Un eșantion dintr-un proces aleator este dat ca:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
unde $ w (t) $ este un proces de zgomot alb cu o valoare medie de $ 0 $ și o densitate spectrală de putere de $ \ frac {N_0} {2 } $ și $ f_0 $, $ A $ și $ B $ sunt constante. Găsiți funcția de corelare automată.
Iată încercarea mea de a găsi o soluție:
Fie $ a = 2 \ pi f_0t $ și $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autocorelare a} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (b) (wt) \ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Termenii de așteptare cu zgomotul din ei sunt egali cu $ 0 $ (ultimul este doar corelația automată a zgomotului alb … de aici simplificarea de mai sus. Folosind identități trigonometrice: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
avem:
\ begin {align} \ text {Autocorelare a} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ left \ {\ left (A ^ 2 \ right) \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ right] \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Avem de-a face cu termeni constanți, așa că termenul de așteptare dispare și scade în condițiile noastre inițiale obținem: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ left [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) $$
Din anumite motive nu pot să nu simt că am făcut ceva greșit calculând că autocorelația … se presupune că este o funcție de $ \ tau $, dar are un $ t $ este acolo … aș aprecia foarte mult dacă cineva mă poate îndrepta în direcția corectă sau mi-ar explica ce am încurcat. Nu știu dacă contează, dar în această clasă avem de-a face doar cu procese staționare cu sens larg.
Comentarii
- Cu excepția cazului în care sunteți sigur că procesul aleatoriu $ x (t) $ este WSS, nu ar trebui să vă așteptați ca ACF să fie o funcție de $ \ tau $ singur. Prin urmare, pare corect aici să includem termeni de timp $ t $. Dar cred că termenul cosinus din $ x (t) $ poate include fie o amplitudine aleatorie, fie o fază aleatorie pe care uitați să o tastați, atunci puteți avea șansa de a scăpa de elementul de timp $ t $ dacă doriți atât de mult deci …
- Procesul $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ este un proces ciclostationar (îndeplinește cerințele de staționaritate pentru acele time-offsets care sunt multipli de $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) și nu sunt deloc un proces WSS. Rețineți, de exemplu, că chiar funcția medie $ E [x (t)] $ nu este o constantă așa cum ar trebui să fie pentru un proces WSS. După cum spune @ Fat32 (+1), este posibil să fi uitat să includeți o fază aleatorie $ \ Theta $ în definiția dvs. $ x (t) $ (proprietatea necesară pentru staționaritatea WS este aceea că $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ care este valabil pentru $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ sau $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ pentru $ n = 0,1,2,3 $).
Răspuns
Presupun că „Am făcut aproape totul bine, dar aveți o problemă la calcularea valorii așteptărilor în ceea ce privește $ t $. Ar trebui să calculați valoarea așteptării funcției cosinusului. Din păcate, nu pur și simplu„ dispare ”așa cum ați scris. p>
Aruncați o privire la pagina Wikipedia . Acolo puteți găsi o altă formulă, mai explicită, pentru funcția de corelare automată a unei funcții $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Rețineți că, în comparație cu pagina Wikipedia, mi-am luat libertatea de a utiliza variabila $ t $ în integrare în loc de $ u $, whi ch ar fi versiunea matematică mai precisă.)
După cum puteți vedea din această ecuație, „integrați” dependența de t și, într-adevăr, ar trebui să rămâneți cu o funcție care este independentă de $ t $.
Rețineți că există, de asemenea, o versiune care nu merge la infinit, dar este limitată la o perioadă $ T $. Poate că această versiune este mai potrivită în cazul dumneavoastră.Cu toate acestea, același lucru este valabil și pentru această versiune: $ t $ este integrat și nu ar trebui să fie o variabilă în formula rezultată.
Comentarii
- Tu amestecați două noțiuni diferite atunci când scrieți ” După cum puteți vedea din această ecuație, ” integrați ” dependența de $ t $ și, într-adevăr, ar trebui să rămâneți cu o funcție independentă de $ t $ ”
- Puteți luați și formula de pe pagina Wikipedia fără $ t $ și scrieți $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Important este că în ambele cazuri argumentul funcției $ f $ este t și este integrat peste – de aceea nu mai aveți $ t $ în rezultatul final, ci doar $ \ tau $.
- @Dilip Puteți arunca și o privire aici ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – acesta este practic primul rezultat după o simplă căutare pe Google. Acolo, la pagina 22-2 (pagina 3 în PDF) este un exemplu pentru o funcție de autocorelare, care a fost calculată prin această formulă și este independentă de $ t $. De asemenea, puteți găsi notația integrală matematic nu atât de solidă pe pagina anterioară.
- Departe de mine să pun la îndoială validitatea unei formule despre care susțineți că puteți găsi pe Wikipedia sau este predat într-un curs online MIT, dar mi se pare că în \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} a doua integrală pe acea a doua linie (al cărei integrand este un wrt $ t $ constant) divergă cu excepția cazului în care $ \ tau $ are o valoare astfel încât $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Aveți dreptate, această integrală diferă. Nici măcar prima integrală nu are sens, deoarece nu converge. Din acest motiv, există ultimul paragraf în răspunsul meu.