenas referencias para principiante» teoría de conjuntos « y también mira algunos de los videos cortos sobre el mismo tema.

Nota al pie de página del Sr. Fine» Por grupo nos referimos a un grupo finito que es uno que no se puede poner en correspondencia uno a uno con ninguna parte de sí mismo «es una evidencia muy fuerte de que él está hablando de una teoría de conjuntos (ingenua). Obviamente está evitando conjuntos infinitos, y basado en la historia de la teoría de conjuntos, que puede haber sido para pol razones ticas. No hay ninguna razón para que él sea contencioso en ese momento de su carrera, y todas las razones para ir a lo seguro, especialmente con este libro.

Pero esa es una meta-respuesta. Aquí hay una respuesta real:

2. Respuesta a la pregunta – Introducción

Primero, estandaricemos el resto del lenguaje de esta publicación al siglo XXI: Un conjunto es una colección de elementos distintos. Así que no hablemos más de «cosas» o «grupos». Y no importa si son concretos o abstractos, reales o imaginarios.

Cambiar los nombres de estos términos no en De cualquier manera, cambie cualquiera de los problemas que está encontrando. Las nuevas palabras se refieren exactamente a lo mismo que dijo el Sr. Fine. Todo es una cuestión de definición, y lo definiré todo a medida que avancemos para mostrarle la diferencia que está causando confusión.

3. Cómo está viendo «Distinto» y «Contando»

Primero, en cierto modo, tiene razón. Dentro de su propia comprensión personal / sistema de creencias / definiciones de «distinto», «colección», «conjunto de cosas» y «grupo», y cómo uno trata con ellos, está «concludi ng «que» tienes razón «. Y ni yo ni ningún matemático podemos argumentar contra su «rectitud» en este sentido. De acuerdo con sus definiciones y métodos de pensamiento, tiene toda la razón. Pero eso es solo el comienzo; eso no resuelve la confusión.

Vamos a inventar / inventar un sistema en el que tenga «razón». (Recuerde que también podríamos decir «grupos» y «cosas», pero estoy estandarizando a «conjuntos» y «elementos». Las palabras utilizadas no hacen «ninguna diferencia siempre que las definamos)

Reglas de la teoría de conjuntos no estándar según el póster original

• Un conjunto es una colección de elementos.
• Cada elemento está representado por uno o más símbolos (alfanuméricos).
• El tamaño del conjunto es el número total de elementos.
• OP «s Definición de Distinto: Cada elemento se considera» distinto «si aparece en una posición diferente, por lo que {A , A} contiene dos elementos distintos porque están en posiciones diferentes (posición uno y posición dos).

Pregunta: ¿Cuántos elementos hay en {A, A, A} según la por encima de las reglas no estándar de Ori Póster ginal? Respuesta: 3.

4. Cómo la teoría matemática de conjuntos (libro del Sr. Fine) define «distinción» y «conteo»

Ahora consideremos esto más a partir de la definición matemática estándar.

Reglas de la teoría matemática de conjuntos estándar

• Un conjunto es un colección de elementos distintos.
• Cada elemento está representado por uno o más símbolos.
• El tamaño de un conjunto es el número total de elementos.
• Definición de la teoría de conjuntos de distinto: Cada elemento se considera «distinto» si se puede determinar que es diferente a todos los demás elementos. Cuando se representa con letras y palabras, la solo preocupa porque la distinción es si los elementos tienen nombres diferentes o no. En matemáticas escritas, distintos = nombres diferentes.

Para el propósito de esta respuesta, algo llamado igual no es distinto, se refiere a lo mismo. Entonces {A, A} es como decir, {India, India}. Solo se refiere a un país, no a dos países. Se refiere al mismo país dos veces. Entonces, ¿cuál es el recuento? ¿El único país o las dos veces que se menciona? En la teoría de conjuntos, es el primero.

«¿Pero por qué?» podría preguntar. En cierto modo, puede pensar que esto es completamente arbitrario. «Es por definición». (Pero es así por una buena razón; hace que muchas otras cosas en la teoría de conjuntos funcionen bien, pero eso está más allá de esta discusión). Así que tienes que aceptarlo , al igual que «tenemos que aceptar que está en lo cierto con su definición».

