Toate introducerile pe care le-am găsit la Matricile Pauli le indică pur și simplu și Apoi începeți să le utilizați. Descrierile însoțitoare ale sensului lor par frustrant de incomplete; eu, cel puțin, nu pot să înțeleg matricile Pauli după ce le-am citit deloc.
Înțelegerea și confuzia mea actuală sunt demonstrate mai jos. Aș fi atât de recunoscător dacă cineva ar putea umple toate găurile sau ar putea introduce altele noi acolo unde este cazul.
Spinors arată ca vectori coloană, adică $$ s = \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {matrix} \ right) $$ și sunt utilizate astfel încât rotația în trei dimensiuni (folosind numere complexe) să poată fi transformată liniar. Ce înseamnă exemplul de spinor de mai sus? O valoare de rotire de 1 în direcțiile x și z? Cum se poate reprezenta rotirea – $ \ frac {1} {2} $ cu doar 1s atunci?
Pentru a construi Pauli se folosește un vector tridimensional matrice pentru fiecare dimensiune. De exemplu, pentru rotire – $ \ frac {1} {2} $, vectorii folosiți pentru x, y și z sunt $ v_x = (1,0,0) $, $ v_y = (0,1 , 0) $ și $ v_z = (0,0,1) $. Le transformați fiecare în matricea Pauli relevantă prin următoarea ecuație, folosind dimensiunea x pentru demonstrație, $$ P ^ x = \ left (\ begin {matrix } v_3 ^ x & v_1 ^ x – i v_2 ^ x \\ v_1 ^ x + i v_2 ^ x & -v_3 ^ x \ end {matrix} \ right) $$ unde superscriptul indică dimensiunea, nu puterea.
Odată ce ai Cu aceste matrice, operați pe spinori cu ele. Ce face asta?
Puteți găsi, de asemenea, valorile proprii și vectorii proprii pentru matrice, care pot fi folosite pentru a găsi probabilitatea ca o particulă, dacă este măsurată să aibă un anumit spin într-o dimensiune, când va fi măsurată următoarea, va avea rotire într-o altă dimensiune pe care o alegeți. Nu înțeleg cum funcționează acest lucru. Ce reprezintă valoarea proprie și vectorul propriu în acest sens fizic și cum se încadrează în acest sens? În cazul în care ați avea o particulă de spin-1 despre care știați că se învârte în direcția x, ce ați face pentru a găsi probabilitatea ca aceasta să se învârtă în sus sau în jos în dimensiunea z sau y când va fi măsurată următoarea?
Exemple concrete ar ajuta probabil să înțeleg mult .
Comentarii
- Totul este explicat aici
- Este aceasta înțelegerea corectă? Pauli [x] = Rotiți rotirea pe axa x în baza z (o matrice de rotație – valori de swap) Pauli [y] = Rotiți rotirea pe axa y în baza z Pauli [ z] = Întoarceți rotirea pe axa z în baza z (Flip matrix – Spin + este pozitiv, Spin – este negativ)
Răspuns
Permiteți-mi mai întâi să vă reamintesc (sau poate să vă prezint) câteva aspecte ale mecanicii cuantice în general ca model f sau sisteme fizice. Mi se pare că multe dintre întrebările dvs. pot avea răspuns cu o mai bună înțelegere a acestor aspecte generale, urmată de o apelare la modul în care sistemele de spin apar ca un caz special. / div> Observații generale despre stările cuantice și măsurarea.
Starea unui sistem cuantic este modelată ca un element de lungime unitară $ | \ psi \ rangle $ a unui spațiu Hilbert complex $ \ mathcal H $, un tip special de spațiu vectorial cu un produs interior. Fiecare cantitate observabilă (cum ar fi impulsul sau rotirea) asociată cu un astfel de sistem a cărei valoare ar putea dori să fie măsurată este reprezentată de un operator autoadjunct $ O $ pe acel spațiu. Dacă se construiește un dispozitiv pentru a măsura un astfel de observabil și dacă se folosește acel dispozitiv pentru a face o măsurare a acelui observabil pe sistem, atunci mașina va emite o valoare proprie $ \ lambda $ a acelui observabil. Mai mult, dacă sistemul este într-o stare $ | \ psi \ rangle $, atunci probabilitatea ca rezultatul măsurării acelei cantități să fie valoarea proprie a observabilului este \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} unde $ | \ lambda \ rangle $ este vectorul propriu normalizat corespunzător valorii proprii $ \ lambda $.
Specializarea sistemelor de rotire.
