Definirea simbolului $ k $ în legea lui Coulomb, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ să fie $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, este perfect permis atunci când cineva îl înțelege pur și simplu ca un definiție a $ \ epsilon_0 $. Motivația acestei definiții este că atunci când calculați forțele dintre două plăci încărcate opus de suprafață $ A $ și încărcați $ Q $ o distanță $ d $ distanță, ele vin ca $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, unde factorul de $ 4 \ pi $ provine din aplicarea judicioasă a lui Gauss legea.
Când dezvoltați acest lucru mai departe într-o teorie a capacității, constatați că implică tensiunea dintre plăci este $ V = Q / C $, unde $ C = \ epsilon_0 A / d $. Mai mult, dacă doriți să introduceți un dielectric între plăci (așa cum faceți deseori), atunci capacitatea se schimbă în $$ C = \ epsilon A / d $$ unde $ \ epsilon $ este cunoscut sub numele de permitivitate electrică a dielectricului . $ \ epsilon_0 $ este atunci înțeles în mod natural ca „permitivitatea spațiului liber” (care desigur definește pur și simplu ceea ce înțelegem prin permisivitate).
Întrebarea este atunci, desigur, de ce este aceasta „derivată” „unitate, $ \ epsilon_0 $, tratată ca fiind mai„ fundamentală ”decât originalul $ k $? Răspunsul este că nu este deoarece sunt echivalente, dar permitivitatea spațiului liber este mult mai ușor de măsurat (și cu siguranță a fost așa la sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea, când cercetarea electrică a fost orientată foarte mult către tehnologiile bazate pe circuite), astfel încât a ieșit câștigătoare și de ce au două simboluri pentru cantități echivalente? Răspuns
Unitatea celui de-al doilea este definită este durata de timp a unui anumit număr de perioade de radiații emise de o parte tip icular de tranziție a electronilor între nivelurile de energie într-un izotip de cesiu (vezi aici ).
Se presupune că lumina călătorește într-un viteză constantă $ c $ independentă de un cadru de referință, așa că acum, când am fixat o unitate de timp, putem defini o unitate de lungime: metrul este distanța pe care o parcurge lumina în $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.
De asemenea, definim unitatea de curent SI (Ampere) astfel încât permeabilitatea a spațiului liber să ia valoarea dorită în Unități SI ($ 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} $).
Putem defini și $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ ca $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$
Acum, rețineți, nu trebuie să remediați un sistem de unități pentru a face acest lucru (așa cum am făcut înainte). Deoarece cele de mai sus sunt definiții , acestea vor fi păstrate în orice sistem de unități. Cu toate acestea, pentru a vedea că aceste definiții nu ajung să fie circulare, ne ajută să vedem că putem defini $ \ mu _0 $ și $ c $ în termeni de fenomene pur fizice. Cu alte cuvinte, pentru ca definițiile de mai sus să aibă chiar sens, a trebuit să știm că am putea defini $ c $ și $ \ mu _0 $ independent de $ \ varepsilon _0 $ și $ k $ mai întâi. Definiția de mai sus a unităților SI vă ajută să vedeți că acest lucru se poate face.
Comentarii
Răspuns
Dacă întrebarea este de ce „$ 4 \ pi $” din constanta Coulomb (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), atunci o întrebare la fel de valabilă ar putea fi de ce „4 $ \ pi $” în permeabilitatea magnetică a vidului, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?
Poate că un indiciu poate fi găsit în ecuația lui Maxwell pentru viteza undei electromagnetice (lumina) în vid, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.
Desigur, Maxwell a derivat această relație mult mai târziu decât Coulomb.
Maxwell relatează permisivitatea electrică la permeabilitatea magnetică în vid, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ căruia i se dă o valoare de $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ în unități SI.
„Motivul” pentru „$ 4 \ pi $” care apare aici și în constanta lui Coulomb (credeți sau nu) deci că ecuațiile lui Maxwell pot fi scrise fără factori de $ 4 \ pi $!
Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare modul în care fenomenele electrostatice sunt exprimate în legea lui Coulombs ca „câmp” intensitate la o distanță pătrată „, în comparație cu legea Gauss (echivalentă), care descrie” fluxul printr-o suprafață închisă care cuprinde sarcina „.
Fluxul total este densitatea fluxului înmulțită cu suprafața , care pentru o sferă de rază $ r $ este dat de $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, deci raportul $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ este pur și simplu rezultatul geometriei lui spațiu și simetrie sferică.
Se spune că sistemul de unități SI (spre deosebire de unitățile Gauss) este „raționalizat” deoarece permite exprimarea ecuațiilor lui Maxwell fără factorii $ 4 \ pi $. Pentru a face acest lucru, factorul $ 4 \ pi $ a fost pur și simplu „încorporat” în definiția (unității SI) a constantei universale pentru permeabilitatea vidului, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, din care putem exprima constanta lui Coulomb ca k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.