Încerc să folosesc a doua lege a lui Kepler pentru a găsi durata orbitei lui Venus. Îmi asum orbite circulare (folosind Pământul și Venus, deci o excentricitate scăzută). Iată procesul meu:
Presupunând că raza orbitei Pământului este de 150 de milioane de km, atunci zona măturată într-o zi este $ \ frac {1} {365,25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ approx 194 \ text {million km} ^ 2 $ .
Venus trebuie să matureze aceeași zonă în același timp. Presupunând un orbital pe o rază de 108 milioane km pentru Venus și folosind $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ , putem găsi unghiul central pentru sectorul măturat, adică unghiul parcurs într-o singură zi a Pământului:
194 $ = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ implică \ theta = 1.90 ^ {\ circ} $ pe zi Pământească.
Prin urmare, perioada orbitală ar trebui să fie $ \ frac {360} {1.90 } \ aproximativ 189 $ zile de pe Pământ.
Desigur, perioada orbitală a lui Venus este 224,7 $ $ zile de pe Pământ. Diferența dintre 189 și 224.7 pare să depășească cu mult eroarea introdusă de presupunerea mea de orbite circulare.
Ce fac greșit?
Știu că acesta este, probabil, un mod complicat de a face acest calcul. Scopul meu este să scriu un exercițiu de matematică care utilizează aria sectoarelor într-un mod semnificativ.
Comentarii
Răspuns
Legile lui Kepler afirmă că o planetă mătură zone egale în timpuri egale pe măsură ce se deplasează pe orbita sa eliptică. Nu afirmă că diferite planete vor mătura aceeași zonă.
Legea „ariilor egale” poate fi derivată din „conservarea impulsului unghiular”. De fapt dA / dt = L / (2m) (unde A este aria, L este impulsul unghiular și m este masa (redusă)).
Diferite planete vor distruge diferite zone. Pentru a calcula perioada ați folosit a treia lege a lui Kepler: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = perioadă orbitală, a = axă semi-majoră). Dacă , pentru comoditate, luați un în AU și T în Anii Pământului, apoi constanta $ k = 1 $ .
Pentru Venus, a = 0,72 . deci $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ sau aproximativ 223 de zile.
Hyperphysics are o secțiune despre Legile lui Kepler
+1pentru a arăta toate lucrările și pentru a pune o întrebare foarte clară!