În o pentagramă obișnuită (stea cu 5 puncte), unghiul din fiecare punct este de 36 de grade, deci unghiurile din toate cele cinci puncte sumă la 180 de grade:
Dar o pentagramă neregulată, cum ar fi următoarea?
Acum unghiurile ar putea fi toate diferite una de cealaltă; situația este mult mai complicată. Puteți demonstra că unghiurile din toate cele cinci puncte încă însumează 180 de grade?
Restricții (pentru a clarifica faptul că aceasta nu este nici o problemă de matematică [spre deosebire de un puzzle matematic], nici un exercițiu de calcul sau geometrie euclidiană avansată):
- nu sunt permise operații aritmetice (adunare, multiplicare, …)
- puteți desena un nou segment de linie pe stea, dar nu mai mult de atât
Comentarii
- Ne pare rău, dar cred că aceasta este doar o altă problemă matematică … (” dovedi „, ” unghiuri „, ” sumă „, ” 180 de grade „)
- @MarkN Conform meta post canonical pe această temă, semnul unui puzzle matematic, spre deosebire de problemă este de a avea o soluție inteligentă sau elegantă, adesea un ” aha ” moment , o declarație de problemă neașteptată sau un rezultat neașteptat sau contraintuitiv . Soluția pe care o am în minte are cu siguranță prima dintre aceste caracteristici, iar IMO și ultimele două.
- Acesta nu este ‘ un puzzle matematic – este ‘ un puzzle logic. De obicei, înveți această logică de la cineva care predă și matematică.
Răspuns
$ \ hskip 1.5in $ 
visător?
Aceasta este o imagine a unei săgeți care străbate fiecare dintre unghiurile succesive din Steaua. Observați că, după ce urmărește toate unghiurile de 5 $, orientarea sa este inversată – ceea ce înseamnă că a rotit 180 $ ^ {\ circ} $ și că aceasta trebuie să fie suma unghiurilor. Putem face același lucru cu steaua din figura ta, ergo, unghiurile sale prea însumând 180 $ ^ {\ circ} $.
O generalizare:
Putem face același lucru cu o figură ca aceasta, ale cărei unghiuri însumează 180 $ ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 în $ 
Putem face acest lucru și unui triunghi. Proprietatea importantă este următoarea:
Nu trebuie să existe vârfuri ale stelei interior către conul măturat de o rază care traversează un unghi dat.
Satisfacerea acestei condiții – care în principiu spune că nu trebuie să „ignorăm” vârfurile, ci doar să rotim săgeata și să vedem ce lovituri – constatăm că putem ordona vârfurile într-un mod „în sensul acelor de ceasornic”, astfel încât, la fiecare unghi, fie capul, fie coada săgeții să se îndrepte către următorul vârf în ordine (și să alterneze care). Evident, atât capul, cât și coada vor face o revoluție completă atunci când au fost urmărite de două ori mai multe unghiuri decât vârfuri, rezultând rezultatul dorit.
(S-ar putea exprima și starea mea ca „atribuirea vârfurilor numerelor $ 1 $ prin $ 2n + 1 $ în ordine în sensul acelor de ceasornic, așa cum se vede dintr-un punct central, trebuie să fie faptul că $ 1 $ se conectează la $ n $ și $ n + 1 $ și toate celelalte puncte sunt conectate în mod analog „)
Comentarii
- (De asemenea, pentru ceea ce merită ‘, mi-a plăcut foarte mult acest puzzle, chiar dacă răspunsul meu nu este intenționat – am avut un bun, ” Ei bine, ‘ s evident ” moment, urmat de câteva ore de zgârieturi intense pe cap, încercând să-mi dau seama de ce era evident, urmat de ” Aha! a fost evident! „)
- Consider că comentariul dvs. este o referință la această glumă ? =)
- Acceptat deoarece ‘ este chiar mai frumos decât răspunsul pe care îl căutam și acoperă și o generalizare.
Răspuns
Plasați creionul pe linia 1.
Rotiți creionul astfel încât să se alinieze cu linia 2. Tocmai l-ați rotit în sens invers acelor de ceasornic cu unghiul din partea de sus a pentagramei.
Acum rotiți-l din nou în sens invers acelor de ceasornic pe linie 3. Apoi din nou pe linia 4, apoi 5 și, în final, înapoi la 1. Tocmai ați rotit creionul prin toate cele cinci unghiuri ale pentagramei în ordine.
Și ce s-a întâmplat? Creionul se află acum pe aceeași linie de la care a început, arătând în direcția opusă.Dacă urmăriți în ce direcție indică creionul la fiecare pas, puteți vedea că, în total, l-ați rotit în sens invers acelor de ceasornic cu o jumătate de rotație. De unde, $ 180 ^ \ circ $.
Comentarii
- Aceasta va fi o dovadă frumoasă dacă o modificați pentru a exclude posibilitatea că ați rotit creionează prin alt multiplu ciudat de $ 180 ^ \ circ $. Cu această heptagramă creionul ajunge, de asemenea, în sens invers, dar s-a rotit cu 540 $ ^ \ circ $
- Există o deformare continuă din pentagrama de referință la orice pentagramă deformată. Astfel, rotația nu poate sări de la un multiplu de 180∘ la altul.
