Am un fascicul continuu peste o coloană centrală (nu sunt sigur dacă l-am desenat corect sau nu)
Diagrama de deplasare și forță este după cum se arată:
Prima diagramă este momentul de încovoiere, în al doilea rând forța axială, a treia este deplasarea.
Acum, care este condiția la limită la $ R_A $, $ R_B $ și $ R_C $?
Din ceea ce pot deduce, se pare că
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (corespunde deflexiei la cele trei suporturi)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, sau $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (corespunde momentului).
Dar bănuiesc că îmi lipsesc încă unele condiții la graniță pentru a derivă diagrama deplasare / forță completă pentru continu ous fascicul. Există condiții limită pe care le-am „ratat?
Răspuns
Ei bine, vă lipsește compatibilitatea pantei la suportul de mijloc :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
În cazul geometrie simetrică & încărcare, panta grinzii la suportul mijlociu va fi zero.
Deoarece momentul de încovoiere nu are derivată la x = L, trebuie să derivăm devierile celor două jumătăți separat și să le „unim” cu compatibilitate.
Actualizare: derivarea formulei de deviere a fasciculului:
Începând de la ecuația fasciculului Euler-Bernoulli (presupunând EI constantă) și luând x din exterior suport către centru: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrarea de patru ori:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Observând că problema este simetrică, condițiile limită sunt: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Prin urmare, putem vedea imediat că: $ B = D = 0 $
Acum avem două ecuații cu două necunoscute (A, C). Rezolvând găsim: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Acum putem substitui toate constantele înapoi în ecuația pentru w. Simplificarea rezultatelor în:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Care este identic cu rezultatul la care se face referire aici (rețineți că sistemul lor de coordonate are x = 0 în centru). De asemenea, observați că acesta este exact același rezultat ca un consolă cu sprijin . Acest lucru se datorează simetriei, ceea ce înseamnă că panta fasciculului de la centru este zero (care este aceeași condiție de graniță ca un suport în consolă).
De asemenea, puteți înlocui în ecuația momentului de încovoiere:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Comentarii
- a) compatibilitatea stării pantei este utilă numai dacă se poate modela fasciculul continuu ca două fascicule. Cum este de ajutor în acest caz? b) De ce spuneți că momentul flexibil este discontinuu la $ L $? diagrama de moment din întrebarea mea arată clar că este continuă.
- V-ar fi recunoscător dacă puteți elabora un pic și dacă puteți arăta cum condițiile dvs. la graniță pot duce la diagrama de deplasare / moment de încovoiere pentru fasciculul continuu .
- @Graviton, a) Voi actualiza întrebarea cu derivarea. b) ai dreptate, eram un pic slab cu terminologia mea matematică. Ceea ce vreau să spun este că momentul de încovoiere nu are derivată la x = L.