Postare controversată – Puteți utiliza comentarii DOAR pentru a sugera îmbunătățiri. Puteți utiliza RĂSPUNSURI DOAR pentru a oferi o soluție la întrebarea specifică pusă mai jos. Moderatorii vor elimina dezbaterile, argumentele sau opiniile fără notificare prealabilă .
Comentarii
Răspuns
Este lumea acum în haos? Deoarece unu plus unu este nu egal cu doi, cel puțin nu tot timpul .
Luați un litru de apă și un litru de nisip. Adăugați-le împreună. Ce obții? Nisip umed, dar cu siguranță nu doi litri.
Luați un iepure și adăugați un iepure. Adăugați-le împreună. Aveți o șansă rezonabilă de a ajunge cu destul de mult mai mult de doi iepuri, dacă așteptați o cantitate suficientă de timp.
Chiar și în domeniul matematicii pure, unu plus unu nu este neapărat egal cu doi. Dacă „lucrați cu modulo two aritmetic , 1 + 1 = 0. Dacă aveți de-a face cu modulo two aritmetic și 1 + 1 = 2, dvs.” Am făcut ceva foarte greșit. – De asemenea, nu este ca aritmetica modulului doi este o notă secundară obscură – computerul dvs. îl folosește chiar acum sub forma „x bit bit”, iar computerele moderne nu ar putea funcționa fără el. (Deși, desigur, aritmetica modulului doi este destul de simplă în ceea ce privește proprietățile sale, deci nu există o mulțime de matematicieni care să se deranjeze să o studieze.)
Matematică se bazează pe axiome – ipoteze despre proprietățile unui sistem – și implicațiile care decurg în mod logic din acele sisteme. Dacă una dintre aceste implicații este considerată „contra-faptică”, atunci fie logica a fost invalidă, fie una dintre axiome a fost incorectă pentru acel sistem. – Pentru acel sistem este un bit important. Doar pentru că ceva este contra-faptic pentru un set de axiome nu înseamnă că este contra-faptic pentru un set diferit de axiome.
Luați axioma paralelă a lui Euclid. Includeți-le pe cele cu restul axiomelor lui Euclid și veți obține geometria euclidiană. Aceasta este geometria „standard” pe care noi și cu mine suntem familiarizați și cu care operează o fracțiune substanțială de matematicieni. Cu toate acestea , puteți configura diferite geometrii în cazul în care acest lucru nu se menține . De fapt, fizica modernă ne spune că „trăim de fapt într-o geometrie non-euclidiană – fizica avansată nu ar funcționa într-o adevărată geometrie euclidiană unde se ține axioma paralelă.
Acum înseamnă că geometriile euclidiene Și axioma paralelă sunt greșite? Nu. Este o construcție matematică perfect valabilă pe care sute de mii de matematicieni și ingineri – și fizicieni – o folosesc zilnic. Faptul că geometria euclidiană are axiome care produc rezultate incompatibile cu lumea observată nu înseamnă că geometria euclidiană este invalidă, înseamnă doar că acele axiome nu se aplică sistemului pe care îl observi. Nu înseamnă că au câștigat „nu se aplică – sau chiar că nu sunt cele mai bune de utilizat – într-o altă situație.
Deci 1 + 1 = 2 este o observație foarte convenabilă și deține în multe cazuri. Dar nu tot. Uneori 1 + 1 = 0 sau alt număr.Doar pentru că axiomele aritmeticii numerice standard, naturale, care nu sunt valabile pentru un anumit sistem nu înseamnă că sunt invalide, înseamnă doar că nu sunt aplicabile acelui sistem și trebuie să veniți cu un alt set și altul sistem aritmetic.
Sau, puteți să vă redefiniți sistemul astfel încât axiomele să se mențină. (Asta face oamenii care scriu frenetic „Dar dacă tu …” fac comentariile de mai jos. „Dacă le păstrezi în containere separate, dacă„ sunt ambele femei, dacă ignorăm modulul aritmetic … ”Dacă redefiniți lucruri de genul axiomelor, consecințele logice ale acelor axiome urmează logic.)