Să presupunem, acum, că sistemul pe care îl luăm în considerare constă din rotirea unei particule. Spațiul Hilbert care modelează starea de spin a unui sistem cu spin $ s $ este un spațiu Hilbert de 2 $ + 1 $ dimensional. Elementele acestui spațiu vectorial sunt adesea numite „spinori”, dar nu lăsați acest lucru să vă distragă atenția, ele sunt la fel ca orice alt vector dintr-un spațiu Hilbert a cărui sarcină este de a modela starea cuantică a sistemului.
Observabilele primare a căror măsurare se discută de obicei pentru sistemele de spin sunt componentele carteziene ale spinului sistemului. Cu alte cuvinte, există trei operatori autoadjuncti numiți în mod convențional $ S_x, S_y, S_z $ ale căror valori proprii sunt valorile posibile s-ar putea obține dacă se măsoară una dintre aceste componente ale rotirii sistemului. Spectrul (setul de valori proprii) al fiecăruia dintre acești operatori este același.Pentru un sistem de rotire $ s $, fiecare dintre spectrele lor constă din următoarele valori: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} unde în notația mea $ i = x, y, z $. De exemplu, dacă construiți o mașină pentru a măsura componenta $ z $ a rotirii unui sistem de rotire – $ 1 $, atunci mașina va da una dintre valorile din setul $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ de fiecare dată. Corespunzător fiecăreia dintre aceste valori proprii, fiecare operator de componentă de rotire are un vector propriu normalizat | S_i, m_i \ rangle $. După cum se indică în observațiile generale de mai sus, dacă starea sistemului este $ | \ psi \ rangle $ și se dorește să știe probabilitatea ca măsurarea componentei de centrifugare $ S_i $ să dea o anumită valoare $ m_i \ hbar $ , apoi se calculează pur și simplu \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} De exemplu, dacă sistemul are o rotație de $ 1 $ și dacă cineva dorește să știe probabilitatea ca o măsurare a lui $ S_y $ să producă valoarea proprie $ – \ hbar $, atunci se calculează \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}
Spinors.
În contextul de mai sus, spinorii sunt pur și simplu reprezentările matriciale ale stărilor unui anumit sistem de spin într-o anumită bază ordonată, iar matricile de spin Pauli sunt, până la o normalizare, reprezentările matriciale ale operatorii de componentă de rotire din această bază, în special pentru un sistem cu rotire de $ 1/2 $. Reprezentările matriciale facilitează adesea calculul și înțelegerea conceptuală, motiv pentru care le folosim. B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ constând din vectorii proprii normalizați ai componentei $ z $ de rotire, atunci s-ar găsi următoarele reprezentări matriciale în baza respectivă \ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Observa asta aceste reprezentări sunt tocmai matricile Pauli până la factorul extra $ \ hbar / 2 $. Mai mult, fiecare stare a sistemului ar fi reprezentată printr-o matrice de $ 2 \ times 1 $ sau „spinor” \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} Și s-ar putea folosi aceste reprezentări pentru a efectua calculele menționate mai sus.
Comentarii
- Mulțumesc foarte mult; acest lucru m-a ajutat să înțeleg foarte mult. Este doar convenție că statele proprii care returnează valori proprii negative sunt rotite ‘ în jos ‘ și rotire pozitivă ‘ up ‘? Pentru a-mi verifica înțelegerea, am ‘ am încercat să calculez exemplul pe care l-am folosit mai sus: este adevărat că o particulă de spin-1 măsurată pentru a fi sus în dimensiunea x (valoare proprie hbar) va să fie în starea normalizată < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > și probabilitatea dimensiunii az măsurarea revenirii în sus va fi apoi 1/4, întoarcerea rotirii zero va fi 1/2 și în jos 1/4?
- +1 Îmi plac mai ales ” mașinile ” în primul paragraf – foarte feynmanian ca aromă. M-am chinuit mulți ani să ” să înțeleg ” QM: matematica și teoria Lie au fost obișnuite pentru mine, dar a durat mult pentru mine pentru a înțelege că ” operatorii ” nu numai operatorii, dar au venit și cu o rețetă specială pentru modul de interpretare a acestora ca modele de ” mașini de măsurat „. Din păcate, nu pot ‘ să îmi amintesc dacă prelegerile Feynman sau Sakurai au primit mesajul sau dacă într-adevăr a fost un amestec al celor două în gândurile mele la duș sau în timp ce mersul pe jos, dar acestea sunt ceea ce recomand oamenilor acum.
Răspuns
Grupurile sunt structuri matematice abstracte, definite prin topologia lor (în cazul grupurilor continue (Lie)) și operația de multiplicare.