Pregunta: ¿Cuántos países distintos hay en {Francia, Francia, Francia, Francia, India, India, India, Brasil, Brasil}? Respuesta: 3 porque el conjunto solo se refiere a tres lugares distintos = {Francia, India, Brasil}.

5. Monedas en su bolsillo

Es por esta razón y en aras de la simplicidad, simplemente agregamos otra regla a la teoría de conjuntos:

• No se permiten duplicados en los conjuntos.

¿Por qué? set es como una «bolsa de cosas» (concretas o abstractas). Por ejemplo, consideremos cuatro monedas en tu bolsillo izquierdo el lunes. Digamos que no sabemos qué son. Así que los llamamos C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Dada esta idea, hace no tiene sentido referirse a esto como {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. ¿Por qué referirse a la primera moneda tres veces? Ya está en su bolsillo. Solo necesita ser mencionado una vez. Ahora asignemos algunos atributos a las monedas:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0.01; Fecha = 1999; Peso = 2,4993399494 g; Condición = Menta
• C2 = Tipo = Penny; FaceValue = 0.01; Fecha = 1999; Peso = 2.4990044384 g; Estado = Bueno
• C3 = Tipo = Níquel; FaceValue = 0.05; Fecha = 2002; Peso = 5.0002292833 g; Condición = Muy buena
• C4 = Tipo = Níquel; FaceValue = 0.05; Fecha = 2003; Peso = 5,0010022229 g; Condición = Muy buena

Ahora que sabemos que dos de ellos son centavos, el conjunto de monedas en su bolsillo sigue siendo el mismo:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Pero ahora podemos preguntar cuántos tipos diferentes (distintos) de monedas hay en su bolsillo:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Muevamos las monedas C2, C3 y C4 a su bolsillo derecho el martes. ¿Qué hay en sus bolsillos el miércoles?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Comentarios

• Después de estudiar el concepto de type-token Dudo de la precisión lógica del libro de Fine ‘. Estoy construyendo una nueva pregunta relacionada con la nota a pie de página dada en » group $ {} ^ 1 $ «.
• No, espere por favor por el amor de todos ‘ … espere un poco. no es otra pregunta, esto es simplemente clavado. Dé tiempo a los que responden para que respondan a mi respuesta y a sus inquietudes. » Grupo » en Fine ‘ s libro es exactamente el conjunto de las matemáticas modernas. Usted ‘ se desviará completamente por otra tangente si lleva esto a otra pregunta.
• » Grupo » in fine ‘ s libro no es exactamente el conjunto en matemáticas modernas. Esta vez estoy en lo cierto.
• Ok, qué es tu prueba de eso. Dediqué mucho tiempo a esta respuesta, así que por favor, quédese conmigo un poco, ¿de acuerdo?
• Mi opinión personal es que los autores de preguntas, dado el servicio gratuito de un Respondedor, deberían votar a favor de todas las respuestas que proporcione algún valor, incluso si ‘ no es la respuesta correcta. Es ‘ una forma de decir: » Gracias por contribuir al proceso de encontrar la respuesta. » De manera similar, creo que cualquiera que responda una pregunta debería votar a favor de la pregunta; seguramente si dedicaron tiempo a contestar, debe tener algún valor. Sea generoso con los votos. Son muestras abstractas y gratuitas de apreciación / valor. Deje que otros voten a favor o en contra por méritos más estrictos. Es ‘ su elección, pero yo no ‘ rechazaría este tecnicismo.

P1: Dado que $ A $ y $ A $ no son distintos, solo $ A $ y $ B $ son distintos (a menos que seas rabioso y distingas «la primera gota de tinta que forma un $ A $» de «la segunda gota de tinta que forma un $ A $», pero eso hace que sea imposible mencionar correctamente cualquiera de estos $ A $ s como letra concreta (mancha de tinta) $ A $ usada para mencionar una letra específica (mancha de tinta) $ A $ es automáticamente diferente de esa mancha de tinta, contrariamente a la intención. En todos estos casos hablamos de la «idea» de $ A $, es decir, cualquier instancia de «$ A $» en el texto se refiere al mismo objeto, que a su vez debe pensarse fuera del texto (para hacerlo posible en el primer lugar para usar «$ A $» para hablar de $ A $). Solo en este sentido $ A = A $ (ya que como manchas concretas de tintas en el papel tienen diferentes posiciones, haciéndolos diferentes) y los dos $ A $ s en «$ A, B, A $» carecen de distinción. Por lo tanto, su grupo es el mismo que tiene los elementos $ A, B $ (o $ B, A $ si lo desea), es decir, el número es $ 2 $.

