În multe locuri din fizica statistică folosim funcția de partiție . Pentru mine, explicațiile utilizării lor sunt clare, dar mă întreb care este semnificația lor fizică. Poate cineva să vă explice cu un exemplu bun, fără prea multe complicații matematice?
Comentarii
- Pe lângă faptul că este un factor de normalizare, multe dintre caracteristicile sale semnificative pentru calculele apar din asemănarea sa cu transformările Z și Laplace, datorită distribuției exponențiale cu energie Boltzmann, care este un fel de " co-indidență " prin faptul că nu ar ' ar funcționa cu o distribuție diferită.
- Ați citit " care înseamnă " secțiune din articolul Wikipedia ? Dacă da, ce nu vă satisface ' despre " codifică modul în care probabilitățile sunt partiționate între diferitele microstate " ?
- Posibil duplicat al Eficacitatea nerezonabilă a funcției de partiție
Răspuns
Funcția de partiție este o măsură a volumului ocupat de sistem în spațiul de fază. Practic, vă spune câte microstate sunt accesibile sistemului dvs. într-un ansamblu dat. Acest lucru poate fi ușor văzut începând de la ansamblu microcanonic .
În ansamblul microcanonic, unde fiecare microstat cu energie cuprinsă între $ E $ și $ E + \ Delta E $ este la fel de probabilă, funcția de partiție este
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
unde integralul este doar hipervolumul regiunii spațiului de fază unde energia (hamiltoniană) $ \ mathcal H $ al sistemului este între $ E $ și $ E + \ Delta E $, normalizat cu $ h ^ {3N} $ pentru a-l face adimensional. Factorul $ N! ^ {- 1} $ ia în considerare faptul că prin schimbul „etichetei” pe două particule microstatul nu se modifică.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
vă spune că entropia este proporțională cu logaritmul numărului total de microstate corespunzător macrostatului sistemului dvs., iar acest număr este doar $ Z_ {mc} $.
În ansamblurile canonice și grand-canonice rămâne semnificația funcției de partiție. la fel, dar din moment ce energia nu mai este fixă, expresia se va schimba.
Funcția de partiție canonică este
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
În acest caz, integrăm pe tot spațiul de fază, dar atribuim fiecărui punct $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a weight $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, unde $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, astfel încât acele state cu energie mult mai mare decât $ k_B T $ sunt mai puțin probabile. În acest caz, conexiunea cu termodinamica este dată de
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
unde $ F $ este energia liberă Helmholtz .
Funcția de partiție canonică mare este
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
unde de data aceasta însumăm și toate valorile posibile ale numărului de particule $ N $, ponderând fiecare termen cu $ \ exp (\ beta \ mu N) $, unde $ \ mu $ este potențial chimic .
Conexiunea cu termodinamica este dată de
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Răspuns
Este $ e ^ {- F / T} $, unde $ F / T $ este energia liberă normalizată de scara de energie termodinamică relevantă, temperatura. Exponențialul este doar o reparameterizare monotonă, deci din punct de vedere moral, funcția de partiție este doar energia liberă care este disponibilă pentru faceți o muncă utilă.
O altă interpretare: dacă îl normalizați astfel încât $ E = 0 $ să fie starea de bază, apoi aproximativ vorbind, este „reciprocă” a „fracțiunii sistemului care„ se află în starea de bază ”. Extrem de euristic, să fie $ g $ suma totală a sistemului care se află în starea de bază, $ e $ să fie suma totală a sistemului care se află într-o stare ieșită și $ s = g + e $ să fie suma totală a sistemului. Atunci $ g / s $ este fracțiunea sistemului care „se află în starea fundamentală, iar reciprocitatea acestuia este $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Greutatea Boltzmann dă că greutatea relativă (sau „cantitatea”) fiecărei stări excitate $ i $ cu energie $ E_i $ în raport cu greutatea stării fundamentale este $ e ^ {- \ beta E_i} $.Rezumând toate stările excitate $ i $, obținem funcția de partiție $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Răspuns
Funcția de partiție semnificația fizică este următoarea: exprimă numărul de stări accesibile termic pe care un sistem le furnizează purtătorilor (de exemplu, electroni). p>