Ce înțelegem prin termenul “ Numărul de lucruri ”?

Cartea este una foarte veche: ed. a II-a 1903; Prima ediție 1890.

După cum puteți vedea din pagina de subsol pagina 131, Cantor și Dedekind sunt menționate ca „contribuții interesante la literatura de specialitate” …

Astfel, nu puteți așteptați-vă că conceptele introduse la început fără definiție, utilizate ca primitive pentru a „elucida” următorul tratament, pot fi traduse exact în noțiuni teoretice moderne (iepost-1930).

Cred că:

grup trebuie să însemne o colecție finită de obiecte (lucruri)

și că:

numărul de lucruri într-un grup este „clar” (din discuție) echivalentul modern cardinalității (limitat la colecțiile finite ) și se numește „proprietate” a colecția (grupul).

Interpretarea mea este că lucrurile sunt „individuale”, concrete sau abstracte (dacă există). Bineînțeles, este ușor să le gândim ca obiecte concrete, cum ar fi pisici în buzunar sau soldat într-un pluton.

Un pluton este un grup de soldați și numărul de lucruri din pluton este numărul de soldați individuali care îl formează.

Această interpretare are sens și în ceea ce privește definiția următoare a adăugării (vezi CoolHandLouis „răspunsul”).

Vă rugăm să rețineți că aici grup are semnificația „generică” de colecție sau agregat; nu are nimic de-a face cu termenul tehnic „grup” din teoria grupurilor .

Când ne „abstractizăm” de „caracterele” lucrurilor individuale (adică le formăm proprietățile individuale, cum ar fi culoarea, dimensiunea, forma pentru o colecție de bile) și din ordinea obiectelor din colecție (este același pentru conceptul „modern” set : {A, B, C} este „același” set ca {C, B, A} ) ceea ce obținem este „numărul” lucrurilor din grup (numărul membrilor colecției).

Rețineți r că notația originală a lui Cantor pentru reprezentarea numărul cardinal al setului A a fost o „dublă bară” peste A:

simbolul unui set adnotat cu o singură bară peste A indicat A dezbrăcat de orice structură în afară de ordinea, prin urmare, a reprezentat tipul de comandă al setului. O bară dublă peste A a indicat apoi eliminarea ordinii din set și astfel indicat numărul cardinal al setului.

Comentarii

• Ce înțelegem prin termenul Număr de lucruri în engleză generală?
• @Anupam – îmi pare rău, dar ‘ nu sunt vorbitor de engleză nativ . Am ‘ căutat pe Dicționar Cambridge online : nu există o parafrază directă: cea mai asemănătoare locuție I ‘ găsit este ” mai multe dintr-un anumit tip de lucru: am decis să nu merg, din mai multe motive. ” Trebuie să folosim locația Fine ‘ ca primitiv ” termen tehnic „.
• Cred că ” grup ” nu este ” set ” al matematicii noastre moderne. Un set este o colecție de abstract-objects pe de altă parte ” grup ” este o colecție de lucruri (care nu sunt abstracte). Teoria mulțimilor nu are nimic de-a face cu întrebarea mea.
• Nu am citit ‘ această lucrare, dar, ca cineva cu mai multe baze matematice, propoziția ” trebuie să însemne o colecție finită de obiecte (lucruri) ” mă face să mă înfricoșez.
• @JamesKingsbery – dar „2b22048b23”>

Prefață

Am furnizat două răspunsuri la această întrebare:

• Celălalt răspuns este cel mai bun răspuns și este răspunsul meu principal. Sugerează că domnul Fine se referă la teoria naivă a mulțimilor.

• Am furnizat acest răspuns OP a insistat să gândească {A, A, A} ca conținând „trei elemente distincte „și a postat o recompensă. Altfel nu exista absolut niciun OP convingător, așa că de ce să nu fim de acord și să obținem recompensa? 🙂

  Cele două răspunsuri se completează de fapt, deoarece arată cum se poate descrie aceleași fenomene matematice prin schimbarea axiomelor, definițiilor și regulilor în locuri diferite. Spuneți TOE MAI TOE Eu spun TOE MAH TOE. După cum se dovedește, acest răspuns conține o„ dovadă matematică ”drăguță, potrivit căreia domnul Fine credea că {A, A, A} reprezintă trei elemente distincte”. răspuns.

Anupam,

Ai dreptate dle. Fine consideră că {A, A, A} = 3.

Trimit un alt răspuns pentru că am descoperit acest lucru, dar am vrut să renunț la vechiul meu răspuns de dragul istoriei. Ai dreptate! Henry Burchard Fine a însemnat trei lucruri concrete, astfel încât {A, A, A} este considerat trei. Afirmația sa nu poate fi o greșeală, deoarece este premisa sa principală în fundamentarea întregii sale aritmetice numerice – baza întregii sale cărți – începând cu adăugarea:

Adăugare: Dacă două sau mai multe grupuri de lucruri sunt reunite astfel încât să formeze un singur grup, simbolul numeric al acestui grup se numește suma numerelor grupurilor separate.

Dacă suma este s și numerele grupurilor separate abc etc, respectiv relația dintre ele este exprimată simbolic prin ecuația s = a + b + c + etc unde se presupune că grupul sumă este format prin alăturarea celui de-al doilea grup căruia îi aparține b mai întâi al treilea grup la care c aparține grupului rezultat și așa mai departe

Operațiunea de a găsi s când abc etc. sunt cunoscute este adăugarea. Adunarea este numărarea prescurtată.