P2: Todavía no son idénticos como objetos. P.ej. Puedes ponerte el primero y poner el segundo en tu armario mientras planchas en caliente el tercero; Seguramente lo notaría si estuviera planchando en caliente la misma camisa que la que está usando. Las camisas son indistinguibles por la propiedad «color» (como lo eran antes, que ya eran indistinguibles, por ejemplo, por la propiedad «tamaño», supongo), pero todavía se pueden distinguir por la propiedad «posición espacial». Curiosamente, esto nos deja con el problema de que tenemos dificultades para identificar las camisetas de hoy con las de ayer. Uno tiene que pensar bastante qué significa «distinto» (en oposición a «distinguible») y «lo mismo».

P3: La distinción de elementos (que puede permitir camisetas de colores idénticos) es esencial. ya que no quieres volver a contar el mismo objeto (hacerlo te convertiría en un hombre rico con una sola moneda en el bolsillo). Un enfoque totalmente (?) Diferente es definir «número» como la clase de equivalencia de conjuntos (y parece que el «grupo» de Fine es lo que hoy llamaríamos «conjunto») bajo «equinumerabilidad» (es decir, existencia de una biyección De esta manera el concepto de 2 o Dos-ness corresponde a (o de hecho es) la clase de todos los conjuntos $ X $ tal que existe una biyección de $ X $ a cualquier conjunto específico de (lo que llamamos ) dos elementos, como $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Si te horrorizan las clases (adecuadas), puedes notar que cada clase de equivalencia contiene un conjunto especial «simple», un ordinal (al menos en el caso finito, y en general bajo el supuesto del axioma de elección).

Comentarios

• ¿Qué queremos decir con número de cosas ? por qué decimos en la P1 que el grupo G: {A, A, B} tiene 2 números de cosas, por qué no 3 como debería ser porque hay 3 números de cosas en el grupo G , incluso las dos cosas del grupo G son iguales pero existen y debemos contarlas para o. ¿Usamos el término número de cosas de manera diferente en matemáticas que en la vida habitual? el concepto primitivo de contar no se preocupa por la distinción de diferentes cosas en un grupo mientras calcula el número de cosas en un grupo. Por qué en matemáticas hicimos este tipo de definición inusual del término no. de las cosas .
• Señor, he editado mi pregunta para que sea más directa. ¿Podría al menos explicar qué queremos decir con Número de cosas .

«Número de cosas» en inglés general: No hay suficiente información en el término solo para dar una respuesta.

El problema es el término «cosas». En inglés general esto se referiría a algunas arreglo ya definido, por ejemplo, número de elementos del mismo color o número de huevos en una caja, o número de dígitos «3» que hay en un número de teléfono.

Sin eso, el significado de «número de cosas «es múltiple – es la cantidad de objetos en un contenedor de cualquier tipo / tamaño, clasificados por cualquier método que quieras imaginar.

Comentarios

• Suponga que hay un grupo {A, A, A}. Pregunto ¿cuántas letras hay en este grupo ? Cuál debería ser la respuesta.
• Por favor, consulte Tipos y tokens
• @MauroALLEGRANZA el enlace que tiene dado es bastante interesante. Parecen implicar que » Tipo » = » Objeto abstracto » y » Token » = » Concreto «. En el libro Me.Fine al principio dice: » Decimos de ciertas cosas distintas que forman un grupo » » Thing » = » hormigón » = » Token » ¿estoy en lo cierto?
• @Mauro, lo siento, pero ustedes lo tienen al revés. La palabra » cosa » no deriva del ‘ s significado de » Filosofía de tipo / token «. La definición de google.com/search?q=definition+thing incluye » una entidad o concepto abstracto: ‘ el duelo y la depresión no son lo mismo ‘. sinónimos: característica, cualidad, atributo, propiedad, rasgo, rasgo, punto, aspecto, faceta, peculiaridad …
• @Mauro, también, » un finito colección » no implica cosas concretas. Aquí hay algunas colecciones finitas de cosas / elementos abstractos: {1,2,3,4,5}, {amor, guerra, paz}. Lo más probable es que evitó los conjuntos infinitos porque eran muy controvertidos en ese momento: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_theory .