Comentarii
Răspuns
Așa cum va face orice matematician vă spun, 1 + 1 = 2 urmează în mod trivial din definiții și nu este o teoremă. Întrebarea dvs. nu are sens.
Este ca și cum ați declara:
Definesc 1 zounce de lichid ca fiind exact 30 de mililitri.
Dar ce se întâmplă dacă se dovedește că „greșesc?
Este definiția dvs. Nu poate fi greșit deoarece fluidul zboară, înainte de definirea dvs., pur și simplu nu exista.
Comentarii
nu vreau să exclud excesiv întrebarea, dar nu văd că are marginea filosofică, sau chiar neapărat că Peano trebuie adus în ea. Întrebarea pare să se bazeze doar pe o neînțelegere, ca și cum o dezaprobare de 1 + 1 = 2 ar putea avea orice formă discernibilă sau că ne-am prăbuși cu toții într-o gaură neagră dacă s-ar întâmpla.Ar fi un alt lucru în întregime dacă ar fi formulat ca fiind cel mai consecvent dar echivalent ' de ce putem presupune în siguranță 0 ≠ 1 și care sunt cele mai puternice argumente contrare? '
@EricDuminil, Merriam-Webster definește literalmente " două " " fiind unul mai mult decât unul la număr ", care este exact S(S(0)). Deci, în acest caz, avem cu siguranță o definiție.
Răspuns
ecuația fundamentală
Presupunerea dvs. este defectuoasă. 1 + 1 = 2 nu este o axiomă a matematicii, ci (așa cum subliniază Sputnik) o consecință a axiomelor Peano aplicate baza 10 reprezentări ale numerelor.
Se poate schimba cu ușurință de la zecimal (baza 10) la unar (baza 1) și spuneți:
1 + 1 = 11.
Sau, schimbați la binar (baza 2, ceea ce folosește computerul dvs. de fapt) și spuneți:
1 + 1 = 10.
Și de dragul acestuia, pot intra în cifre romane :
I + I = II.
Deci, există reprezentări în care 1 + 1 este nu 2 (și chiar sistemele în care nu aveți gliful 1), dar universul nu a implodat totuși din cauza asta.
Acum, ce ar fi dacă întrebarea dvs. ar fi mai asemănătoare? e …
Ce se întâmplă dacă axiomele Peano contrazic observațiile din lumea naturală?
În acest caz, răspunsul meu ar fi dublu:
- Matematica bazată pe axiomele Peano ar fi în continuare utilă
- Matematicienii ar veni cu o altă set de axiome care s-ar potrivi lumii naturale, împreună cu matematica bazată pe acele noi axiome
Pentru a înțelege acest lucru, luați de exemplu newtonian fizică : sunt un mare set de reguli ale matematicii construite deasupra unor axiome care se potrivesc frumos observațiilor din lumea naturală.
Dar apoi Einstein a observat că unele dintre axiome nu se potrivesc cu adevărat (în special atunci când lucrurile merg cu viteza luminii) și au venit cu fizică relativistă , care invalidează aproape întreaga fizică newtoniană.
Chiar și noi știm fizica newtoniană este greșită (deoarece se bazează pe un model prea simplu), sunt un instrument valabil pentru o mulțime de probleme.
La fel cu aritmetica bazată pe Peano: chiar dacă nu se potrivesc cu o observație în lumea naturală, ar fi totuși instrumente bune. Și ca o consecință a nepotrivirii, ar putea fi derivat un alt set de matematică din aceasta.
Comentarii
Răspuns
Dacă 1 + 1! = 2, atunci 1 – 1! = 0, ceea ce înseamnă că încărcarea de pe protoni dintr-un nucleu nu mai anulează se încarcă pe electroni. Astfel, toți atomii dobândesc o sarcină electrică netă și toate corpurile macroscopice sunt atrase (sau respinse) unul de celălalt cu o forță incredibilă – 36 de ordine de mărime mai puternice decât gravitația. Acest lucru ar distruge întregul univers într-o pulpă sub-atomică într-o ordine destul de scurtă …
Comentarii
Răspuns
Ceea ce s-ar întâmpla este conceptual foarte simplu. Lucrarea care dovedește „¬1 + 1 = 2” va fi redenumită „ Teoria setului Zermelo – Fraenkel este inconsecventă ” și publicată.
De la acolo, devine mai greu. În funcție de modul în care funcționează dovada, ar trebui să sfârșim cu o nouă teoremă de set mai slabă, rezultând restabilirea consistenței. Sau ceva mai rău; Peano Axioms ar putea fi nevalidă cu consecința, bine, sincer nu știu. O anumită operație pe care obișnuim să o avem dispare, dar a câștigat Adăugarea întregului nu poate fi respinsă în tărâmul finit (mulțumesc știință!), așa că altceva pe calea spre contra-rezistență este aruncat. Poate că manipularea infinitului este greșită în toate matematicile. Poate altceva. Îmi pare rău dacă sună a speculație. Speculația este de fapt în cauză. Depinde cam cât de mare este o gaură pe care doriți să o faceți.
Din punct de vedere practic, știm deja ce se întâmplă . 1 + 1 = 2 va fi în continuare valabil pentru orice domeniu și caz de utilizare rezonabil, așa că vom continua să îl folosim. După o vreme, modul de eșec va fi înțeles și exclus (sau nu atât de atent), așa cum facem în Informatică pentru depășește acum.
Comentarii
Răspuns
1 + 1 = 2 este un adevăr necesar — aproximativ, o afirmație care este adevărată în orice lume posibilă. Întrebarea dvs., prin urmare, solicită adevărate condiționale contrafactual cu antecedente imposibile. Acestea sunt uneori numite controposibile (de exemplu, secțiunea 5.1 aici ).
Viziunea tradițională era aceea toate aceste controposibile sunt trivial adevărate. Conform acestei opinii, „dacă unul plus unu nu ar fi doi, atunci q ” ar fi adevărat pentru q arbitrar. Mai recent, mai mulți filozofi au susținut că pentru a da sens științei și raționamentelor de zi cu zi este nevoie de o semantică pentru contraposibile care nu implică în mod banal adevărul lor. Consultați referințele la această dezbatere în ultima intrare SEP legată de mai sus.
În orice caz, fiți siguri, unul plus unul sunt în mod necesar egal cu doi.
Comentarii
Răspuns
Dovada trebuie să fi fost efectuată într-un fel de sistem formal, altfel nu este atât o dovadă, cât un argument persuasiv. Deci, avem o dovadă într-un sistem al afirmației 1 + 1! = 2.
Filozofii din subiectul logicii și matematicienii ar privi cu atenție detaliile acestei dovezi. Deoarece toate sistemele formale la care oricine este interesat dovedesc contrariul acestei afirmații, dovedind, de asemenea, această afirmație demonstrează că orice sistem a fost utilizat, este inconsistent. Deci, sistemul respectiv nu mai putea fi folosit pentru lucrări serioase. Prin urmare, logicienii ar fi învățat ceva extrem important despre acel sistem logic particular și ei ar vrea să știe ce alte sisteme aceeași tehnică se va dovedi inconsistentă.
Universul nu ar putea fi „aruncat în haos” decât dacă cineva crede într-un fel (îndrăznesc să y it: magic?) efect prin care mișcarea stelelor din galaxia Andromeda este semnificativ afectată de ce marcaje faceți pe o bucată de hârtie pe Pământ. Un solipsist ar putea, cred, să creadă că universul este susținut doar de credința lor personală în consistența logică și, prin urmare, că universul ar fi fundamental modificat prin citirea acestei dovezi. Majoritatea oamenilor au suficientă credință în existența unei realități externe, ca să nu creadă că universul are vreun interes în ceea ce demonstrează sau nu produc oamenii.