6 Adunarea Dacă două sau mai multe grupuri a lucrurilor să fie reunite astfel încât să formeze un singur grup simbolul numeric al acestui grup se numește suma numerelor grupurilor separate Dacă suma este s și numerele grupelor separate abc etc., respectiv relația dintre ele este simbolică exprimat prin ecuația sab c + etc unde grupul sumă se presupune a fi format prin alăturarea celui de-al doilea grup la care b aparține primului al treilea grup căruia c îi aparține grupul rezultat și așa mai departe Operațiunea de a găsi s când abc etc. sunt cunoscute este adăugarea Adăugarea este numărarea prescurtată

• Dat fiind a, b, c sunt „grupuri / seturi”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Fie d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Sum (d) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c)

• Definiți acum grupurile / seturile după cum urmează:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Suma (d ) = Suma (a) + Suma (b) + Suma (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Prin urmare, „operatorul sindical” al domnului Fine trebuie să creeze d = {A, A, A} și suma ({A, A, A}) = 3.

• Dacă „operatorul sindical” al lui Mr. Fine a fost notat normal, atunci d = {A} și nu se poate obține „3” din aceasta.

Prin urmare, domnul Fine consideră {A, A, A} = 3.

Acesta este cazul când A reprezintă obiecte concrete distincte, cum ar fi 3 monede într-un buzunar.

Comentarii

• Nu cred ‘ Nu cred că aceasta este concluzia corectă. Cred că Fine presupune doar că atunci când ” reunește grupurile împreună ” în scopul însumării, ” grupurile ” sunt disjuncte.
• Presupuneți litera $ A $ ca ” obiect abstract ” sau ” obiect concret „. Dacă $ A $ este presupus ca un ” obiect abstract ” atunci $ a $, $ b $ și $ c $ toate vor avea $ 1 , 1,1 $ număr de lucruri în ele, dar $ d $ nu va avea 3 $ număr de lucruri, deoarece termenul Număr de lucruri este definit doar pentru ” grupuri ” având lucruri distincte. Dacă presupuneți $ ” A ” $ ca ” obiect concret ” atunci fiecare lucru este în regulă.
• +1 La comentariul dvs. de mai sus Anupam!Anupam, aceasta este probabil cea mai bună întrebare pe care ați pus-o ‘ în comentarii! Bravo și +1 la această întrebare! Întregul meu răspuns depinde de ceea ce am vrut să spun! Deci, asta înseamnă că nu puteți fi sigur dacă acest lucru este corect sau nu, cu excepția cazului în care vă spun dacă am vrut să spun ” abstract ” sau ” beton „. Excelent! Îmi place! Cred că acest lucru este paralel cu întrebarea inițială cu privire la intenția a ceea ce a vrut să spună domnul Fine.
• ” A ” este un obiect concret.

Lucrarea care primul care îmi vine în minte este Filosofia aritmeticii a lui Edmund Husserl. El abordează în detaliu dificultatea evidentă cu numărul: că pentru a număra lucrurile numărate trebuie să fie diferite ambele (deci pot fi mai multe) și la fel (numărați anumite lucruri). Când spun „trei mere”, toate sunt la fel într-un sens (sunt „mere) și toate sunt diferite în altul (sunt trei, distinse prin spațialul lor relație dacă nimic altceva)

Există simultan „multiplicitate” și „unitate”. Acest lucru duce la întrebarea „la fel în ce fel și diferit în ce fel”.

Lucrul pe care îl amintesc cel mai mult din această carte este discutarea diferenței și a distinge. Este ceva despre care merită să vorbim. Există doi termeni care pot fi contrastați, „diferiți”, „distinși”.

• Pentru a distinge între două lucruri trebuie să facem o judecată
• Diferită este o condiție nescesară, dar nu suficientă, pentru ca lucrurile să poată fi distinse

În matematică se distinge tot ceea ce este diferit și se consideră o totalitate de lucruri distincte. Acest lucru evită partea dificilă: judecata umană.

Această judecată este adesea ușoară pentru noi. Este clar că percepem multe lucruri ca fiind distincte și că lumea „cristalizează” în obiecte. Deși această percepție nu este întotdeauna tot ce este necesar pentru a face distincția între lucruri, în majoritatea situațiilor de zi cu zi este suficient. Numai în cazurile de margine în care trebuie să depășim aspectul nostru de obiecte separate în spațiu și să folosim un alt mod de judecată.

Abilitatea de a distinge între lucruri este subiectul principal al câmpului științific al psihofizicii, care într-adevăr a început în jurul anilor 1890 și continuă până în prezent. Au existat multe scrieri filosofice despre aceasta și despre această capacitate umană, de fapt sunt de părere că este problema principală a filosofiei (alții s-ar putea să nu fie de acord).

Pentru a răspunde direct la întrebarea dvs.: matematica exclude judecata umană, deci atunci când construim un sistem formal trebuie să începem după ce judecata a fost făcută – o facem presupunând că obiectele sale sunt toate distincte unele de altele. Dacă obiectele din matematică nu sunt distincte, acestea sunt considerate la fel. Acest lucru nu este adevărat pentru lucrurile reale, care pot fi diferite, dar nu se disting.

Notă: Detaliile despre modul în care aritmetica devine abstractă de la judecățile umane sunt acoperite în restul cărții lui Husserl. Nu sunt cu adevărat capabil să-l articulez aici. Cred că ar putea exista unele probleme cu acesta în lumina cercetărilor științifice recente „numeroase” . Nu sunt sigur încă.