Le sugiero que compare la definición de Fine con la siguiente discusión, de RL Goodstein, Teoría de números recursivos (1957) :

La pregunta «¿Cuál es la naturaleza de una entidad matemática?» es una que ha interesado a los pensadores durante más de dos mil años y ha resultado ser muy difícil de responder. Incluso la primera y más importante de estas entidades, la natural número, tiene la elusividad de un fuego fatuo cuando tratamos de definirlo.

Una de las fuentes de la dificultad para decir qué son los números es que no hay nada a lo que podamos señalar en el mundo que nos rodea cuando buscamos una definición de número. El número siete, por ejemplo, no es una colección particular de siete objetos, ya que si lo fuera, entonces no se podría decir que ninguna otra colección tenga siete miembros; porque si identificamos la propiedad de ser siete con la propiedad de ser una colección particular, entonces ser siete es una propiedad que ninguna otra colección puede tener. Un intento más razonable de definir el número siete sería decir que la propiedad de ser siete es la propiedad que todas las colecciones de siete objetos tienen en común. Sin embargo, la dificultad de esta definición es decir qué es lo que realmente tienen en común todas las colecciones de siete objetos (incluso si pretendemos que alguna vez podemos familiarizarnos con todas las colecciones de siete objetos). Ciertamente, el número de una colección no es una propiedad de ella en el sentido de que el color de una puerta es una propiedad de la puerta, ya que podemos cambiar el color de una puerta pero no podemos cambiar el número de una colección sin cambiar la colección. sí mismo. Tiene mucho sentido decir que una puerta que antes era roja y ahora es verde es la misma puerta, pero es una tontería decir de una colección de siete cuentas que es la misma colección que una colección de ocho cuentas. Si el número de una colección es una propiedad de una colección, entonces es una propiedad definitoria de la colección, una característica esencial.

Esto, sin embargo, no nos acerca a una respuesta a nuestra pregunta «¿Qué es lo que todas las colecciones de siete objetos tienen en común?» Una buena forma de avanzar con una pregunta de este tipo es preguntarnos «¿Cómo sabemos que una colección tiene siete miembros?» porque la respuesta a esta pregunta ciertamente debería sacar a la luz algo que las colecciones de siete objetos comparten en común. Una respuesta obvia es que averiguamos el número de una colección contando la colección, pero esta respuesta no parece ayudarnos porque, cuando contamos una colección, parece que no hacemos más que «etiquetar» a cada miembro de la colección con un número. (Piense en una línea de soldados numerados). Claramente, no proporciona una definición de número decir que el número es una propiedad de una colección que se encuentra asignando números a los miembros de la colección.

Etiquetar a cada miembro de una colección con un número, como parece que hacemos al contar, es en efecto establecer una correspondencia entre los miembros de dos colecciones, los objetos que se van a contar y los números naturales. . Al contar, por ejemplo, una colección de siete objetos, establecemos una correspondencia entre los objetos contados y los números del uno al siete. A cada objeto se le asigna un número único y cada número (del uno al siete) se asigna a algún objeto de la colección. Si decimos que dos colecciones son similares cuando cada una tiene un asociado único en la otra, entonces se puede decir que contar una colección determina una colección de números similar a la colección contada.

La debilidad en la definición radica en esta noción de correspondencia. ¿Cómo sabemos cuándo se corresponden dos elementos?Las tazas y platillos en una colección de tazas colocadas en sus platillos tienen una correspondencia obvia, pero ¿cuál es la correspondencia entre, digamos, los planetas y las Musas? No sirve de nada decir que incluso si no existe una correspondencia patente entre los planetas y las Musas, podemos fácilmente establecer una, porque ¿cómo sabemos esto y, lo que es más importante, qué tipo de correspondencia permitimos? Al definir el número en términos de semejanza, simplemente hemos reemplazado el concepto elusivo de número por el concepto igualmente esquivo de correspondencia.

