Mi-a fost prezentat un diapozitiv power point de către un prieten despre educația matematică și unul dintre diapozitivele sale vorbea despre „cele șapte numere de referință”. El a spus că:
Cele șapte numere de referință pentru a dezvolta un sens numeric „complet” sunt: $ 0, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {2}, 1, 10, 12, $ și 100 $. Aceste numere formează baza curriculum-ului de matematică în învățământul primar și secundar.
Din păcate, când a fost presat să facă acest lucru, prietenul meu nu a putut explica de ce aceste numerele erau „repere”. Știe cineva la ce se poate referi sau, mai bine, știe cineva de unde obține aceste informații?
Comentarii
- De ce nu ' nu-l întrebi sursa? Ciudat, el ' prezintă material pe care nu-l poate ' explica.
- Mie (și altele ) un număr de referință este unul util pe care să se bazeze estimările. De exemplu, 1/2 este un bun punct de reper și ne ajută să înțelegem unde se află 3/8 pe linia numerică față de 1/2. Totuși, ' nu sunt sigur ce face 12 acolo. Și această listă particulară pare arbitrară.
- Majoritatea dintre ele sunt destul de simple pentru a ghici motivația, dar cu siguranță doar numerele sunt insuficiente pentru a dezvolta orice fel de " completați " sens de număr. @ncr Numărul aparent arbitrar, 12, se datorează probabil sistemului nemetric în care, de exemplu, se are o duzină (12) sau – nu cu mult timp în urmă – un brut (144). Plus 12 inci în picior, 12 ore în fiecare jumătate a zilei și mulți studenți din Statele Unite învață tabelul de înmulțire 12 cu 12. Nu pot ' să spun nimic altceva definitiv despre această listă de numere de referință ", " cu excepția faptului că nu am văzut niciodată colecția discutată formal.
- El nu a putut să-mi furnizeze sursa (ceea ce mă face să mă interesez și mai mult)
- Acest lucru mi se pare foarte arbitrar. Ca matematician, nu aș acorda nicio semnificație specială acestor numere. În special 12 dolari nu ar fi importanți în multe părți ale lumii unde se utilizează sistemul metric. Este oarecum arbitrar să se includă 100 $, dar nu, să zicem, 1000 $. De asemenea, de ce să includeți $ 1/2 $, dar nu $ 2 $?
Răspuns
Un volum decent de matematică elementară este Matematică pentru profesorii elementari (Beckmann, 2010). Cartea este menită să contribuie la întărirea cunoștințelor profesorilor despre matematica din spatele ideilor din programele elementare (cred, în special, programe de reformă). Ca atare, este adesea un loc bun pentru a verifica astfel de lucruri.
Punctele de referință (numite și „repere”) sunt introduse în contextul comparării fracțiilor. Când elevii încearcă să determine ce fracție este mai mare, $ \ frac {4} {9} $ sau $ \ frac {3} {5} $, o strategie sugerată este ca elevii să își motiveze relația cu un alt număr, cum ar fi fracțiunea $ \ frac {1} { 2} $:
Când am comparat $ \ frac {4} {9} $ și $ \ frac {3} {5} $ comparând ambele fracțiuni cu $ \ frac {1} {2} $, am folosit $ \ frac {1} {2} $ ca reper (sau reper) . Fracțiile $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ și $ 1 $ sunt bune de utilizat ca etaloane. (p. 73)
Este clar din acest text că numerele sunt oarecum arbitrare ; nu trebuie să existe o listă definitivă a numerelor de referință. Studenții ar alege o fracțiune de referință care să îi ajute să compare.
Nu pot spune dacă alții folosesc parametrii de referință în același mod (o privire rapidă asupra unora alte cărți pe care le am la îndemână nu apar la termen). Cu toate acestea, utilizarea aici este clară: un punct de reper numărul este un număr util în raționarea unei probleme. În acest caz, etalonul este utilizat ca punct de referință pentru compararea fracțiilor.
Intenția este de a încuraja raționamentul mai degrabă decât procedura. Există algoritmi unii studenți sunt învățați să fie folosiți pentru compararea fracțiunilor, care le permit să înlocuiască raționamentul matematic cu câteva etape memorate și unele aritmetice. Dar raționamentul le permite să practice conjectura, să lucreze cu o justificare a răspunsului lor și, în cele din urmă, să aibă o modalitate apărați răspunsul lor în afară de „asta a produs procedura.”
Ar trebui să cerneală orice număr util utilizat în raționament ar putea fi numit reper. De exemplu, în răspunsul meu la o altă întrebare (văzut aici) , am scris despre raționamentul studenților care transformă un subtrahend în numărul de $ 2000 $. În acest caz, $ 2000 $ este util.
Un alt tip de raționament matematic care ar putea beneficia de un punct de referință este estimarea. Numerele pot fi înlocuite cu valori de referință din apropiere, care fac un calcul mai rapid, dacă scopul este de a oferi doar un răspuns (o strategie adesea destul de utilă pentru multe aplicații din lumea reală).
