Cât de departe pot zbura papagalii fără a fi nevoie să aterizeze?

Începem analiza zborului motorizat luând în considerare un avion specific, să zicem un avion de pasageri Boeing 787. Pentru a-și găsi autonomia maximă, aeronava ar fi complet alimentată, va decola și a zbura pe o traiectorie de zbor cu o viteză constantă, deoarece orice accelerații (prin schimbarea altitudinii sau mersul mai rapid) combustibil. Când rezervorul de combustibil se usucă, ați atins intervalul maxim de zbor alimentat (presupunând că nu există vânt de cap sau de coadă, desigur).

Din punct de vedere analitic, combustibilul transportat de 787 este sursa de energie, $ E_s $ , care alimentează motoare. Aceste motoare produc forța de împingere, $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ direcționată orizontal, paralel cu axa longitudinală a 787 ” și calea de zbor, care contracarează efectul forței de tragere atmosferică, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ mișcarea 787 „de-a lungul traiectoriei sale de zbor. În condiții de zbor constante (viteză și altitudine constante), forțele orizontale nete pe 787 sunt zero, astfel încât $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ , sau $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Luând amploarea ambelor părți ale acestei expresii, constatăm că $ D = T $ astfel încât $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Constatăm că forța generată de motoare are aceeași magnitudine ca, dar este direcționată opus tragerii atmosferice.

În aceleași condiții de zbor, găsim o relație similară pentru componentele verticale ale forței care acționează asupra 787, greutatea sa, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ este echilibrată de lift $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ generat de aripi astfel încât $ F_w = m_p g = L $ și $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ unde $ m_p $ este masa instantanee (= masa la decolare a avionului, $ m_ {p_0} $ , mai puțin masa de combustibil cheltuită astfel for generating far) a 787 și $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ este accelerația gravitațională standard pe suprafața Pământului. Observăm aici că, în aceste condiții de zbor, atât $ \ mathbf {L} $ , cât și $ \ mathbf {F} _w $ sunt perpendiculare pe $ \ mathbf {T} $ și $ \ mathbf {D} $ .

Dacă forța este eliminată astfel încât $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , atunci forța de tragere nu va fi va fi mai opus și va încetini planul, reducând viteza aerului care curge peste aripă, ceea ce la rândul său va face ca aripa să genereze mai puțină ridicare, inițind astfel coborârea planului (greutatea sa este mai mare decât ridicarea produsă de aripi). Dacă planul este apoi „cu nasul în jos” cu un unghi $ \ alpha $ de la orizontală, proiecția vectorului de greutate al planului, $ \ mathbf {F} _w $ pe axa longitudinală a planului nu va mai fi zero, ci va fi în schimb $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ îndreptat înainte opunându-se forței de tragere.Dacă se alege $ \ alpha $ astfel încât suma acestei proiecții și a vectorului de tragere să fie zero, atunci planul va coborî la o rată constantă și la magnitudinea de tragere este dat de $ D = F_w \ sin \ alpha $ . Proiecția vectorului de greutate pe axa perpendiculară pe axa longitudinală a planului, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , este echilibrată de egal magnitudine, dar vector de ridicare direcționat opus, a cărui magnitudine devine acum $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Dacă formăm raportul $ D / L $ găsim \ begin {equation} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {ecuație} Inversul acestui raport, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , este cunoscut în aerodinamică drept raportul de ridicare la tragere în timp ce unghiul $ \ alpha $ se numește unghiul de înclinare al glisării . Acești doi parametri sunt importanți în caracterizarea generală a aerodinamicii unui cadru de aer. Odată ce acest raport este cunoscut, poate fi folosit pentru a estima trageți în zbor la nivel. Dar în zbor la nivel, ridicarea este egală în mărime cu greutatea planului, $ L = F_w = m_p g $ . Înlocuind această expresie în ecuație. ~ $ \ eqref {1} $ și rezolvând glisarea \ begin {equation} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {ecuație}