- Practic, orice $ \ {m: n \} $ – gram în care $ n < \ frac m 2 $ se rotește 360 $ \ ori (\ frac m 2 – n) $ grade.
- Explicație frumoasă Lopsia … simplă, curată 🙂 Aveam să spun, ia 4 unghiuri și vizual începeți să le reduceți la 0 .. gândiți-vă cum arată steaua pe măsură ce se întâmplă acest lucru … unghiul 5 continuă să crească pentru a se acomoda … până când 4 unghiuri sunt 0, iar al 5-lea este 180 (adică o linie dreaptă) ..: ) Dar îmi place mai bine explicația Lopsy ‘ ..;)
- Frumusețea acestui răspuns este că nu ‘ t citit ca o dovadă matematică. Oricine îl poate înțelege.
Răspunde
Iată o altă dovadă.
Etichetă punctele așa cum se arată și trageți CD-ul segmentului de linie. Utilizați A, B etc. pentru a indica unghiurile cărora ni se cere să găsim suma.
Acum
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (unghiuri într-un triunghi)
Deci este suficient să demonstrezi că
$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $
Acum
$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ și $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
Deci este suficient să demonstrezi că
$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $
ceea ce este evident adevărat deoarece
LHS este suplimentul $ \ angle DFC $ , iar RHS este suplimentul $ \ angle EFB $ , unde $ \ angle DFC $ și $ \ angle EFB $ sunt egale, deoarece vertical opuse .
Comentarii
- Acesta este răspunsul pe care îl căutam.
- Deci, destul de mult, puteți distila această soluție la 2 reguli: unghiurile în triunghiuri = 180 și unghiurile opuse ale celor 2 linii care se intersectează sunt egale.
- @randal ‘ thor Această soluție implică, de asemenea, adăugarea, deci nu ar respecta restricțiile dvs. sau ar trebui să vă modificați restricțiile.
- Da, am să spun că acest lucru este ca și nu, ci unul dintre cele mai matematice. Răspunsuri -ish aici. Absența aritmeticii nu înseamnă că nu este ‘ t matematică …
Răspuns
Suma unghiurilor interioare ale unui pentagon este întotdeauna de 540 °.
Unghiul fiecărui punct exterior este întotdeauna suma celor două unghiuri interioare adiacente – 180 °. Putem spune acest lucru deoarece, având în vedere unghiurile interne A și B, unghiurile triunghiului sunt 180 – A, 180 – B, X. Prin definiția unghiurilor unui triunghi, X este egal cu $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Fiecare unghi interior al pentagonului este utilizat de două ori și există 5 puncte, deci $ (2 \ times 540) – (5 \ times 180) = 180 ° $
Comentarii
- Cred că aceasta este o geometrie de gradul 9, care se ridică …
- Acest lucru este mai complicat decât dovada la care mă gândeam. Este posibil să editez întrebarea pentru a restricționa probele posibile un pic mai mult, dar ‘ vă voi oferi în continuare un +1. Ați putea justifica a doua propoziție? De asemenea, nu ‘ nu înțeleg ce spune a treia teză.
- Dacă lăsăm A și B să fie două unghiuri interioare adiacente ale pentagonului, atunci unghiul de punctul din triunghi este 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Dovadă frumoasă, dar ar fi grozav dacă ați putea folosi un pic sau 2, sau chiar și un gif!
- Cred că este ‘ posibil să generalizăm această dovadă pentru a arăta că unghiurile din punctele oricărei n -gram suma la $ 180 ^ \ circ $ cu condiția ca forma să conecteze fiecare punct la două puncte adiacente pe n -gon.(Rețineți că hexagrama unicursală nu ‘ nu îndeplinește criteriul de conectare; nici hexagrama formată din două triunghiuri; și numai una dintre cele două heptagrame unicursale.)
Răspuns
Iată o altă dovadă îngrijită, de data aceasta prin inducție. Putem face pentagrama începând cu cea obișnuită și deplasând succesiv patru dintre puncte. Deci, este suficient să se demonstreze că
deplasarea unui punct într-o pentagramă nu schimbă suma unghiurilor la puncte
Să „s
mutăm punctul A în A” și apelăm atât unghiul la A cât și unghiul la A „unghiul superior
Obținem acest lucru:
Este suficient să se demonstreze că
modificarea unghiului superior și modificările unghiului este la C și D sumă la zero.
Pe această nouă diagramă
afișăm
modificarea unghiului superior ca $ xw $ și modificările la D și C ca $ -y $ și $ z $,
și trebuie să dovedim că
$ xw-y + z = 0 $, sau cu alte cuvinte, că $ x + z = w + y $,
ceea ce este evident, ca înainte, deoarece
LHS și RHS sunt complementele unghiurilor opuse vertical la G.
