Care este definiția unei distribuții simetrice? Cineva mi-a spus că o variabilă aleatorie $ X $ provine dintr-o distribuție simetrică dacă și numai dacă $ X $ și $ -X $ are aceeași distribuție. Dar cred că această definiție este parțial adevărată. Pentru că pot prezenta un contraexemplu $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ și $ \ mu \ neq0 $. Evident, are o distribuție simetrică, dar $ X $ și $ -X $ au o distribuție diferită! Am dreptate? Vă gândiți vreodată la această întrebare? Care este definiția exactă a distribuției simetrice?
Comentarii
- Când spuneți, o distribuție ” este simetrică „, trebuie să specificați cu privire la ce punct este simetric. În cazul distribuției normale pe care o prezentați, simetria este dată în jur de $ \ mu $. În acest caz, $ X- \ mu $ și $ – (X- \ mu) $ au aceeași distribuție. În ceea ce privește densitatea, aceasta se poate exprima astfel: $ f $ este simetric aproximativ $ \ mu $ dacă $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. BTW, este o bună manieră să accepți răspunsuri atunci când ești mulțumit de unul dintre ele.
- Da, noi, băieții, ne-am gândit la această întrebare. Simetric înseamnă, în general, simetric aproximativ $ 0 $ și, pentru a preveni contraexemple suplimentare, afirmația despre distribuțiile simetrice nu este ceva adevărat despre funcția de distribuție a probabilității cumulative . ” contraexemplu ” are simetrie cu privire la punctul $ \ mu \ neq 0 $, nu la punctul $ 0 $.
- @Dilip Când o definiție depinde de un mod de a descrie ceva, dar această definiție se poate dovedi a fi o proprietate intrinsecă a acelui lucru, atunci nu are sens să aplicăm definiția la un diferit forma de descriere. În acest caz, simetria este o proprietate a unei distribuții , dar asta nu implică faptul că toate descrierile respectivei distribuții (inclusiv PDF și CDF) trebuie să fie ” simetric ” în aceleași moduri. Aplicând simetria PDF-ului pe CDF, comentariul dvs. confundă întrebarea mai degrabă decât să o clarifice.
- shijing, @Procrastinator a observat că ați pus multe întrebări fără a accepta răspunsuri. Asta sugerează că este posibil să nu fiți familiarizat cu modul în care funcționează acest site. Pentru a clarifica orice neînțelegere, ați citi, vă rog, partea relevantă a întrebărilor noastre frecvente până la capăt Va dura doar câteva minute, iar urmărirea acestuia va îmbunătăți valoarea site-ului nostru pentru dvs.
- @whuber CDF este una dintre puținele descrieri în care cuvântul distribuție apare de fapt în nume și încercam să clarific faptul că proprietatea de simetrie nu se păstra pentru CDF.
Răspuns
Pe scurt: $ X $ este simetric când $ X $ și $ 2aX $ au aceeași distribuție pentru un număr real $ a $. Dar pentru a ajunge la aceasta într-o manieră pe deplin justificată este nevoie de unele digresiuni și generalizări, deoarece ridică multe întrebări implicite: de ce această definiție a” simetricului „? Pot exista și alte tipuri de simetrii? Care este relația dintre o distribuție și simetriile acesteia și, dimpotrivă, care este relația dintre o „simetrie” și acele distribuții care ar putea avea acea simetrie?
Simetriile în cauză sunt reflectări ale linie reală. Toate sunt de forma
$$ x \ to 2a-x $$
pentru unele constante $ a $.
Deci, să presupunem că $ X $ are această simetrie pentru cel puțin un $ a $. Apoi, simetria implică
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
care arată că $ a $ este o mediană de $ X $. În mod similar, dacă $ X $ are o așteptare, atunci urmează imediat că $ a = E [X] $. Astfel, de obicei, putem stabili cu ușurință $ a $. Chiar dacă nu, $ a $ (și, prin urmare, simetria în sine) este încă determinată în mod unic (dacă există).
Pentru a vedea acest lucru, să fie $ b $ orice centru de simetrie. Apoi, aplicând ambele simetrii, vedem că $ X $ este invariant sub traducere $ x \ to x + 2 (b-a) $. Dacă $ b-a \ ne 0 $, distribuția de $ X $ trebuie să aibă o perioadă de $ b-a $, ceea ce este imposibil deoarece probabilitatea totală a unei distribuții periodice este fie 0 $ $ fie infinită. Astfel $ ba = 0 $, arătând că $ a $ este unic.
Mai general, când $ G $ este un grup care acționează fidel pe linia reală (și prin extensie pentru toate subseturile sale Borel), am putea spune că o distribuție $ X $ este „simetrică” (față de $ G $) când
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$
pentru toate seturile măsurabile $ E $ și elementele $ g \ în G $, unde $ E ^ g $ denotă imaginea $ E $ sub acțiunea $ g $.