Algunos matemáticos han intentado escapar de la dificultad de definir números identificando números con numerales. El número uno se identifica con el número 1, el número dos con el número 11, el número tres con el 111, y así sucesivamente. Pero este intento fracasa tan pronto como se percibe que las propiedades de los números no son las propiedades de los números. Los números pueden ser azules o rojos, impresos o escritos a mano, perdidos y encontrados, pero no tiene sentido atribuir estas propiedades a los números y, a la inversa, los números pueden ser pares o impares, primos o compuestos, pero estas no son propiedades de los números.

La antítesis de «número» y «numeral» es una que es común en el lenguaje, y quizás su instancia más familiar se encuentre en el par de términos «proposición» y «oración». La oración es una representación física de la proposición, pero no puede identificarse con la proposición ya que diferentes oraciones (en diferentes idiomas, por ejemplo) pueden expresar la misma proposición. [ver tipos y fichas ]

El juego de ajedrez, como se ha observado a menudo, ofrece un excelente paralelismo con las matemáticas (o, en realidad, con el lenguaje mismo). A los números corresponden las piezas de ajedrez, y a las operaciones aritméticas, los movimientos del juego.

Aquí por fin encontramos la respuesta al problema de la naturaleza de los números. Vemos, en primer lugar, que para comprender el significado de los números debemos mirar el «juego» que juegan los números, es decir, la aritmética. Los números, uno, dos, tres, etc., son personajes en el juego de la aritmética, las piezas que interpretan a estos personajes son los números y lo que hace que un signo sea el número de un número en particular es la parte que juega, o como podemos decir en una forma de palabras más adecuada al contexto, lo que constituye un signo el signo de un número particular son las reglas de transformación del signo. De ello se deduce, por tanto, que el objeto de nuestro estudio es NO NÚMERO SÍ MISMO SINO LAS REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE LOS SIGNOS NUMÉRICOS .

Intersección, pero discutible …

Más de 60 años antes, Frege ya criticó este punto de vista; ver Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), nueva traducción al inglés de Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, página xiii:

[hay una] tendencia generalizada a aceptar solo lo que se puede sentir como si fuera. […] Ahora los objetos de la aritmética, los números, son imperceptibles; ¿Cómo aceptar esto? ¡Muy simple! Declare los signos numéricos como números. […] En ocasiones, parece que los signos numéricos se consideran piezas de ajedrez y las llamadas definiciones como reglas del juego. En ese caso, el signo no designa nada, sino que es la cosa misma. Un pequeño detalle se pasa por alto en todo esto, por supuesto; es decir, que un pensamiento se expresa por medio de «3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2», mientras que una configuración de piezas de ajedrez no dice nada.

Comentarios

• Recuerdo la emoción que sentí la primera vez que leí la introducción de Goodstein ‘. Él ‘ no es Frege, pero ‘ es genial obtener una declaración clara de una vista, de modo que si uno no está de acuerdo, puede decir exactamente con qué.

Para aclarar la definición de Fine de » número de cosas «, que es bastante diferente de la » moderna » enfoque teórico de conjuntos, creo que puede ser útil para referirlo a la tradición filosófica del empricismo británico del siglo XIX.

En particular, el filósofo John Stuart Mill dedicó parte de su obra Un sistema de lógica, razonamiento e inductivo (1843) a la discusión de los fundamentos de la aritmética.

Aquí algunos pasajes que, espero, puedan aclarar la definición de Fine:

Tres guijarros en dos paquetes separados, y tres guijarros en una parcela, no causan la misma impresión en nuestros sentidos, y la afirmación de que los mismos guijarros pueden, mediante una alteración del lugar y la disposición, producir un conjunto de sensaciones o el otro, aunque muy proposición familiar, no es idéntica. […]

Las verdades fundamentales de esa ciencia [la ciencia de los números] descansan todas en la evidencia del sentido, – se prueban mostrándolas a nuestros ojos y nuestros dedos que cualquier número de objetos, diez bolas, por ejemplo, pueden por separación y reordenamiento exhibir a nuestros sentidos todos los diferentes conjuntos de números cuya suma es igual a diez. ( CW VII, 256-57)