Comentarii

• Problema ” One-over-many ” datează din Platon; vezi Argumentul al treilea om , dar ne oferă puține informații despre ceea ce sunt numerele și modul în care acestea susțin ” procesul uman ” de numărare. Matematica le poate indica numerele ca primitive sau poate încerca să ” le explice ” prin teoria seturilor, utilizând conceptele de corespondență (numere cardinale) și ordine (numere ordinale). Dar totuși problema este: ce sunt numerele și de ce suntem capabili să ” le aplicăm ” realității externe?
• @MauroALLEGRANZA Da, este ‘ vechi, este ‘ este întrebarea principală;) Restul lui Husserl ‘ este despre relația dintre aritmetica abstractă și lume, motiv pentru care ‘ am menționat-o mai degrabă decât orice altceva. ‘ nu l-am detaliat deoarece este 1) destul de tehnic (motivul principal) 2) posibil greșit și 3) nu este necesar să explic ” De ce domnul Fine a limitat acest termen numai pentru acele grupuri care au toate elementele distincte. ”
• I ‘ nu spun că Husserl a greșit … Înțelegerea mea personală este atât de bună (1890!)) încerca să ” elucida ” conceptul de număr evitând ” platonist ” aroma, evitând toate referințele la ” abstract ” ‘ nu sunt convins că Platon are dreptate … dar ‘ sunt convins că până acum nu a fost găsit un argument solid pentru ” explicând ” ce numere evită toate referințele la ” abstract ” obiecte sau concepte.
• @MauroALLEGRANZA Nu ‘ nu am vrut să spun că ați fost. Husserl este destul de critic față de ideea că numerele ar trebui restrânse la obiectele fizice (în special Mill), spune el ” Simpla aluzie la acte sau stări psihice, care cu siguranță poate fi numărat la fel de bine ca și conținutul fizic, respinge [acest] „. Dacă se pot număra obiecte abstracte, o teorie care omite obiectele abstracte de referință ar fi incompletă. Dar poate că ‘ nu prea te înțeleg.
• Din nou, sunt de acord cu tine; I ” iubesc ” G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (” Fundamentele aritmeticii: o investigație logico-matematică asupra conceptului de număr „), Breslau, 1884 unde a ” demolată ” teoria empiristă a numerelor a lui ‘ Au existat conexiuni (și contacte) între H și F; vezi de Claire Ortiz Hill, Husserl sau Frege? Înțeles, obiectivitate și matematică .

Prefață

Am oferit două răspunsuri la această întrebare:

• Acest răspuns este cel mai bun răspuns și sugerează că domnul Fine se referă la teoria naivă a seturilor. De asemenea, nu există nici o încercare mare de rigoare aici, iar domnul Fine pur și simplu sări înainte la subiectul său de interes. Acest răspuns este răspunsul meu principal.

• Am furnizat un alt răspuns în același fir, deoarece OP a insistat să gândească {A, A, A} ca conținând „trei elemente distincte” și a postat o recompensă. Altfel nu exista absolut niciun OP convingător, așa că de ce să nu fim de acord și să obținem recompensa? 🙂

  Cele două răspunsuri se completează de fapt, deoarece arată cum se poate descrie aceleași fenomene matematice prin schimbarea axiomelor, definițiilor și regulilor în locuri diferite. Spuneți TOE MAI TOE Eu spun TOE MAH TOE. După cum se dovedește, celălalt răspuns conține o „dovadă matematică” drăguță că Domnul Fine a crezut că {A, A, A} reprezintă trei elemente distincte. Poate fi interesant să vedem cum am apărat o astfel de propunere.

1. Cartea face referire la teoria seturilor naive

Următorul link Google Books este mai ușor de referit: Sistemul numeric al algebrei: tratat teoretic și istoric „ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, Publicat 1907). Următorul este extrasul din această carte din 1907:

I. INTEGRUL POZITIV ȘI LEGILE CARE REGULează ADĂUGAREA ȘI MULTIPLICAREA INTEGRĂRILOR POSITIVE

1 Număr. Spunem despre anumite lucruri distincte că formează un grup (prin grup se înțelege grup finit care este unul care nu poate fi adus într-o corespondență unu la unu 2 cu orice parte din sine) atunci când le facem colectiv un singur obiect al atenției noastre.

Numărul de lucruri dintr-un grup este acea proprietate a grupului care rămâne neschimbată în timpul fiecărei schimbări în grupul care face nu distruge separatenele lucrurile unii de la alții sau separarea lor comună de toate celelalte lucruri.

Astfel de schimbări pot fi schimbări în caracteristicile lucrurilor sau în aranjarea lor în cadrul grupului. Din nou, schimbările de aranjament pot fi modificări fie în ordinea lucrurilor, fie în modul în care acestea sunt asociate între ele în grupuri mai mici.

Prin urmare, putem spune: Numărul de lucruri din orice grup de lucruri distincte este independent de caracterele acestor lucruri de ordinea în care pot fi aranjate în grup și de modul în care pot fi asociate între ele în grupuri mai mici.

2 Egalitate numerică. Numărul de lucruri din oricare două grupuri de lucruri distincte este același când pentru fiecare lucru din primul grup există unul în al doilea și reciproc pentru fiecare lucru din al doilea grup unul in primul. Astfel numărul de litere din cele două grupe A, B, C; D, E, F, este același … [Mr. Fine continuă să vorbească despre corespondența 1 la 1 – CoolHandLouis] …

Este clar pentru oricine ia o clasă de început „Teoria seturilor 101” că această carte descrie fundamentul teoriei mulțimilor. Putem spune cu încredere că referințele domnului Fine la un „grup” sunt exact și exact ceea ce este acum cunoscut sub numele de „set”, și la „elemente” atunci când el descria „lucruri distincte”. întreaga postare se referă de fapt la ceea ce se numește „Teoria Naivă a Seturilor”, dar acest lucru nu este consecvent pentru această întrebare / răspuns.)

Având în vedere că domnul Fine se referă la Teoria Seturilor, iar cartea sa a fost scrisă în 1907 , prima mea sugestie este ca să uitați complet de domnul Fine și google pentru câteva referințe bune pentru „ teoria seturilor ”pentru începători și, de asemenea, priviți câteva dintre videoclipurile scurte despre același subiect.

Nota de subsol a domnului Fine„ Prin grup înțelegem grupul finit care este una care nu poate fi adusă într-o corespondență individuală cu nici o parte din ea însăși „este o dovadă foarte puternică despre care vorbește despre teoria (naivă) a seturilor. Evită în mod evident mulțimi infinite și, pe baza istoriei teoriei seturilor, că poate a fost pentru pol motive itice. Nu există niciun motiv pentru el să fie controversat în acel moment al carierei sale și toate motivele pentru a juca în siguranță, mai ales cu această carte.