Dar este aproape imposibil să vorbim despre grupurile abstracte. De aceea, de obicei, elementele grupurilor sunt mapate pe operatori liniari care acționează asupra unui spațiu vectorial $ V $:
$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$
unde G este grupul, $ \ text {End} (V) $ reprezintă endomorfisme (operatori liniari) pe $ V $, iar $ \ rho (g) $ este maparea .Pentru ca această mapare să fie semnificativă, trebuie să mapăm înmulțirea grupului în mod corespunzător:
$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$
Inversul este de asemenea mapat la
$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$
iar identitatea grupului este doar
$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$
Aceasta se numește reprezentarea grupului $ G $. $ V $ se transformă sub reprezentarea $ \ rho $ a grupului $ G $.
În cazul dvs., grupul de interes este grupul de rotații în 3 dimensiuni care este de obicei notat ca SO (3). Scopul nostru este de a găsi diferite obiecte care pot fi rotite, adică reprezentări (și spații de reprezentare) ale SO (3).
O astfel de reprezentare este reprezentarea definitorie (care este utilizată pentru a defini SO (3)) , sau reprezentarea vectorială. În acest caz $ V $ este doar $ R ^ 3 $ și matricile din $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ sunt matrice ortogonale $ 3 \ ori 3 $ cu determinant de unitate:
$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$
Deci vectorii pot fi rotiți în 3 dimensiuni. Rezultatul unei astfel de rotații cu $ g \ in \ text {SO (3)} $ este determinat acționând asupra vectorului inițial cu operatorul $ \ rho (g) $.
O altă reprezentare este spinorul reprezentare. Spațiul vectorial este acum bidimensional și complex . Imaginea acestei reprezentări este formată din unitar $ 2 \ ori 2 $ cu determinant unitate:
$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$
Această reprezentare nu este la fel de evidentă ca și cea anterioară, deoarece spinorii sunt ceva ce nu vedem de obicei în viața de zi cu zi. Dar se poate dovedi matematic că aceste reprezentări sunt izomorfe și, prin urmare, sunt două reprezentări diferite ale aceluiași grup (de fapt, acestea sunt omomorfe, iar reprezentarea spinorului este capacul dublu al reprezentării vectoriale).
Acum la matricile Pauli. Există un principiu general: pentru fiecare grup Lie $ G $ există o linie corespunzătoare spațiu (algebră Lie) cu o paranteză Lie (o operație anti-comutativă care satisface identitatea Jacobi) care se mapează în mod unic pe o vecinătate a unității grupului de $ G $. Această mapare se numește exponențială.
puteți scrie un arbitrar (suficient de apropiat de unitate pentru a evita problemele topologice globale) $ 2 \ times 2 $ matrix complex fr om reprezentarea spinorului în formă
$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$
$ \ alpha ^ a $ sunt trei numere care parametrizează elementul de grup a cărui reprezentare este $ A $, iar $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ sunt baza algebrei Lie, cu $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ ori 2 $ Matrici Pauli. Această ecuație specifică destul de mult modul în care un spinor este transformat sub o rotație arbitrară.
În reprezentarea vectorială există și o bază de algebră Lie, care constă din 3 $ 3 \ ori 3 $ matrice. / div>
Răspuns
Există alte două interpretări ale matricilor Pauli pe care le-ați putea găsi utile, deși numai după ce înțelegeți Descrierea fizică excelentă a lui JoshPhysics . Următoarele pot fi considerate mai mult ca ” trivia funky ” (la cel puțin le găsesc interesante) despre matricile Pauli mai degrabă decât despre o interpretare fizică.
1. Ca bază pentru $ \ mathfrak {su} (2) $
Prima interpretare este diferit văzută ca (i) sunt unități cuaternion, modulo o schimbare de semn și reordonarea definiției matematicianului aceste fiare , (ii) ca bază pentru algebra Lie $ \ mathfrak {su} (2) $ din $ SU (2) $ atunci când utilizăm matricea exponențială pentru a recupera grupul $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ prin (iii) o generalizare tridimensională a Teorema lui De Moivre .