Así, cuando decimos que el cubo de 12 es 1782, lo que afirmamos es esto: que si, teniendo un número suficiente de guijarros o de cualquier otro objeto, los ponemos juntos en th el tipo particular de parcelas o agregados llamados doce; y juntarlos ellos mismos en colecciones similares, – y, finalmente, formar doce de estas parcelas más grandes: el agregado así formado será tal como lo llamamos 1728; es decir, lo que (para tomar el más familiar de sus modos de formación) se puede hacer uniendo el paquete llamado mil guijarros, el paquete llamado setecientos guijarros, el paquete llamado veinte guijarros y el paquete llamado ocho guijarros. ( CW VII: 611-12)

El enfoque naturalista de Mill sobre los fundamentos de la aritmética se basa en los procesos » básicos » de unión y separación que dan lugar y descomponen » agregados » de objetos físicos.

La visión empirista de Mill fue duramente criticada por Gottlob Frege en su libro fundamental Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

Para una exposición de la filosofía de las matemáticas de Mill, ver Philip Kitcher, Mill, matemáticas y la tradición naturalista , en John Skorupski (editor), The Cambridge Companion to Mill (1998), página 57 en adelante.

Comentarios

• Señor, gracias por esta otra respuesta muy útil. . Me llevará tiempo leer tantos textos relacionados (actualmente estoy buscando en los libros que usted y otros mencionaron anteriormente). ¿Existe un libro definitivo completamente dedicado a la historia de la aritmética ? Un libro que podría explicar las cosas partiendo de la historia y luego pasar finalmente a explicar cómo se estableció la aritmética moderna. Un libro que explicaría todas las cosas relacionadas, es decir, quién, cómo, cuándo, por qué de la aritmética. En un mes haré dos preguntas muy filosóficas (y técnicas) acerca de la aritmética. ¿Debo hacer ping?
• Acerca de la historia de » modern » filosofía de la aritmética , de Kant en adelante (pero JSMill no se discute) se puede ver Michael Potter, Reason ‘ s Pariente más cercano: Filosofías de la aritmética desde Kant hasta Carnap (2002).

En el libro, el «número de cosas» es efectivamente distinto de su representación. Suponga que tiene invitados a los que desea invitar a una fiesta. ¿Cuál es la cantidad de invitados-cosas que está invitando?

Si está invitando a 5 amigos, los llamaremos John, Fred, Mary, Jill y Barney. Hay 5 invitados-amigo- cosas que estás invitando a la fiesta.

Pero ahora, ¿qué pasa si la fiesta es un baile de máscaras, y todos están disfrazados? John está vestido como un fantasma, Fred como un duende, Mary como una bruja, Jill como una calabaza y Barney como un dinosaurio. El hecho de que ahora sean fantasmas, duendes, brujas, calabazas y dinosaurios no cambia la cantidad de cosas-amigos-invitados que has invitado a la fiesta. Sus características han cambiado: ya no se parecen a tus amigos, se ven como sus disfraces.

¿Y si los 5 vienen vestidos como fantasmas indistinguibles? ¿Eso significa que decimos que solo ha venido un fantasma a tu fiesta? No, porque todavía se pueden distinguir por su localidad, hora de llegada, altura, peso, color de la sábana, etc.

¿Qué pasaría si usaran exactamente el mismo disfraz y nunca viste más de uno a la vez? de modo que no hubiera características definitorias que separen a uno amigo de otro. Puede que no estés seguro de cuántas cosas-amigo-invitado tenías en tu fiesta. ESTA transformación ha destruido la distinción que los separaba antes de esto, por lo que no es una transformación válida para enumerar el número de cosas.

La idea de «número de cosas» con respecto a sus invitaciones es específicamente propiedad del grupo de tal manera que cualquier cambio (reenumerar, reordenar, pero NO duplicar, eliminar , o subconjuntos de conteo) que preservan la distinción de los elementos mantiene esa propiedad. No se trata de si el valor de esa propiedad es 1, 5 o un millón de billones, solo que el «número de cosas» es un valor finito que mantiene esta propiedad.

Con respecto en términos sencillos, el número de cosas es solo … el número de artículos de interés. No hay nada más simple que eso, y debido a que es un concepto tan simple, es muy difícil escribir una definición precisa que no cause problemas en posibles expresiones coloquiales.