Am ajuns la punctul în analizele noastre că trebuie să abordăm bugetul de masă / energie pentru zborul avionului. Va fi util să separăm masa avionului în masa goală (fără combustibil), $ m_ {p_e} $ și masa combustibilului disponibil, $ m_f $ , cu masa inițială de decolare a combustibilului dată de $ m_ {f_0} $ . Cu aceste cantități definite, masa inițială de decolare a planului este dată de $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ în timp ce masa instantanee este dată de $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . În timpul zborului, masa combustibil disponibil, $ m_f $ , variază astfel încât $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ în timp ce masa avionului, $ m_p $ , variază ca $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Există două constante suplimentare necesare pentru a determina energia efectivă netă disponibilă pentru a lucra împotriva forței de tragere atunci când se consumă cantitatea (diferențială) $ \ delta m_f $ de combustibil în timp ce parcurgeți distanța (diferențială) $ \ delta \ mathbf {r} $ . Primul dintre acestea, $ \ kappa $ , determină energia totală (diferențială), $ \ delta E $ , disponibil din arderea cantității $ \ delta m_f $ de combustibil \ begin {equation} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {equation} Pentru un avion american precum 787, $ \ kappa $ va avea unități de genul BTU pe kilogram de combustibil cheltuit. Al doilea, $ \ eta $ , specifică eficiența de conversie a energiei disponibile în muncă efectivă, $ \ delta W $ , generând împingere care contracarează glisarea \ begin {ecuație} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {ecuație} unde $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ este un vector de deplasare diferențială de-a lungul traseului de zbor în timpul vitezei constante, mișcării orizontale și minus semnul contează faptul că depozitele de energie ale avionului sunt consumate pe măsură ce energia este utilizată pentru a contracara tragerea (un proces fundamental disipativ).

Lăsând $ \ delta $ „devin derivate, împărțindu-se prin $ m_p $ și folosind $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ și înlocuirea variabilelor integrate cu cantități primate,, Eq. ~ $ \ eqref {4} $ poate fi rescris în forma integrală \ begin {equation} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm „} {m_ {p_0} + m”} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr „\ tag {5} \ label {5} \ end {ecuație} cu limitele de integrare evaluate la decolare și poziția curentă downrange o distanță $ r $ de la decolare.

Efectuând integrările indicate în ecuație. ~ $ \ eqref {5} $ și simplificând, avem rezultatul \ begin {equation} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {equation} Constatăm că masa avionului, $ m_p $ , este o funcție exponențial descrescătoare a distanței parcursă, $ r $ . Lăsând $ r = r_m $ să fie intervalul maxim al planului în care s-a cheltuit tot combustibilul (când $ m_f = 0 $ astfel încât $ m_p = m_ {p_e} $ ), ech. ~ $ \ eqref {6} $ devine \ begin {equation} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {ecuație} Observăm similaritatea acestei expresii cu cea a ecuația rachetei Tsiolkovsky .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ poate fi rezolvat pentru intervalul maxim $ r_m $ \ begin {equation} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {ecuație} un rezultat uimitor de simplu, toate lucrurile luate în considerare! Acest rezultat rămâne valabil pentru orice sistem aerodinamic care își obține ridicarea prin mișcare înainte prin aerul oferit de un sistem de propulsie care consumă masă pentru a produce împingere. Ar putea fi aplicat unui Cessna 172, sau chiar unui model controlat radio cu nitro (RC) al unui 172. Ar putea nu fi aplicat unui model alimentat electric (cu baterie) al lui 172 deoarece există fără pierderi de masă de la o baterie sau de la orice tip de planor (fără împingere sau pierdere de masă). Și, totuși, poate fi aplicat oricărei păsări de zbor, inclusiv papagalului nostru!

Pentru papagal, sursa de energie este grăsimea stocată în corpul său. Această masă este consumată prin procese metabolice care o transformă în $ \ text {CO} _2 $ și vapori de apă care sunt expulzați în timpul respirației și la fel de sudoare și urină ca papagalul zboară (papagalul „eșapează” parcă!). Conținutul de energie al grăsimii corporale ( $ \ kappa $ așa cum este definit în ecuație. ~ $ \ eqref {3} $ ) este de 9 (alimente) Calorii pe gram. Un aliment Caloria este egală cu o kilocalorie, care este la rândul ei egală cu 4184 Jouli în unități SI, vezi Wikipedia articol Energia alimentară .