Răspuns
O altă abordare:
Începând cu steaua obișnuită, știm că $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Acum, să desenăm un segment de linie așa cum se arată în diagramă.
Rețineți că $ B, D, E $ rămân neschimbate! Din observațiile noastre, vedem că $ Y = C – X $ și $ Z = A + X $.
Astfel suma punctelor noii noastre stele $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Deci putem continua să desenăm segmente și să creăm stele noi (și să redimensionăm le) până ajungem la forma dorită.
Comentarii
- Frumos, dar puteți adăuga ceva pentru a face mai intuitiv că puteți face un pentagramă neregulată generală printr-o succesiune de mișcări ale unui punct de-a lungul uneia dintre liniile prin acel punct și redimensionări.
- Aș putea încerca dacă doar geometria nu a rănit ‘ creierul meu atât de mult D:
Răspuns
Este inevitabil ca unele aritmetica trebuie făcută – concluzia intenționată este una cantitativă, la urma urmei – deci provocarea nu ar trebui să fie t o ascunde aritmetica, nici să o numiți sub un alt nume, ci să o faceți evidentă și simplă. Următorul argument reduce aritmetica la a observa că cinci reprezintă unul mai mult decât patru (și că un întreg este de două ori pe jumătate, fapt folosit în trecere).
Steaua se învârte de două ori în jurul centrului său și, prin urmare, oricine o traversează va trebui să întoarcă două cercuri complete (patru semicercuri). Toate întoarcerile au loc numai la vârfuri, unde cantitatea maximă este o față completă de aproximativ jumătate de cerc. Pentru cinci vârfuri care ar fi cinci semicercuri, sau încă un semicerc mai mult decât se întoarce efectiv: 180 de grade. Deficiența dintre acest maxim și cantitatea de întoarcere care se realizează este tocmai suma unghiurilor interioare, QED.
Această abordare este cea adoptată în matematica modernă (adică, după secolul al XVIII-lea). Se generalizează la cifre arbitrare de dimensiuni arbitrare trasate în alte figuri care pot fi curbate. Este cunoscut sub numele de Teorema Gauss-Bonnet .
Răspuns
Există o teoremă bazată pe cerc care afirmă „Măsura unui unghi inscris este jumătate din măsura arcului pe care îl interceptează”. Aceasta înseamnă că pentru unghiul x , arcul pe care îl interceptează va fi 2x . 
Acum, dacă înscrieți steaua într-un cerc, obțineți acest lucru:
Etichetând desenul anterior, obțineți acest lucru;
Cu această teoremă, știm că unghiul ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, și ∠ 5 = b / 2. Dacă distribuim acest lucru, vom obține ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . În plus, deoarece măsurile tuturor arcurilor dintr-un cerc se adaugă la 360, știm că a + b + c + d + e = 360 . În cele din urmă, folosind proprietatea de substituție, obținem ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 sau ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Astfel suma tuturor unghiurilor este de 180.
Comentarii
- Există ‘ un defect în argumentul dvs.: nu fiecare pentagramă poate fi înscrisă în un cerc.
- @ThomasKwa Puteți să-mi dați un exemplu?
- @ user1812 mutați orice punct din exemplul dvs. în sau în afara cercului. Este nevoie doar de trei puncte pentru a defini un cerc, iar o pentagramă are cinci.
Răspuns
Această dovadă în un sens nu este altceva decât numărarea gradului de unghiuri.
Reamintim că un pentagon, indiferent dacă este regulat sau neregulat, are unghiurile interne însumate la 540. unghiurile unei intersecții de 2 linii drepte însumează 360, unde și unghiurile opuse sunt congruente.
Luați în considerare cele 5 puncte ale pentagonului central, punctele în care apare intersecția a 2 linii. În jurul acestor 5 puncte sunt 360 x 5 = 1800 de grade în total și 5 x 4 = 20 de unghiuri de numărat.
Din cele 20 de unghiuri, 5 sunt din pentagon, încă 5 sunt congruente cu cele. Deci, aceasta reprezintă 540 + 540 = 1080 grade. Rămășițele 1800 – 1080 = 720 grade provin din interiorul celor 5 triunghiuri.
5 triunghiuri conțin unghiuri interioare de 5 x 180 = 900 de grade. 720 dintre aceste grade se află la colțurile pentagonului / triunghiului / intersecției.
Acest lucru lasă la vârfurile stelei 900 – 720 = 180 grade.
Edit: Aritmetica de aici este pur și simplu prescurtare pentru unghi adunare și scădere, la fel ca în alte răspunsuri.
Răspuns
Pentagonul central ca A, B, C, D , E conține 540 DE GRADE
Suma celor 5 PERECHE unghiuri suplimentare adică. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Acest 720 grade reprezintă „baza” unghiurile celor 5 triunghiuri Care totalizează 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (cele 5 unghiuri fiind căutate.
Cele cinci triunghiuri de la puncte însumează 5 * 180 = 900
Comentarii
- Întrebarea solicită în mod specific să o demonstreze fără a utiliza operații aritmetice.