În rezumat, nu cred că există suport pentru o listă definitivă de repere . cele pe care Dr. Beckmann le oferă sunt sugestii („bune de folosit”), dar testul real este dacă acestea sunt utile gânditorului în mijlocul raționamentului lor matematic.
Lucrări citate:
Beckmann, S. (2010). Matematică pentru profesorii elementari. New York: Pearson Addison-Wesley.
Comentarii
- poate ' doar eu sunt leneș, dar în copilărie cred că aș calcula doar expansiunea zecimală pentru a compara două fracții. I ' Am citit o istorie a fizicii care ecouă acest sentiment … că sistemul numeric zecimal a fost extrem de important pentru aspectul de aproximare al gândirii Newton ' … dar, eu ' nu sunt expert.
- @ JamesS.Cook ' nu este leneș să folosești reprezentarea care bes Se potrivește abilităților dvs. și aplicației la îndemână. Munca la clasă are un obiectiv suplimentar de învățare, desigur. În acest caz, întorcându-ne la raționamentul pentru comparație (în acest sens, acesta contrastează cu alte metode " truc "). Din curiozitate, când comparați fracții cu zecimale în copilărie, ce raționament a legat reprezentările fracționale și zecimale? Cu alte cuvinte, cum v-ați dovedit în mod informal că reprezentarea zecimală era cu adevărat același număr?
- Dacă îmi amintesc și asta este discutabil, cred că a fost sensul standard. De exemplu, $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $, deci construim zecimale din adăugarea multiplilor întregi de $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … împreună. Nevoia de seriale a fost apreciată doar mult mai târziu, aproximările fiind suficiente pentru scopurile mele de copil, nu îmi amintesc ' nu-mi amintesc că am analizat convergența pe locul de joacă.
- @JamesS .Cook Deci, genul de cunoștințe " atomice " aici este că $ \ frac {1} {10} = 0,1 $ (și așa pentru alte fracții care implică puteri de zece). Dar, de asemenea, ar trebui să justificați că $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. Din punct de vedere al aspectului, acest aspect pare mai sofisticat decât compararea a două fracții bazate pe un punct de referință (adică ' ați fi dincolo de necesitatea strategiei de referință în acest moment). Fracțiile dvs. de putere de zece numitori sunt, în mod evident, o parte vitală a înțelegerii modului în care valoarea locului se aplică valorilor fracționare.
Răspuns
Nu pot face acest lucru, dar aici este un gând ca matematician și tată al copiilor în vârstă de școală (pentru ca să apară criteriile de referință):
1: Reprezintă întreaga idee despre ce este un număr. Odată ce obțineți 1, trebuie doar să memorați 2, 3, …, 9.
0: reprezintă înțelegerea faptului că nimic nu este și o cantitate / un număr.
10: La început „10” este doar un alt simbol pentru un număr precum „7”. Dar dacă într-adevăr obțineți că „este 1 și un 0, atunci simbolurile 11, …, 99 devin imediat de înțeles.
100: Înțelegerea„ zece ”este un lucru. Următorul pas este înțelegerea că trebuie să existe un nume nou pentru zece zece. Odată ce primiți „sută”, atunci „mii”, „zece mii”, „milioane” etc. devin memorare.
1/2: A fi capabil a înțelege cu adevărat 1/2 înseamnă că obțineți ce sunt fracțiile. Știu că elevii se luptă cu fracțiile, dar totul începe cu 1/2.
1/10: Odată ce obțineți fracții, întrebarea zecimalului reprezentarea este naturală. Deci, presupun că 1/10 ar trebui să însemne cu adevărat înțelegerea 0.1.
12: O minge ciudată pe listă. Cred că este una dintre cele două posibilități: este important pentru că majoritatea elevilor memorează tabelele de înmulțire la 12×12 sau pentru că în limba engleză „doisprezece” este ultimul număr al cărui nume nu vă spune nimic despre reprezentarea sa zecimală, de exemplu Poate că ar fi trebuit să fi fost numit „seconteen”.
Comentarii
- Dacă te uiți atent, " doisprezece " conține cel puțin o formă de " două. " Vezi și etymonline.com/index.php?term=twelve .
- Doisprezece este primul număr abundent și, de asemenea, este cheia modelului de ceas pe care unii profesori îl folosesc pentru fracțiuni. Nu ' nu știu dacă de aceea se află ' pe listă, dar cu siguranță are un sens de ce ar putea fi pe un lista numerelor importante din clasa a IV-a și a V-a.
- Numărul întreg " 1 " este Identitatea Multiplicativă Universală .Deși " 2 " nu este necesar ' ca bază pentru numerele întregi, aș face ia în considerare faptul că înmulțirea orice cu întregul număr doi este la fel cu adăugarea la sine este destul de importantă. Aș considera " 4 " important, deoarece înmulțirea ceva cu patru este același lucru cu adăugarea unui ceva în sine și adăugarea rezultatului la în sine , în timp ce " 3 " este important, deoarece înmulțirea cu trei necesită adăugarea de ceva în sine și apoi adăugarea rezultatului la originalul .