De exemplu, permite ca $ G $ să fie totuși un grup de comenzi de $ 2 $, dar acum să acționeze pentru a lua reciprocul unui număr real (și să-l repare 0 $). Distribuția standard lognormal este simetrică față de acest grup. Acest exemplu poate fi înțeles ca o instanță a unei simetrii de reflexie în care a avut loc o reexprimare neliniară a coordonatelor. Aceasta sugerează concentrarea asupra transformărilor care respectă „structura” liniei reale. Structura esențială a probabilității trebuie să fie legată de seturile Borel și măsura Lebesgue, ambele putând fi definite în termeni de (euclidiană) distanță între două puncte.
harta este, prin definiție, o izometrie. Este bine cunoscut (și ușor, deși puțin implicat, să demonstreze) că toate izometriile liniei reale sunt generate de reflexii. De unde, atunci când se înțelege că „simetric” înseamnă simetric față de un anumit grup de izometrii , grupul trebuie să fie generat de cel mult o reflecție și am văzut că reflectarea este determinată în mod unic de orice distribuție simetrică față de aceasta. În acest sens, analiza precedentă este exhaustivă și justifică terminologia obișnuită a distribuțiilor „simetrice”.
De altfel, o serie de exemple multivariate a distribuțiilor invariante sub grupuri de izometrii este oferită luând în considerare distribuțiile „sferice”. Acestea sunt invariante sub toate rotațiile (în raport cu un centru fix). Acestea generalizează cazul unidimensional: „rotațiile” liniei reale sunt doar reflexele.
În cele din urmă, merită subliniat faptul că o construcție standard – care face o medie asupra grupului – oferă o cale pentru a produce încărcături de distribuții simetrice. În cazul liniei reale, să fie generat $ G $ prin reflecția despre un punct $ a $, astfel încât să fie format din elementul de identitate $ e $ și această reflecție, $ g $. Lăsați $ X $ să fie orice distribuție. Definiți distribuția $ Y $ setând
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ în G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
pentru toate seturile Borel $ E $. Acest lucru este manifest simetric și este ușor să verificați dacă rămâne o distribuție (toate probabilitățile rămân nenegative și probabilitatea totală este de 1 $).
Ilustrând procesul de mediere a grupului, PDF-ul unei distribuții gamma simetrizate (centrat la $ a = 2 $) este afișat în aur. Gamma originală este în albastru și reflectarea sa este în roșu.
Comentarii
- (+1) Aș dori să adaug că, în setarea multivariantă, definiția simetriei nu este unic. În această carte există 8 definiții posibile ale distribuțiilor multivariate simetrice.
- @Procrastinator I ‘ Sunt curios despre ce ați putea înțelege prin ” nu unic. ” AFAIK, orice lucru care justifică numele ” simetrie ” se referă în cele din urmă la o acțiune de grup pe un spațiu. Ar fi interesant pentru a vedea ce tipuri diferite de acțiuni statistici au considerat utile. Deoarece cartea respectivă este epuizată și nu este disponibilă pe web, ați putea da un exemplu rapid de două tipuri de simetrie cu adevărat diferite luate în considerare în acea carte?
- Intuiția dvs. este corectă, aceasta este legată de caracteristicile statistice : Simetrie centrală $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Simetrie sferică $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ pentru toată matricea ortogonală $ {\ bf O} $. Nu-mi amintesc restul, dar voi încerca să împrumut cartea în aceste zile. În acest link puteți găsi unele dintre ele.
- @Procrastinator Mulțumesc. Rețineți că cele două exemple pe care le oferiți sunt ambele cazuri speciale ale definiției generale pe care am furnizat-o: simetria centrală generează un grup de două elemente de izometrii, iar simetriile sferice sunt, de asemenea, un subgrup al tuturor izometriilor. ” simetria eliptică ” din legătură este o simetrie sferică după o transformare afină și, astfel, exemplifică fenomenul la care am arătat cu lognormalul exemplu. ” simetriile unghiulare ” formează din nou un grup de izometrii. ” simetrie pe jumătate de spațiu ” [sic] nu este o simetrie, dar permite plecări discrete de la: că ‘ s new.
Răspuns
Răspunsul va depinde de ceea ce vrei să spui prin simetrie. În fizică noțiunea de simetrie este fundamentală și a devenit foarte generală. Simetria este orice operație care lasă sistemul neschimbat.În cazul unei distribuții de probabilitate, aceasta se poate traduce la orice operație $ X \ to X „$ care returnează aceeași probabilitate $ P (X) = P (X”) $.
În cazul simplu al primului exemplu, vă referiți la simetria reflexiei despre maxim. Dacă distribuția ar fi sinusoidală, atunci ați putea avea condiția $ X \ to X + \ lambda $, unde $ \ lambda $ este lungimea de undă sau perioada. Apoi $ P (X) = P (X + \ lambda) $ și încă s-ar potrivi cu o definiție mai generală a simetriei.