Dar acesta este un meta-răspuns. Iată „un răspuns real:

2. Răspunsul la întrebare – Introducere

Mai întâi permite standardizarea restului limbajului acestui post în secolul 21: Un set este o colecție de elemente distincte. Deci, să nu mai vorbim despre „lucruri” sau „grupuri”. Și nu contează dacă sunt concrete sau abstracte, reale sau imaginate.

Modificarea numelor pentru acești termeni nu în orice mod schimba oricare dintre problemele pe care le întâmpinați. Noile cuvinte se referă exact la același lucru pe care îl spunea domnul Fine. Totul este o chestiune de definiție și voi defini totul pe măsură ce vom arăta diferența că cauzează confuzie.

3. Cum privești „Distinct” și „Counting”

În primul rând, într-un fel, ai dreptate. În propria înțelegere personală / sistemul de credință / definițiile „distinctului”, „colecției”, „setului de lucruri” și „grupului”, și modul în care cineva se ocupă de ele ng „că” ai dreptate „. Și nici eu, nici vreun matematician nu putem argumenta împotriva „dreptății” tale în acest sens. Pe baza definițiilor și metodelor dvs. de gândire, aveți perfectă dreptate. Dar acesta este doar un început; asta nu rezolvă confuzia.

Să inventăm / inventăm un sistem în care ai „dreptate”. (Amintiți-vă că am putea la fel de bine să spunem „grupuri” și „lucruri”, dar eu „standardizez la„ seturi ” și „elemente”. Cuvintele folosite nu fac nicio diferență atâta timp cât le definim.)

Reguli non-standard ale teoriei seturilor conform posterului original

• Un set este o colecție de elemente.
• Fiecare element este reprezentat de unul sau mai multe simboluri (alfanumerice).
• Dimensiunea setului este numărul total de elemente.
• OP „Definiția lui Distinct: Fiecare element este considerat„ distinct ”dacă apare într-o poziție diferită, deci {A , A} conține două elemente distincte deoarece sunt în poziții diferite (poziția unu și poziția doi).

Întrebare: Câte elemente există în {A, A, A} în funcție de deasupra regulilor nestandardizate de Ori ginal Poster? Răspuns: 3.

4. Cum definește teoria matematică a seturilor (Cartea lui Mr. Fine) „Distinct” și „Counting”

Acum, să considerăm acest lucru mai mult din definiția matematică standard.

Regulile standard ale teoriei seturilor matematice

• Un set este un colecție de elemente distincte.
• Fiecare element este reprezentat de unul sau mai multe simboluri.
• Dimensiunea unui set este numărul total de elemente.
• Definiția teoriei seturilor de distinct: Fiecare element este considerat „distinct” dacă se poate determina că este diferit de toate celelalte elemente. Atunci când este reprezentat de litere și cuvinte, privește doar , deoarece distinctivitatea este dacă elementele au sau nu nume diferite. În matematică scrisă, distinct = nume diferite.

În scopul acestui răspuns, ceva numit același lucru nu este distinct – se referă la același lucru. Deci {A, A} este ca și cum ai spune: {India, India}. Se referă doar la o țară, nu la două țări. Se referă la aceeași țară de două ori. Deci care este numărul? O singură țară sau de două ori când este menționată? În teoria mulțimilor, este prima.

„Dar de ce?” s-ar putea să întrebi. Într-un fel, vă puteți gândi la acest lucru ca fiind complet arbitrar. „Este prin definiție.” (Dar este așa pentru un motiv întemeiat; face ca multe alte lucruri din teoria seturilor să funcționeze bine, dar asta depășește această discuție). Deci, trebuie doar să o acceptați. , la fel ca „trebuie să acceptăm că aveți dreptate cu definiția dvs.”.

Întrebare: Câte țări distincte există în {Franța, Franța, Franța, Franța, India, India, India, Brazilia, Brazilia}? Răspuns: 3, deoarece setul se referă doar la trei locuri distincte = {Franța, India, Brazilia}.

5. Monede în buzunar

Este din acest motiv și din motive de simplitate, adăugăm pur și simplu o altă regulă la teoria seturilor:

• Nu sunt permise duplicate în seturi.

De ce? Deoarece un setul este un fel de „sac de lucruri” (concret sau abstract). De exemplu, să luăm în considerare patru monede în buzunarul din stânga luni. Să spunem că nu știm ce sunt. Așa că le numim C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Având în vedere această idee, face nu are sens să ne referim la aceasta ca {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. De ce să ne referim la prima monedă de trei ori? Este deja în buzunar. Trebuie să fie menționat doar o singură dată. Acum, să atribuim câteva atribute monedelor:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Greutate = 2.4993399494 g; Stare = Monetărie
• C2 = Tip = Penny; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Greutate = 2,4990044384 g; Stare = Bună
• C3 = Tip = Nichel; FaceValue = 0,05; Data = 2002; Greutate = 5.0002292833 g; Stare = Foarte bună
• C4 = Tip = Nichel; FaceValue = 0,05; Data = 2003; Greutate = 5,0010022229 g; Stare = Foarte bună

Acum că știm că două dintre ele sunt bănuți, setul de monede din buzunar este în continuare același:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Dar acum putem întreba câte tipuri diferite (distincte) de monede sunt în buzunar:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Să mutăm monedele C2, C3 și C4 în buzunarul drept marți. Ce aveți în buzunare miercuri?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Comentarii

