Aici vrem să să arătăm că metoda Box-Muller generează o pereche de variabile aleatorii standard Gauss independente . Dar nu înțeleg de ce folosim determinantul? Pentru mine, când aveți două variabile independente, funcția densității articulare este doar produsul funcției cu două densități. Cineva îmi poate explica semnificația determinantului aici? >
Comentarii
- Există o " modificare a variabilelor " implicată în trecerea de la X la Y și, prin urmare, aveți pentru a multiplica cu Jacobianul transformării care este determinantul pe care îl vedeți mai sus. A se vedea de exemplu Propoziția 8 aici math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok Înțeleg, mulțumesc Alex pentru răspunsul tău.
Răspuns
Să fie $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, avem
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ este definit uniform pe $ [0, 1] $, deci $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Într-adevăr $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ permite $ W = 2 \ pi X_2 $. Prin urmare, $ X_2 $ este distribuit uniform pe $ [0,1] $, deci $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Deoarece $ X_1 $ și $ X_2 $ sunt independenți, $ Z $ și $ W $ ar trebui să fie independenți. Mai avem $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {și} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definiți funcția $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $ astfel încât $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ astfel $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ cu alte cuvinte $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q „(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ putem afișa cu ușurință $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ apoi $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Răspuns
Se poate vedea că $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ și $ Y_2 \ peste Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Prin urmare, $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ peste Y_1}} $ și $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Luând diferențial pentru a obține $ dX_1 = {1 \ peste {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ peste {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
În mod similar, $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Prin urmare, Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ peste {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ peste {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
Pentru PDF-uri, ca $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
oferă $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ peste {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ peste 2} $
care arată că $ Y_1, Y_2 $ sunt variabile aleatoare Gauss independente.
Commen ts
- intervalul de $ X_1 $ ar trebui să fie (0,1), dar $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ este $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $