Întrebarea care mi s-a pus este:
atomii de argint dintr-o rețea metalică umple doar 88 $ \, \% $ din spațiu (12 $ \, \% $ este gol). Densitatea argintului este de 10,5 $ \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Presupunând că atomii de argint sunt sfere dure ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, când $ r $ este raza atomică), care este raza unui atom de argint? Dați răspunsul în unități de $ 10 ^ {- 12} $ metri.
Masa atomică de $ \ ce {Ag} $ este 107,8682.
Soluția mea:
$$ V = 0.88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Apoi am trecut la 10 $ ^ {12} $ metri, rezultatul a fost de 4.953 $ \ times10 ^ {17 } $ și nu este corect. Ce greșesc?
Comentarii
- Am ' am adăugat informațiile despre masa atomică din $ \ ce {Ag} $ într-un efort de a clarifica pentru dvs. și pentru ceilalți ce informații de care aveți nevoie ' pentru a rezolva problema.
- cristalizează în FCC și sferele umple $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ approx 0.74048 $$
Răspunde
Dacă ați fi inclus unitățile în calculul dvs., ați fi observat de ce ecuația dvs. nu este corectă.
Masa molară $ M $ este definit ca $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ unde $ m $ este masă și $ n $ este cantitatea de substanță.
Deoarece constanta Avogadro $ N_ \ mathrm A $ este $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ unde $ N $ este numărul de particule, masa $ m $ a unui atom $ (N = 1) $ este $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Densitate $ \ rho $ este definit ca $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ unde $ V $ este volum.
Astfel, volumul unui eșantion este $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Utilizarea ecuației $ \ text {(3)} $ , volumul $ V $ poate fi calculat pentru un singur atom: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Presupunând că o fracțiune din $ 88 \, \% $ din volumul $ V $ este umplut cu o sferă dură, volumul $ V_ \ text {phere} $ al sferei este $$ \ begin {align} V_ \ text {phere} & = 0,88 \ ori V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Deoarece volumul unei sfere este $$ V_ \ text {phere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ unde $ r $ este raza sferei, raza $ r $ este $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {phere}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10,5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$