• După studierea conceptului de type-token Mă îndoiesc de acuratețea logică a cărții Fine ‘. Construiesc o nouă întrebare legată de nota de subsol dată pe ” grupul $ {} ^ 1 $ „.
• Nu așteptați, vă rog pentru toată lumea ‘ de dragul … așteptați puțin. nu o altă întrebare despre care este vorba doar de cuie. Acordați răspunsurilor ceva timp pentru a răspunde la răspunsul meu și la preocupările dvs. ” Grupul ” în cartea Fine ‘ este exact ansamblul matematicii moderne. ‘ veți pleca complet pe o altă tangentă dacă luați acest lucru către o altă întrebare.
• ” Grup ” în cartea fină ‘ nu este exact setul din matematica modernă. De data asta sunt corect.
• Ok ce este dovada ta în acest sens. Mi-am acordat mult timp pentru acest răspuns, așa că vă rog să rămâneți puțin cu mine, ok?
• Opinia mea personală este că persoanele care pun întrebări, având în vedere serviciul gratuit al unui răspuns, ar trebui să voteze toate răspunsurile care furnizați o anumită valoare, chiar dacă ‘ nu este răspunsul corect. ‘ este un mod de a spune, ” Vă mulțumim că ați contribuit la procesul de găsire a răspunsului. ” În mod similar, cred că oricine răspunde la o întrebare ar trebui să voteze întrebarea; cu siguranță, dacă au petrecut timp răspunzând, trebuie să aibă o anumită valoare. Fii generos cu voturi. Sunt jetoane gratuite, abstracte de apreciere / valoare. Lăsați-i pe alții să voteze în sus / în jos pe merite mai strânse. ‘ este alegerea ta, dar nu aș ‘ să votez în jos cu privire la o astfel de tehnicitate.

Q1: Deoarece $ A $ și $ A $ nu sunt distincte, doar $ A $ și $ B $ sunt distincte (cu excepția cazului în care sunteți rabulistic și distingeți „prima pată de cerneală care formează un $ A $” de „a doua pată de cerneală care formează un $ A $”, dar asta face imposibilă menționarea corect oricare dintre aceste $ A $ s ca literă concretă (blob de cerneală) $ A $ folosit pentru a menționa o anumită literă (blob de cerneală) $ A $ este automat diferit de acel blob de cerneală, contrar intenției. toate aceste cazuri vorbim despre „ideea” de $ A $, adică orice instanță de „$ A $” din text se referă la același obiect, care în sine trebuie gândit în afara textului (pentru a-l face posibil în primul loc în care să folosiți „$ A $” pentru a vorbi despre $ A $). Numai în acest sens $ A = A $ (pentru că, pe măsură ce pete de cerneluri de beton pe hârtie au poziții diferite, făcându-le diferite) și cele două $ A $ În „$ A, B, A $” lipsesc claritatea. Grupul dvs. este, așadar, același cu cel care are elementele $ A, B $ (sau $ B, A $ dacă doriți), adică numărul este de $ 2 $.

Q2: Încă nu sunt identice cu obiectele. De exemplu. Puteți pune primul și pune al doilea în dulapul dvs. în timp ce călcați al treilea; l-ați observa cu siguranță dacă ați călca la cald cămașa aceeași cu cea pe care o purtați. Cămășile nu se pot distinge prin „culoarea” proprietății (așa cum erau înainte, deja nu se distingea, de exemplu, prin „dimensiunea” proprietății, presupun), dar se disting încă de proprietatea „poziția spațială”. În mod fascinant, acest lucru ne lasă cu problema că întâmpinăm dificultăți în a identifica cămășile de astăzi cu cele de ieri. Trebuie să ne gândim destul de mult ce înseamnă „distinct” (spre deosebire de perhas față de „distinct”) și „același lucru”.

Î3: Distincția elementelor (care pot permite cămăși identice colorate) este esențială, deoarece nu doriți să numărați din nou obiectul același (a face acest lucru vă va transforma într-un om bogat, cu o singură monedă în buzunar). O abordare total (()) diferită este de a defini „număr” ca clasă de echivalență a mulțimilor (și se pare că „grupul” Fine „s” este ceea ce am numi „set” astăzi) sub „echinumerabilitate” (adică existența unei bijecții În acest fel, conceptul de 2 sau Two-ness corespunde (sau este de fapt) clasa tuturor seturilor $ X $ astfel încât să existe o formă de bijecție $ X $ pentru orice set specific de (ceea ce numim ) două elemente, cum ar fi $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Dacă aveți o groază despre clasele (adecvate), se poate observa că fiecare astfel de clasă de echivalență conține un set special „simplu”, un ordinal (cel puțin în cazul finit și, în general, sub ipoteza axiomei de alegere).

Comentarii

• Ce înțelegem prin numărul de lucruri ? de ce spunem în Q1 că grupul G: {A, A, B} are 2 număr de lucruri, de ce nu 3 așa cum ar trebui să fie deoarece există 3 număr de lucruri în grupul G , chiar și cele două lucruri din grupul G sunt aceleași, dar există și ar trebui să le numărăm până la o. Folosim termenul de lucruri diferit în matematică decât în viața obișnuită. conceptul primitiv de numărare nu se deranjează cu privire la distincția diferitelor lucruri dintr-un grup în timp ce calculează numărul de lucruri dintr-un grup. De ce în matematică am făcut acest tip de definiție neobișnuită a termenului nr. de lucruri .
• Domnule, mi-am editat întrebarea pentru a fi mai directă. Ați explica cel puțin ce înțelegem prin Numărul de lucruri .

„Număr de lucruri” în engleză generală: nu există „suficientă informație doar în termen pentru a da un singur răspuns.

Problema este termenul„ lucruri ”. În engleză generală acest lucru ar face referire la unele aranjament deja definit, de exemplu numărul de articole cu aceeași culoare sau număr de ouă într-o cutie sau numărul cifrei „3” care există într-un număr de telefon.

Fără aceasta, semnificația „numărului of things „este multe ori – este” numărul de obiecte dintr-un container de orice fel / dimensiune, clasificat după orice metodă pe care doriți să o imaginați.