Eficiența transformării energiei stocate în corpul uman în muncă mecanică a fost estimată a fi $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (consultați pagina Wikipedia Muscle ). S-ar aștepta un număr similar pentru alte vertebrate cu sânge cald, astfel încât, la o cifră semnificativă, să luăm $ \ eta = 20 \% = 0,2 $ (o cantitate adimensională).

Se pare că există o gamă foarte largă pentru procentul de masă corporală care este grasă. Unele păsări migratoare au până la 70 $ \% $ (vezi Super sportivi obezi: migrație alimentată cu grăsime la păsări și lilieci , totuși papagalul nu este în general considerat o pasăre migratoare. Pagina web Comparația kilometrajului de zbor pentru diferite specii de papagali sălbatici indică o distanță de migrație de 320 km pentru papagalii cu talie groasă, de exemplu. Prin urmare, numărul $ 70 \% $ este probabil mult prea mare. La cealaltă extremă, carnea de vită macinată este considerată slabă dacă conține 10 $ \% $ grăsime, dar mai general este mai aproape de 20 $ \% $ . Vom selecta o valoare oarecum sub mediana acestor extreme, să spunem $ 35 \% $ .

O masă tipică pentru un papagal este un alt număr dificil de stabilit, deoarece există este o diferență foarte mare în masa corporală pentru diferiții membri ai familiei de papagali. De exemplu, pagina web Greutatea medie a păsărilor din speciile comune de papagali oferă date pentru 52 de specii de papagali cu legături către alte patru specii, fiecare cu mai multe intrări. Acestea variază de la 10 grame pentru ciuperca Zebra la 1530 grame pentru Macaw cu aripi verzi, acoperind o gamă de masă de peste două ordine de mărime! Upshot: nu există un papagal „tipic”! Vom alege papagalul cu grosime, deoarece avem câteva date la distanță cu care să comparăm rezultatul. Pagina Wikipedia Papagal cu factură groasă oferă intervalul său de masă de 315-370 grame, vom folosi 370 grame astfel încât $ m_ {p_0} = 0.37 \, \ text {kg} $ , din care $ 35 \% $ din care trebuie considerat combustibil, astfel încât $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ lăsând papagalul „masa” goală la $ m_ {p_e} = 0.24 \, \ text {kg} $ .

Mai avem un parametru rămas de estimat, acesta fiind unghiul pantei de alunecare, $ \ alpha $ , folosit pentru a găsi liftul către raportul de tracțiune de mai sus. Luați în considerare estimările ordinii de mărime a $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ approx 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0.1 \, \ text {radian} \ approx 6 ^ o $ sau $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0,01 \, \ text {radian} \ approx 0,6 ^ o $ . În mod clar $ 60 ^ o $ este mult prea abrupt și $ 0,6 ^ o $ este mult prea superficial, lăsând $ 6 ^ o $ ca singura ordine acceptabilă a alegerea mărimii, prin urmare setăm $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radian, un număr valid pentru majoritatea păsărilor de zbor.

Repetare Ec. ~ $ \ eqref {8} $ de mai sus, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ și înlocuind valorile papagalului de sus (inclusiv factorii de conversie a unității)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ right) \ left (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ right) \ right ] \ left (0.2 \ right)} {\ left (\ frac {9.8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0.1 \ right) \ dreapta)} \ ln \ left (\ frac {0.37 \, \ text {kg}} {0.24 \, \ text {kg}} \ right) \ approx 370 \ text {km} $$

găsim răspunsul la întrebarea „Cât de departe poate zbura un papagal [sub putere] într-o singură zi?” a fi

$$ \ boxed {r_m \ approx 370 \, \ text {km}} $$

a numărul care este în strâns acord cu datele (limitate) disponibile care au oferit o rată de migrare zilnică actuală (vs maximă) de 320 km.