Mă aștept ca filosofii să nu fie interesați de logică și dovezi formale. sistemele ar ignora în mare parte rezultatul, cel puțin până când logicienii le-au explicat exact în ce condiții ei (non-logicienii) folosesc de fapt același sistem defect care dovedește 1 + 1! = 2 și, prin urmare, ce raționament este să nu mai folosiți.
Desigur, depinde și într-o oarecare măsură de ce vrei să spui prin respingerea faptului că 1 + 1 = 2. S-ar putea imagina o „dovadă fizică” mai degrabă decât una logică formală. Dacă vrei să spui că cineva a dovedit că poate așeza o portocală într-un castron gol și apoi pune o altă portocală în același castron, iar alte portocale nu au fost adăugate sau eliminate și că vasul conține acum un număr de portocale, alt 2, ați putea spune că „s-au dovedit 1 + 1! = 2. Dar așteptările tuturor sunt că, de fapt, este implicat un fel de proces fizic necunoscut anterior care implică portocale. Deci, în timp ce ați descoperit ceva care schimbă cu adevărat noțiunile noastre despre natura realității, acest lucru nu se datorează faptului că „ecuația cea mai fundamentală” este logic greșită, ci din cauza portocalelor (sau a obiectelor fizice) în general) se pare că nu mai respectă aritmetica și, prin urmare, ecuația nu le mai este aplicabilă. Bineînțeles, acest lucru ar fi extrem de îngrijorător, deoarece oamenii se bazează tot timpul pe capacitatea de a număra lucrurile, astfel încât societatea umană ar putea fi aruncată în haos.
Răspuns
Poate relevant pentru discuție este Matematică incoerentă :
este studiul obiectelor matematice obișnuite, cum ar fi seturile, numerele și funcțiile, unde sunt permise unele [ accent adăugat ] contradicții.
Și vezi discuția despre Aritmetică :
O aritmetică inconsistentă poate fi considerată o alternativă sau o variantă pe teoria standard, ca o geometrie non-euclidiană.
Axiomele standard ale aritmeticii sunt Peano „s, iar consecințele lor – teoria standard a aritmeticii – se numește PA . Modelul standard de aritmetică este N = {0, 1, 2, …} , zero și succesorii săi.
Modelele non-standard consistente sunt toate ex tensiuni ale modelului standard, modele care conțin obiecte suplimentare. Modelele incoerente de aritmetică sunt dualul natural, în care modelul standard este el însuși o extensie a unei structuri mai elementare, care face, de asemenea, adevărate toate propozițiile corecte.
Aritmetica incoerentă a fost investigată pentru prima dată de Robert Meyer în 1970 „s. Acolo a luat logica paraconsistentă R și i-a adăugat axiome care guvernează succesorul, adunarea, multiplicarea și inducerea, dând sistemului R #.
În 1975, Meyer a dovedit că aritemicul său este non-trivial, deoarece R # are modele. În special, R # are modele definite cu un domeniu cu două elemente {0, 1} , cu funcția succesorului se deplasează într-un cerc foarte strâns peste elemente.
Astfel de modele fac adevărate toate teoremele lui R #, dar păstrează ecuații precum 0 = 1 doar fals.
Și ce? Poate putem supraviețui până la un (limitat?) cantitate de inconsecvență .
Dar ia în considerare acest lucru h-experiment, bazat pe un exemplu intuitiv derivat din analiza Graham Priest a structurii generale a modelelor de aritmetică inconsistentă:
imaginați-vă modelul standard de aritmetică, până la un element inconsistent
n = n + 1 .
Se suspectează că acest n este un foarte , număr foarte mare [ accent adăugat ], " fără realitate fizică sau semnificație psihologică. " În funcție de gusturile dvs., este cel mai mare număr finit sau cel mai puțin inconsistent. Ne imaginăm în continuare că pentru j, k > n , avem j = k .
Dacă în modelul clasic j ≠ k , atunci și acest lucru este adevărat; prin urmare, avem o inconsecvență, j = k și j ≠ k . Orice fapt adevărat pentru numerele mai mari decât n este adevărat pentru n , de asemenea, deoarece după n , toate numerele sunt identice cu n .