Comentarii

• Să presupunem că există un grup {A, A, A}. Întreb câte numere de litere sunt în acest grup ? Care ar trebui să fie răspunsul.
• Vă rugăm să consultați Tipuri și jetoane
• @MauroALLEGRANZA linkul pe care îl aveți dat este destul de interesant. Se pare că implică faptul că ” Tip ” = ” Obiect abstract ” și ” Jeton ” = ” Beton „. În cartea Me.Fine la outsaet scrie: ” Spunem despre anumite lucruri distincte că formează un grup ” ” Lucru ” = ” beton ” = ” Jeton ” am dreptate?
• @Mauro, îmi pare rău, dar voi îl aveți înapoi. Cuvântul ” lucru ” nu îl derivă ‘ care înseamnă ” Filozofie tip / token „. Definiția din google.com/search?q=definition+thing include ” o entitate sau concept abstract: ‘ doliu și depresie nu sunt același lucru ‘. sinonime: caracteristică, calitate, atribut, proprietate, trăsătură, caracteristică, punct, aspect, fațetă, ciudățenie …
• @Mauro, de asemenea, ” o finită colecția ” nu implică lucruri concrete. Iată câteva colecții finite de lucruri / elemente abstracte: {1,2,3,4,5}, {dragoste, război, pace}. Mai mult decât probabil, el a evitat mulțimi infinite, deoarece acestea erau extrem de controversate la acea vreme: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_theory .

Vă sugerez să comparați definiția Fine cu următoarele discuție, din RL Goodstein, Teoria recursivă a numerelor (1957) :

Întrebarea „Care este natura unei entități matematice?” este una care îi interesează pe gânditori de peste două mii de ani și s-a dovedit a fi foarte greu de răspuns. Chiar și prima și cea mai importantă dintre aceste entități, cea naturală număr, are caracterul evaziv al unei voințe de știri când wc încearcă să-l definească.

Una dintre sursele dificultății de a spune ce numere este că nu există nimic spre care să putem indica în lumea care ne înconjoară atunci când căutăm o definiție a numărului. Numărul șapte, de exemplu, nu este o colecție specială de șapte obiecte, deoarece dacă ar fi, atunci nu s-ar putea spune că nicio altă colecție ar avea șapte membri; căci dacă identificăm proprietatea de a fi șapte cu proprietatea de a fi o anumită colecție, atunci a fi șapte este o proprietate pe care nicio altă colecție nu o poate avea. O încercare mai rezonabilă de a defini numărul șapte ar fi să spunem că proprietatea de a fi șapte este proprietatea pe care toate colecțiile de șapte obiecte le au în comun. Totuși, dificultatea acestei definiții este aceea de a spune exact ce anume au în comun toate colecțiile de șapte obiecte (chiar dacă ne prefacem că putem cunoaște vreodată toate colecțiile de șapte obiecte). Cu siguranță numărul unei colecții nu este o proprietate a acesteia în sensul că culoarea unei uși este o proprietate a ușii, deoarece putem schimba culoarea unei uși, dar nu putem schimba numărul unei colecții fără a schimba colecția în sine. Este perfect logic să spunem că o ușă care era roșie și acum verde, este aceeași ușă, dar este o prostie să spunem despre o colecție de șapte mărgele că este aceeași colecție ca o colecție de opt mărgele. Dacă numărul unei colecții este o proprietate a unei colecții, atunci este o proprietate definitorie a colecției, o caracteristică esențială.

Totuși, acest lucru nu ne apropie de un răspuns la întrebarea noastră „Ce este în comun toate colecțiile de șapte obiecte?” O modalitate bună de a face progrese cu o întrebare de acest fel este să ne întrebăm „De unde știm că o colecție are șapte membri?” deoarece răspunsul la această întrebare ar trebui cu siguranță să scoată la lumină ceva pe care colecțiile de șapte obiecte le împărtășesc în comun. Un răspuns evident este că aflăm numărul unei colecții numărând colecția, dar acest răspuns nu pare să ne ajute deoarece, atunci când numără o colecție, nu facem decât să „etichetăm” fiecare membru al colecției cu un număr. (Gândiți-vă la o linie de soldați care numerotează.) În mod clar nu oferă o definiție a numărului pentru a spune că numărul este o proprietate a unei colecții care se găsește prin atribuirea de numere membrilor colecției.

Etichetarea fiecărui membru al unei colecții cu un număr, așa cum se pare că facem în numărare, este de fapt setarea unei corespondențe între membrii a două colecții, obiectele de numărat și numerele naturale . Numărând, de exemplu, o colecție de șapte obiecte, stabilim o corespondență între obiectele numărate și numerele de la unu la șapte. Fiecărui obiect i se atribuie un număr unic și fiecare număr (de la unu la șapte) este atribuit unui obiect al colecției. Dacă spunem că două colecții sunt similare atunci când fiecare are un asociat unic în cealaltă, atunci numărarea unei colecții se poate spune că determină o colecție de numere similare colecției numărate.

Punctul slab al definiției constă în această noțiune de corespondență. De unde știm când două elemente corespund?Cupele și farfuriile dintr-o colecție de cupe care stau în farfurii au o corespondență evidentă, dar care este corespondența dintre, să zicem, planetele și muzele? Nu are rost să spunem că, chiar dacă nu există o corespondență patentă între planete și muze, putem stabili cu ușurință una, căci cum știm acest lucru și, ce este mai important, ce fel de corespondență permitem? În definirea numărului în termeni de similaritate, am înlocuit doar conceptul evaziv de număr cu conceptul la fel de evaziv de corespondență.

Unii matematicieni au încercat să scape de dificultatea în definirea numerelor, identificând numerele cu cifre. Numărul unu este identificat cu numărul 1, numărul doi cu numărul 11, numărul trei cu 111 și așa mai departe. Dar această încercare eșuează de îndată ce se percepe că proprietățile numerelor nu sunt proprietățile numerelor. Numerele pot fi albastre sau roșii, tipărite sau scrise de mână, pierdute și găsite, dar nu are sens să atribuiți aceste proprietăți numerelor și, dimpotrivă, numerele pot fi pare sau impare, prime sau compuse, dar acestea nu sunt proprietăți ale numerelor.