O matrice hermitiană $ 2 \ times2 $ generală, fără urmele math-container „> $ H $ poate fi descompus în mod unic ca:
$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$
cu $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Această matrice îndeplinește ecuația caracteristică $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , unde $ \ mathrm {id} $ este identitatea $ 2 \ times2 $ și $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Deci, dacă implementăm seria exponențială a matricei universal convergente și apoi reducem toate puterile $ H $ mai mari decât termenul liniar cu ecuația caracteristică, obținem:
$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$
care se vede a fi o generalizare a lui De Formula lui Moivre pentru ” imaginar pur ” unitate
$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$
și toți membrii $ SU (2) $ pot fi realizați printr-un exponențial precum în (2) (dar rețineți că exponențialul unei algebre Lie, deși întregul $ SU (2) $ în acest caz, nu este întotdeauna întregul grup Lie, cu excepția cazului în care lat ter este (i) conectat și (ii) compact). Astfel, fiecare membru al $ SU (2) $ poate fi descompus ca o ” unitate de lungime a suprapunerii matricilor Pauli și a matrice de identitate.
Motivul factorului 2 din definiția $ \ theta / 2 $ este până acum misterios: martor că în scopul cele de mai sus, am putea la fel de ușor să înlocuim $ \ theta / 2 $ cu $ \ theta $ . Motivul este legat de relația dintre matricile Pauli și sfera celestă, pe care o discut mai târziu. Cuaternionii reprezintă rotații printr-o hartă spinor ( DAR , așa cum ne sfătuiește Joshphysics, nu vă lăsați distras prea mult de acest cuvânt); dacă un vector în 3 spații este reprezentat de un cuaternion pur imaginar de forma $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , apoi imaginea sa sub o rotație a unghiului $ \ theta $ despre o axă cu direcția cosinusului $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ este dat de:
$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$
Această hartă spinor este un exemplu de grup $ SU (2) $ acționând pe propria sa algebră Lie prin reprezentarea adiacentă. Poate fi înțeles intuitiv în termeni de o regulă triunghiulară pentru a elabora compozițiile a două rotații, așa cum este schițată în diagrama mea de mai jos. Arcurile din sfera unitară reprezintă o rotație printr-un unghi de două ori mai mare decât cel dat de unghiul subtins de arc la origine.
Explic asta în detaliu în Exemplul 1.4 ” $ 2 \ times2 $ Grup unitar $ SU (2) $ ” pe pagina mea web ” Câteva exemple de grupuri de minciuni conectate ” aici .
Există, de asemenea, demonstrația mea interactivă Mathematica ” $ SU (2) $ Harta spinorului: compoziție de rotație prin triunghiuri grafice ale cuaternionului pe site-ul Demonstrații Wolfram .
2. Sfera Celestă
Prin extinderea spațiului liniar tridimensional al suprapunerilor matricilor Pauli (care este același cu spațiul liniar al traceless $ 2 \ times2 $ matrici skew-hermitiene) la spațiul 4 dimensional cuprins de matricile Pauli și matricile de identitate, apoi orice transformare din grupul $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ acționează asupra vectorilor de forma $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ de aceeași hartă spinor ca în (4). Dacă ne restrângem la raze proiective în acest spațiu, grupul $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ , izomorf la grupul Moebius din Transformările Möbius acționează asupra acestui spațiu de raze exact în același mod în care acționează transformările Möbius (liniare fracționate) asupra sferei Riemann. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ este o copertă dublă a grupului Lorentz și puteți calcula modul în care se modifică viziunea unui navigator pe măsură ce acestea suferă transformări Lorentz. Consultați secțiunea ” Transformări Lorentz ” pe Wikipedia Transformare Möbius ” pentru mai multe detalii.
Răspuns
O explicație mecanică generală. Câmpurile și undele urmează ecuații hiperbolice (ecuații de undă). Acestea reprezintă avans în spațiu și timp și, ca atare, nu pot reprezenta masa care trebuie să fie staționară, dar care ar putea fi și rotitoare. O astfel de mișcare necesită o ecuație eliptică. De exemplu, ecuația Kline-Gordon este hiperbolică, în timp ce ecuația Dirac este eliptic. Într-un fluid care curge există un exemplu paralel. Vorticile și turbulențele nu se pot forma fără ajutorul unei limite – pentru a devia fluxul de la avansarea la starea circulantă. Prima regiune este hiperbolică și a doua este eliptică.
Acum, pentru a crea o particulă (energie de rotire) dintr-un câmp (care se deplasează în poziție), trebuie să deviați / să rotim direcția câmpului. Aici matricile Pauli vin în ajutor și dau elipticitatea necesară. Acesta este motivul pentru care se folosesc numere imaginare / rotație. Înmulțind o cantitate cu i o rotim cu 90 de grade, pentru un unghi general folosim exponențiala unei mărimi imaginare.
Mai târziu, când amestecăm Lagrangienii de unde și particule într-un model mai general, revenim să folosim Higgs pentru a face aceeași treabă de a transforma de la un tip de energie la altul – adică de la câmpuri la particule și vice-versa.