Esta pregunta (y muchas de las respuestas, para el caso) pasa por alto el propósito de la teoría matemática, que es tratar los axiomas como algo dado. Suponemos que tenemos una noción de (por ejemplo) distinción, y luego exploramos las consecuencias de tener esta noción.

En otras palabras, es imposible hacer la pregunta «¿Cuántos elementos hay en el conjunto $ \ { A, A, B \} $? «Sin antes dar axiomas sobre $ A $ y $ B $. De acuerdo con la sintaxis matemática estándar, solo deberíamos hacer esta pregunta después de volver a etiquetar a $ \ {A, A», B \} $ para evitar confusiones, pero esto es una cuestión de comunicación y practicidad, no dogma y ciertamente no algún tipo de verdad sobre conjuntos.

Las matemáticas, en palabras de Roberto Unger, son una «exploración visionariade un simulacro del mundo «. Si no está de acuerdo con la visión de otra persona, está perfectamente bien. Pero si cree que tiene un problema con las matemáticas en sí, es probable que esté generando sus propias contradicciones al hacer un mal uso del lenguaje. Si tiene claro qué propiedades se supone que tiene su noción de distinción, entonces se aplica la teoría de conjuntos , es sólo una cuestión de cómo. No prescribe una forma particular de distinción, sino que explora los puntos en común entre todas las formas de distinción.

Parece que la respuesta a tu pregunta está muy relacionada con lo que es «una cosa». Es posible que sepa que, por muy abstracta que sea una pregunta, se ha formulado repetidamente en la comunidad de la física en el contexto de la teoría cuántica de campos y los fundamentos de la mecánica cuántica (consulte Paul Teller y Chris Isham, por ejemplo). Una de las conclusiones es que debe rechazarse el concepto de cosa como esencia a la que se «adhieren» propiedades. Esto es lo que Teller describe como el problema con el «producto tensorial etiquetado como formalismo espacial de Hilbert», ya que es incompatible con los comportamientos físicos que se observan realmente. Por lo tanto, si desea una definición universal de «número de cosas», no puede evitar estas consideraciones sobre qué es una cosa y qué es la distinción desde un punto de vista físico (a menos que desee una definición que se aplique a un universo que no es nuestro).

Solo para darte un ejemplo, digamos que tienes un fotón en tu mano derecha y otro en tu izquierda. Puede distinguirlos haciendo referencia a la mano en la que se encuentran. Por lo tanto, el «número de formas de ponerlos en el bolsillo» es 2 (primero el que está en su mano izquierda, luego el que está en su mano derecha o al revés) . Sin embargo, una vez en el bolsillo, se vuelven físicamente indistinguibles y «el número de formas de sacarlos» es 1 (sale uno, luego el otro).

Comentarios

• En el ejemplo de fotones en un bolsillo que da, el ‘ re me parece que son dos fotones. Su identidad (izquierda / derecha) se pierde (uno, quién sabe cuál, es el primero, el otro segundo). Todavía hay ‘ dos de ellos, incluso si ‘ has perdido un poco de información. Los datos que se pierden son de » que se encuentran en la propiedad » izquierda / derecha, que no es ‘ ta propiedad de los fotones en general. Parece que estás diciendo que todas las propiedades son prescindibles de manera similar, pero no puedo ‘ resolver si estás diciendo que este es un problema insuperable para un » definición universal de ‘ número de cosas ‘ «. ¿O las cosas son contables independientemente?
• Oh, sí, siempre hay 2 fotones alrededor. Estoy ‘ hablando de las consecuencias de perder la identidad en nuestra capacidad de contar, y esto es una consecuencia de la naturaleza de ‘ una cosa ‘ como un fotón. El comportamiento contrario ocurre con los fermiones, que siempre tienen que ser distinguibles y esto evita que se amontonen demasiados en el mismo lugar (que es el principio de exclusión de Pauli).Así que contar cosas (como en el ejemplo) contando las formas en las que puede reorganizarlas no ‘ t siempre funciona. No ‘ no sé si este es un problema insuperable, pero seguramente una definición que es universal no puede ignorarlo.