Antiteza „numărului” și „numeralului” este una care este comună în limbaj și poate cel mai cunoscut caz al său se găsește în perechea de termeni „propoziție” și „propoziție”. Propoziția este o reprezentare fizică a propoziției, dar nu poate fi identificată cu propoziția, deoarece propoziții diferite (în limbi diferite, de exemplu) pot exprima aceeași propoziție. [vezi tipuri și jetoane ]

Jocul de șah, așa cum s-a observat adesea, oferă o excelentă paralelă cu matematica (sau, de altfel, cu limbajul în sine). Cifrelor corespund piesele de șah, iar operațiunilor aritmetice, mișcările jocului.

Aici găsim în cele din urmă răspunsul la problema naturii numerelor. Vedem, mai întâi, că pentru o înțelegere a semnificației numerelor trebuie să ne uităm la „jocul” pe care îl joacă numerele, adică la aritmetică. Numerele, unu, două, trei și așa mai departe, sunt personaje în jocul aritmeticii, piesele care joacă aceste caractere sunt cifre și ceea ce face ca un semn numărul unui anumit număr să fie rolul pe care îl joacă, sau ca putem spune într-o formă de cuvinte mai potrivită contextului, ceea ce constituie un semn semnul unui anumit număr sunt regulile de transformare ale semnului. Rezultă, prin urmare, că obiectul studiului dvs. este NU SE NUMĂRĂ, DAR REGULILE DE TRANSFORMARE A SEMNELOR NUMERICE . p>

Interset, dar discutabil …

Cu mai mult de 60 de ani înainte, Frege a criticat deja această opinie; vezi Gottlob Frege, Legile fundamentale ale aritmeticii (1893), traducere nouă în limba engleză de Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, pagina xiii:

[există] o tendință larg răspândită de a accepta doar ceea ce poate fi perceput ca fiind. […] Acum obiectele aritmeticii, numerele, sunt imperceptibile; cum să ne împăcăm cu asta? Foarte simplu! Declarați că numerele sunt numerele. […] Uneori, se pare că semnele numerice sunt privite ca niște piese de șah, iar așa-numitele definiții ca reguli de joc. În acest caz, semnul nu desemnează nimic, ci este mai degrabă lucrul în sine. Desigur, un mic detaliu este trecut cu vederea în toate acestea; și anume că un gând este exprimat prin intermediul „3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”, în timp ce o configurație de piese de șah nu spune nimic.

Comentarii

• Îmi amintesc de entuziasmul pe care l-am simțit prima dată când am citit introducerea lui Goodstein ‘. El ‘ nu este Frege, dar ‘ este minunat să obțineți o declarație clară a vederii, astfel încât, dacă cineva nu este de acord, se poate spune exact cu ce.

Pentru a clarifica definiția lui Fine a lui ” numărul de lucruri „, care este destul de diferit de ” modern ” Abordarea teoretică a setului, cred că poate fi utilă pentru a o referi la tradiția filosofică a empricismului britanic al secolului XIX.

În special, filosoful John Stuart Mill și-a dedicat o parte din lucrarea sa Un sistem de logică, rațiocinativ și inductiv (1843) discutării bazelor aritmeticii.

Iată câteva pasaje, care – sper – pot clarifica definiția lui Fine:

Trei pietricele în două parcele separate și trei pietricele într-o coletă, nu fac aceeași impresie asupra simțurilor noastre – și afirmația că aceleași pietricele pot fi făcute printr-o modificare a locului și a aranjamentului pentru a produce fie un set de senzații, fie celălalt, deși o propunere familiară nu este una identică. […]

Adevărurile fundamentale ale acelei științe [știința numerelor] se bazează pe dovezile sensului – acestea sunt dovedite prin arătarea ochilor noștri și degetele noastre că orice număr de obiecte, zece bile, de exemplu, pot, prin separare și rearanjare, să prezinte simțurilor noastre toate seturile diferite de numere a căror sumă este egală cu zece. ( CW VII, 256-57)

Astfel, atunci când spunem că cubul lui 12 este 1782, ceea ce afirmăm este că: dacă, având un număr suficient de pietricele sau de orice alte obiecte, le punem împreună în a Un anumit tip de colete sau agregate numite doisprezece; și puneți-le împreună în colecții similare – și, în cele din urmă, alcătuiesc douăsprezece dintre cele mai mari parcele: agregatul astfel format va fi unul așa cum îl numim 1728; și anume, ceea ce (pentru a lua cel mai familiar dintre modurile sale de formare) poate fi realizat prin unirea coletei numite o mie de pietricele, coleta numită șapte sute de pietricele, coleta numită douăzeci de pietricele și coleta numită opt pietricele. ( CW VII: 611-12)

Abordarea naturalistă a lui Mill a fundamentelor aritmetica se bazează pe ” de bază ” procese de îmbinare și separare care dau naștere și descompun ” agregate ” de obiecte fizice.

Viziunea empiristă a lui Mill a fost aspru criticată de Gottlob Frege în Die Grundlagen der Arithmetik fundamental ( Fundamentele aritmeticii ) (1884).

Pentru o expunere a filozofiei matematice a lui Mill, vezi Philip Kitcher, Mill, matematica și tradiția naturalistă , în John Skorupski (editor), The Cambridge Companion to Mill (1998), pagina 57-on.

Comentarii

• Domnule, mulțumesc pentru acest alt răspuns foarte util . Îmi va lua timp să citesc atâtea texte înrudite (mă uit în prezent la cărțile pe care dumneavoastră și alții le-ați menționat mai devreme). Există o carte definitivă dedicată complet istoriei aritmeticii ? O carte care ar putea explica lucrurile începând de la istorie și apoi mutându-se în cele din urmă pentru a explica modul în care s-a stabilit aritmetica modernă. O carte care ar explica toate lucrurile conexe, adică cine, cum, când, de ce aritmetica. Într-o lună voi pune două întrebări foarte filosofice (și tehnice) despre aritmetică, Să vă fac ping.
• Despre istoria ” modernă ” filosofia aritmeticii , de la Kant în continuare (dar JSMill nu este discutat) îl puteți vedea pe Michael Potter, Motiv ‘ s Cel mai apropiat apropiat: Filozofii aritmetice de la Kant la Carnap (2002).

