Ce este mai exact un fazor?

Gândiți-vă la o combinație a planului complex și a vectorilor obișnuiți.

Un fazor este un număr complex, reprezentând o funcție sinusoidală a cărei amplitudine (A), frecvență unghiulară (ω) și faza inițială (θ) este invariantă în timp.

Imagine și text din Phasors Wikipedia

Să presupunem că aveți o rețea compusă din mai multe sinusoide (unde). Toate au aceeași frecvență, dar cu amplitudini și faze diferite. Singura diferență în reprezentările lor analitice este amplitudinea complexă (fazor). O combinație liniară de astfel de funcții poate fi inclusă în produsul unei combinații liniare de fazori (cunoscută sub numele de aritmetică fazorică) și factorul dependent de timp / frecvență pe care toți îl au în comun.

Când funcția $ {\ displaystyle \ scriptstyle A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)}} $ este descris în planul complex, vectorul format din părțile sale imaginare și reale se rotește în jurul originii. Magnitudinea sa este de $ A $ și finalizează un ciclu la fiecare $ 2π / ω $ secunde. $ θ $ este unghiul pe care îl formează cu axa reală la $ t = n • 2π / ω $, pentru valori întregi de n.

Comentarii

• Doar pentru a clarifica, fazorul este un număr complex și nu un vector. Deci, orice mărime fizică nu poate fi fazor, dar poate fi reprezentată ca un fazor. (Nu?)
• Matematic, puteți considera numere complexe ca vectori care respectă legile vectorilor de adunare și scădere având în vedere părțile reale și imaginare . În ceea ce privește înmulțirea cu numere reale și legile adunării / scăderii vectorilor, numerele complexe formează un spațiu vector echivalent cu spațiul vectorilor de traducere în planul real 2-D Răspuns

  Toți vectorii respectă legile adunării vectoriale și legile multiplicării. Deci, dacă adăugați doi fazori, acestea se adaugă ca vectori, dar dacă le multiplicați, acestea se înmulțesc ca numere simple. Prin urmare, fazorii sunt ca vectori, dar nu vectori. La fel ca vectorii de zonă care sunt înmulțiți ca vectori, dar adăugați ca numere.

  Răspuns

  Fazorii sunt cantități complexe utilizate pentru a reprezenta parțial cantități reale care variază sinusoidal în timp și poate în spațiu. Toți fazorii sunt independenți de timp. Ele reprezintă parțial cantitatea reală și nu complet, deoarece nu au informații despre frecvență.

  A spune că fazorii sunt ca vectori, înseamnă că numerele complexe sunt ca vectori, ceea ce este greșit În primul rând, asemănările sunt numai pentru vectorii bidimensionali . Da, adunarea și scăderea a doi vectori 2D este analogă adunării și scăderii a două numere complexe; și multiplicarea unui vector 2D cu un scalarul este analog cu înmulțirea unui număr complex cu un număr real.Dar, împărțirea a doi vectori nu este chiar definită, cu toate acestea este definită împărțirea a două numere complexe; de asemenea, puteți „doar” înmulți doi vectori 2D, trebuie să specificați dacă este un produs punct sau un produs încrucișat, oricum poate „doar” înmulți două numere complexe.

  Pentru circuitele electrice, o tensiune fazorală $ \ tilde V $ este o constantă complexă și reprezintă amplitudinea și faza semnalului, dar nu și frecvența acestuia. Semnalul $ v (t) $ este o funcție cu valoare reală a unei variabile reale (una temporală, $ t $ ), și reprezintă valoarea instantanee reală a semnalului. Sinorul $ v_c (t) $ este o funcție cu valoare complexă a unei variabile reale (una temporală, $ t $ ), și reprezintă valoarea instantanee complexă a semnalului. Unele relații:

  $ v (t) = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} = \ Re [\ tilde V e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (t)] \ tag * {} $

  $ \ tilde V = V_m e ^ { j \ phi} = V_m \ cos {(\ phi)} + j V_m \ sin {(\ phi)} \ tag * {} $

  $ v_c (t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j (\ omega t + \ phi) } = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} + j V_m \ sin {(\ omega t + \ phi)} \ tag * {} $

  Notă: $ v (t) = \ Re [\ tilde V] $ numai atunci când $ \ omega t = \ ldots, -4 \ pi, -2 \ pi, 0, 2 \ pi, 4 \ pi, \ ldots $ ; cu alte cuvinte, numai când $ \ omega t = 2 \ pi k $ , unde $ k $ este orice număr întreg.

  Pentru liniile de transmisie lungi (circuite electrice cu parametri distribuiți mai degrabă decât concentrați), o tensiune fazorală $ \ tilde V (x) $ este o funcție cu valoare complexă a unei variabile reale (una spațială, $ x $ ). Semnalul $ v (x, t) $ este o funcție cu valoare reală a două variabile reale (una spațială, $ x $ ; și una temporală, $ t $ ), și reprezintă valoarea instantanee reală. Sinorul $ v_c (x, t) $ este o funcție cu valoare complexă a două variabile reale (una spațială, $ x $ ; și una temporală, $ t $ ) și reprezintă valoarea instantanee complexă. Câteva relații:

  $ v (x, t) = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} = \ Re [\ tilde V (x) e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (x, t)] \ tag * {} $

  $ \ tilde V (x) = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ beta x + \ phi)} = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

  $ v_c (x, t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ omega t + \ beta x + \ phi)} = V_m e ^ { ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

  Pentru teoria electromagnetică generală, fazorii sunt funcții cu valoare complexă a trei variabile reale (trei spațiale, $ x $ , $ y $ , $ z $ ). Pentru vectorul câmpului electric instantaneu, $ \ mathbf E (x, y, z, t) $ , fazorul său este $ \ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) $ și relația $ \ mathbf E (x, y, z, t) = \ Re [\ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) e ^ {j \ omega t}] $ este satisfăcut.