Din punct de vedere matematic, o integrală de cale este o generalizare a unei versiuni multidimensionale integral. În integralele obișnuite $ N $ -dimensionale, se integrează $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ pe un subspatiu de $ {\ mathbb R} ^ N $, o integral $ N $ -dimensional. O integrală de cale este o integrală cu dimensiune infinită $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ peste toate funcțiile posibile $ f (y) $ ale unei variabile $ y $, care poate fi un număr real sau un vector. Valorile funcțiilor $ f (0) $, $ f (0,1) $, $ f (0,2) $ etc. joacă același rol ca variabilele $ x_1 $, $ x_2 $ etc. în integrala multidimensională obișnuită .
Deoarece indicele $ i $ de $ x_i $ lua valori în setul finit $ 1,2, \ dots N $, iar acum este înlocuit de variabila continuă $ y $, integralul căii este o integrală cu dimensiune infinită.
Matematicienii riguroși văd o mulțime de probleme care împiedică definirea integralei căii infinit-dimensionale folosind teoria măsurătorilor. Dar fizicienii știu că integrale similare pot fi tratate. Există unele „divergențe ultraviolete” etc. pe care le experimentați atunci când încercați să le calculați, dar acestea pot fi tratate. În esență, se dorește utilizarea tuturor regulilor naturale care se aplică integralelor cu dimensiuni finite. De exemplu, integralele (cale) ale unei sume de două funcții sunt suma a două integrale (căi) și așa mai departe.
Două dintre cele mai importante aplicații ale integralelor căii în fizică sunt în abordarea lui Feynman la mecanica cuantică, în special teoria câmpului cuantic și la mecanica statistică.
În mecanica statistică (clasică), se dorește calcularea sumei partiției $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ peste toate configurațiile $ c $ ale sistemului fizic. Dar deoarece configurațiile sunt adesea etichetate de funcții întregi $ f (y) $ – infinit de multe valori la toate valorile permise ale argumentului $ y $ – suma nu este „într-adevăr o” sumă”. Nu este chiar o integrală cu dimensiuni finite. Este o integrală de cale.
În mecanica cuantică, amplitudinile probabilității complexe etc. sunt calculate ca $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ adică ca integrală de cale peste toate configurațiile variabilelor $ \ phi (y) $ etc. Integrandul este o fază – un număr a cărui valoare absolută este una – și unghiul de fază depinde de acțiunea clasică evaluată din istoricul posibil $ \ phi (y) $. Stările inițiale și finale $ i, f $ sunt încorporate prin integrarea peste acele configurații din „timpii intermediari” care respectă condițiile limită adecvate.
Aproape toată teoria cuantică a câmpului poate fi exprimată ca un calcul al unor integrale de cale. Deci, în acest sens, învățarea „totul” despre o cale integrală este echivalentă cu învățarea aproape a tuturor mecanicii cuantice și a teoriei câmpului cuantic, care poate necesita între un semestru și 10 ani de studiu intens, în funcție de cât de profund doriți să obțineți. Cu siguranță nu poate fi acoperit într-un singur răspuns de dimensiuni permise pe acest server.
Calculul integralelor de cale cu integrantul Gaussian ie $ \ exp ({\ rm bilinear}) $, poate cu polinom prefactorii din variabilele de integrare, este poate cel mai important sau „cel mai simplu” exemplu de integrală de cale non-trivială de care avem nevoie în fizică.
În mecanica cuantică, integrala de cale reprezintă formula finală explicită pentru orice amplitudinea probabilității. Amplitudinea pentru orice tranziție de la starea $ | i \ rangle $ la starea $ | f \ rangle $ poate fi exprimată direct ca o integrală a căii, iar probabilitatea este valoarea absolută a amplitudinii probabilității la pătrat. mecanica cuantică permite calcularea reducerilor la aceste probabilități – deci integralul căii reprezintă „totul” în mecanica cuantică (acest paragraf a fost inițial postat ca un comentariu al meu, iar utilizatorul care a propus această editare a avut un motiv bun pentru a face acest lucru.)
Comentarii