Nu se pierd date din modelul consecvent.
Dar acum ia în considerare cazul în care n este foarte foarte mare, dar nu " fără semnificație psihologică " și imaginați-vă contul bancar adăugând la o sumă de n USD (sau GBP sau orice altceva).
Din acel moment, contul bancar nu va mai crește, fără orice " perturbare " în legile obișnuite ale aritmeticii.
Ne este permis să îl considerăm ca un caz de " universul să fie aruncat în haos " ?
Răspuns
eorema lui Gödel spune aproximativ că orice sistem matematic suficient de util este fie incomplet, fie contradictoriu, fie că există afirmații care nu pot fi dovedite sau infirmate, fie că există afirmații care pot fi dovedite atât adevărate, cât și false.
Există multe afirmații pe care nu le-am putut dovedi adevărate sau false (dar asta s-ar putea datora faptului că nu am fost suficient de isteți) și nu s-a dovedit nicio contradicție (dar asta ar putea fi și pentru că nu erau suficient de inteligente), deci nu este de neconceput ca „1 + 1 ≠ 2” să poată fi dovedit. 1 + 1 = 2 ar fi atunci simultan adevărat și fals.
Ce s-ar întâmpla?S-ar întâmpla multe înjurături printre matematicieni. O mulțime de discuții ar avea loc despre modul în care putem ignora acest fapt și rămânem cu matematică utilă. Universul nu se va schimba.
Având în vedere întrebarea: „1 + 1 = 2” nu poate și nu va fi niciodată respins (adică dovada, care nu este mult mai mult decât simpla aplicare a axiomelor, este dovedită a fi incorect). Ce este posibil de la distanță este că, pe lângă dovada faptului că este adevărat, ar putea exista și o dovadă că este falsă.
Răspuns
Matematica și / sau știința s-ar îmbunătăți.
Matematicienii caută și folosesc modele pentru a formula noi conjecturi; ei rezolvă adevărul sau falsitatea conjecturilor prin dovezi matematice ( din Wikipedia ). S-ar putea argumenta că 1 + 1 = 2 provine din definiție nu din dovezi care fac ca întrebarea să fie discutabilă sau să fie formată. Dar întrebarea dvs. este încă valabilă într-un sens mai larg. O dovadă matematică poate fi greșită. S-a întâmplat deja. Această întrebare mathoverflow este plină de dovezi istorice și conjeturi care nu sunt corecte. Când se descoperă o astfel de eroare, nu se întâmplă spargerea universului. Încetăm să greșim și devenim corecte, ne-am îmbunătățit cunoștințele de matematică.
Deci, să spunem că lucrăm cu axiome care nu includ 1 + 1 = 2. Și că ajungem la 1 + 1 = 2 prin raționamentul matematic și stabilim o dovadă matematică pentru acesta. Și să spunem, de dragul argumentelor, descoperim mai târziu că o astfel de dovadă este greșită, de fapt 1 + 1 = 3. Nu, asta nu ar arunca universul în haos. Universul era ceea ce era înainte ca oamenii să ajungă la conceptul de 1 + 1 = 2 (sau cel puțin așa presupun, nu am fost cu adevărat acolo să-l observ, dar avem multe dovezi bune care ne ajută să știm cum a fost). Și de fiecare dată când o dovadă matematică a fost dovedită incorectă, universul are nu a fost aruncat în haos. Ceea ce s-a schimbat a fost înțelegerea noastră asupra matematicii. Este rezonabil să presupunem că ar fi același lucru pentru 1 + 1 = 3.
Există un lucru care ar fi aruncat în haos. Matematicieni Acum că știm că 1 + 1 = 2 este fals, fiecare dovadă care depinde de ea este greșită. Defect, nu exact greșit. Afirmațiile validate de dovezi care depind de 1 + 1 = 2 pot fi încă adevărate, dar vechile dovezi nu ar servi la stabilirea acelui adevăr. O mulțime de materiale ar trebui revizuite și rescrise, ar urma să se facă multe discuții. Dar am ieși mai înțelepți din la haos.