În carte, „numărul de lucruri” este efectiv distinct de reprezentarea lor. Să presupunem că aveți invitați pe care doriți să îi invitați la o petrecere. Care este numărul de persoane-lucruri pe care le invitați?

Dacă invitați 5 prieteni, îi vom numi John, Fred, Mary, Jill și Barney. Există 5 prieteni-invitați- lucruri pe care le invitați la petrecere.

Dar acum, ce se întâmplă dacă petrecerea este o minge de mascaradă și toate sunt deghizate. John este îmbrăcat ca o fantomă, Fred ca un spiriduș, Mary ca o vrăjitoare, Jill ca un dovleac și Barney ca un dinozaur. Doar pentru că acum sunt fantomă, goblin, vrăjitoare, dovleac și dinozaur nu schimbă numărul de lucruri pe care le-ai invitat la petrecere. Caracteristicile lor s-au schimbat – nu mai arată ca prietenii tăi, arată la fel ca deghizările lor.

Ce se întâmplă dacă cei cinci vin îmbrăcați toți ca niște fantome nedistinguibile. Asta înseamnă că spunem că o singură fantomă a venit la petrecerea ta? Nu, pentru că pot fi încă distinse prin spațial localitatea, ora sosirii, înălțimea, greutatea, culoarea foii etc.

Ce se întâmplă dacă ar purta exact același costum și nu ați văzut niciodată mai mult decât unul câte unul – astfel încât să nu existe caracteristici definitorii care să separe unul prieten de la altul. S-ar putea să nu fiți siguri de câte lucruri oaspeți-prieteni ați avut la petrecerea dvs. ACEASTA transformare a distrus distinctivitatea care i-a separat înainte de aceasta, deci nu este o transformare validă pentru enumerarea numărului de lucruri.

Ideea „număr de lucruri” în ceea ce privește invitațiile dvs. este în mod specific proprietatea grupului, astfel încât orice modificare (reactivarea, renumerotarea, reordonarea, dar NU duplicarea, eliminarea , sau numărarea subseturilor) care păstrează distinctivitatea elementelor menține acea proprietate. Nu se preocupă dacă valoarea acelei proprietăți este sau nu 1, 5 sau un milion de miliarde, doar că „numărul de lucruri” este o valoare finită care păstrează această proprietate.

În ceea ce privește la limbă engleză simplă, numărul lucrurilor este doar … numărul obiectelor de interes. Nu devine mai simplu de atât și, deoarece este un concept atât de simplu, este foarte dificil să scrii o definiție precisă care să nu provoace probleme în posibile expresii colocviale.

Această întrebare (și multe dintre răspunsuri, de altfel) trece cu vederea scopul teoriei matematice, care este de a trata axiomele ca fiind ceva dat. Presupunem că avem o noțiune de (de exemplu) distinctivitate și apoi explorăm consecințele acestei idei.

Cu alte cuvinte, este imposibil să punem întrebarea „Câte elemente sunt în setul $ \ { A, A, B \} $? „Fără a da mai întâi axiome despre $ A $ și $ B $. Conform sintaxei matematice standard, ar trebui să punem această întrebare numai după reetichetarea la $ \ {A, A”, B \} $ pentru a evita confuzia, dar aceasta este o chestiune de comunicare și practicitate, nu de dogmă și cu siguranță nu de un fel de adevăr despre seturi.

Matematica, în cuvintele lui Roberto Unger, este o „explorare vizionarăa unui simulacru al lumii „. Dacă nu sunteți de acord cu viziunea altcuiva, este perfect. Dar dacă credeți că aveți o problemă cu matematica însăși, atunci este posibil să vă generați propriile contradicții prin utilizarea greșită a limbajului. Dacă sunteți clar cu privire la ce proprietăți ar trebui să aibă noțiunea dvs. de distinctivitate, atunci se aplică teoria seturilor , este doar o întrebare despre cum. Nu prescrie o anumită formă de distinctivitate, ci mai degrabă explorează aspectele comune între toate formele de distinctivitate.

Se pare că răspunsul la întrebarea dvs. este strâns legat de ceea ce este „un lucru”. S-ar putea să fiți conștienți de faptul că, pe măsură ce ar putea fi o întrebare abstractă, aceasta a fost adresată în mod repetat în comunitatea fizică în contextul teoriei câmpului cuantic și a fundamentelor mecanicii cuantice (a se vedea, de exemplu, Paul Teller și Chris Isham). Una dintre concluzii este că conceptul de lucru ca esență la care „aderă” proprietățile trebuie respins. Aceasta este ceea ce Teller descrie ca problema cu „formalismul spațial Hilbert al produsului tensorial etichetat”, deoarece este incompatibil cu comportamentele fizice care sunt de fapt observate. Deci, dacă doriți o definiție universală a „numărului de lucruri”, nu puteți evita aceste considerații asupra a ceea ce este un lucru și a ceea ce este distincționalitatea din punct de vedere fizic (cu excepția cazului în care doriți o definiție care se aplică unui univers care nu este al nostru).

Doar pentru a vă oferi un exemplu, să spunem că aveți un foton în mâna dreaptă și unul în stânga. Le puteți distinge făcând referire la mâna în care se află. Deci „numărul de moduri de a le pune în buzunar” este 2 (mai întâi cel din mâna stângă, apoi cel din mâna dreaptă sau invers) . Cu toate acestea, odată ajunși în buzunar, devin indiscernibili fizic și „numărul de modalități de a le scoate” este 1 (iese unul, apoi celălalt). „comentarii”>