Dar teoriile științifice care depind de 1 + 1 = 2 ?. Ca ceea ce este descris în un alt răspuns la această întrebare. Nu, acest lucru nu ar distruge întregul univers într-o pastă sub-atomică într-o ordine destul de scurtă. Universul a fost ceea ce era înainte să descoperim 1 + 1 = 3 și ar continua să fie așa (presupun că așa s-a întâmplat pentru alte dovezi respinse). Deoarece am fi descoperit că vechile teorii științifice nu explică în mod corespunzător universul, ar fi dezvoltate modele mai bune.
Răspuns
Dacă astfel de lucruri elementare sunt puse la îndoială, atunci a fortiori sunt lucruri mult mai puțin elementare, cum ar fi pașii de raționament necesari pentru a demonstra că unul și unul nu se adaugă la doi. Astfel, ar fi rezonabil să ne îndoim de o astfel de dovadă. De fapt, aș ignora dovada – împreună cu vreo douăsprezece alte afirmații incredibile pe care le întâlnesc în fiecare zi – așa cum (bănuiesc) că ar face majoritatea celorlalți oameni.
Prin urmare, m-aș aștepta ca dovada să au la fel de mult efect asupra lumii ca o nouă demonstrație a trisecției unghiului euclidian (așa cum a fost prezentat de multe ori înainte). Adică, ar ocupa temporar cei relativ puțini oameni care au ales să o privească.
Răspuns
Răspuns scurt: Da. Dacă ați putea demonstra că o astfel de afirmație elementară și aparent evidentă este falsă, atunci aceasta ar pune în discuție o mare parte din ceea ce credem că știm despre matematică și, probabil, o mulțime de alte lucruri despre univers.
Deci, ce? Cu excepția cazului în care aveți dovezi că această afirmație este falsă, „este o ipotetică inutilă. Într-adevăr, am avut o mulțime de conversații în care cineva mi-a prezentat o ipotetică despre un subiect complex, cum ar fi„ Ce se întâmplă dacă s-a dovedit că această politică politică că susțineți că nu funcționează? sau „Ce se întâmplă dacă Dumnezeu v-ar porunci să faceți ceva rău?” etc. Și răspunsul meu este, în general, să spun: „Nu cred că situația ipotetică pe care o descrieți este probabil să se întâmple. Ce se întâmplă dacă cineva a demonstrat că 1 + 1 = 2 este fals? „
În sens matematic strict, nu văd cum ați putea dovedi 1 + 1 = 2 fals, deoarece este adevărat prin definiție. definiția „2” este „1 + 1”. Cel puțin așa am fost învățat la clasa de teorie a numerelor. Având în vedere complexitatea matematicii moderne, există probabil alte definiții în alte ramuri. Dar nu puteți dovedi o definiție falsă. Este adevărat prin … definiție.
Răspuns
Nimic nu i s-ar întâmpla realității – ar rămâne așa cum este. Cu toate acestea, am avea nevoie apoi de o schimbare în teoria noastră de numărare, care ar reverbera prin alte teorii matematice care sunt construite pe numărare. Deoarece această ecuație a aritmeticii este efectiv o definiție a două (a se vedea, de exemplu, construirea aritmeticii în sistemele de axiome matematice), o dovadă că această ecuație este greșită ar însemna că nu putem adăuga în mod valid una și una ( sau mai exact, orice sistem axiomatic care ne permite să adăugăm unul și unul este logic inconsistent). Acest lucru ne-ar impune să formulăm sisteme alternative de axiomă ale matematicii care să evite inconsecvența. Realitatea ar continua să se bată la fel de normal în timp ce încercăm să ne dăm seama.
Răspunde
Nu poți respinge o axiomă , și axiomele lui Peano afirmă că 1 + 1 = 2.
Comutarea contextuală, în logica booleană + înseamnă altceva și 1 + 1 = 1.
Comentarii