Teorema superpoziției
„ Teorema superpoziției pentru circuite electrice afirmă că pentru un sistem liniar răspuns (tensiune sau curent) în orice ramură a unui circuit liniar bilateral care are mai multe surse independente este egală cu suma algebrică a răspunsurilor cauzate de fiecare sursă independentă care acționează singură, unde toate celelalte surse independente sunt înlocuite de impedanțele lor interne . „

Ce tipuri de circuite poate fi rezolvat prin suprapunere?

Circuitele formate din oricare dintre următoarele componente pot fi rezolvate folosind teorema suprapunerii

• Independent surse
• Elemente pasive liniare – Rezistor, condensator și inductor
• Transformator
• Surse liniare dependente

Care sunt pașii pentru a rezolva un circuit utilizând teorema de suprapunere?

Urmați algoritmul:

1. Răspuns = 0;
2. Selectați prima sursă independentă.
3. Înlocuiți toate sursele independente din circuitul original, cu excepția sursei selectate cu impedanța sa internă.
4. Calculați cantitatea (tensiune sau curent) ) de interes și adăugați la Răspuns.
5. Ieșiți dacă aceasta a fost sursa independentă finală. Altfel Mergeți la pasul 3 cu selectarea următoarei surse.

Impedanța internă a unei surse de tensiune este zero, iar cea a unei surse de curent este infinită. Deci, înlocuiți sursa de tensiune cu un scurtcircuit și sursa de curent cu circuit deschis în timp ce executați pasul 3 din algoritmul de mai sus.

Cum sunt tratate diferite tipuri de surse atunci când rezolvare prin suprapunere?

Sursele independente trebuie tratate așa cum s-a explicat mai sus.

În cazul surselor dependente, nu le atingeți.

Suprapunerea se aplică numai atunci când au un sistem pur liniar, adică:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

În contextul analizei circuitului, circuitul trebuie să fie compus din liniar elemente (condensatori, inductori, transformatoare liniare și rezistențe) cu N surse independente și ceea ce rezolvați trebuie să fie fie tensiuni, fie curenți. Rețineți că puteți lua o soluție super-impusă la tensiune / curent pentru a găsi alte mărimi care nu sunt liniare (ex. puterea disipată într-un rezistor), dar nu puteți suprapune (adăuga) cantități neliniare pentru a găsi soluția pentru un sistem mai mare.

De exemplu, să luăm un singur rezistor și uită-te la legea lui Ohm (I „m folosind U și J respectiv pentru tensiune / curent, fără un motiv special) și vezi cum a contribuit curentul de la sursă \ $ i \ $ afectează tensiunea:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Deci pot găsi tensiunea pe un rezistor prin însumarea contribuției curente de la fiecare sursă independentă de orice altă sursă . În mod similar, pentru a găsi curentul care curge prin rezistor:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Cu toate acestea, dacă încep privind puterea, suprapunerea nu se mai aplică:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Procesul general de rezolvare un circuit care folosește suprapunerea este:

1. Pentru fiecare sursă \ $ i \ $, înlocuiți toate celelalte surse cu sursa lor nulă echivalentă, adică sursele de tensiune devin 0V (scurtcircuite) și sursele de curent devin 0A ( circuite deschise). Găsiți soluția \ $ F_i \ $, pentru orice necunoscute vă interesează.
2. Soluția finală este suma tuturor soluțiilor \ $ F_i \ $.

Exemplul 1

Luați acest circuit cu două surse:

^{simulează acest circuit – Schemă creată utilizând CircuitLab}

Vreau să rezolv curentul J care trece prin R1.

Alegeți V1 ca sursă 1 și I1 ca sursă 2.

Rezolvând pentru \ $ J_1 \ $, circuitul devine:

^{simulează acest circuit}

Deci știm că \ $ J_1 = 0 \ $.

Rezolvând acum pentru \ $ J_2 \ $, circuitul devine:

^{simulează acest circuit}

Deci putem constata că \ $ J_2 = I_1 \ $.

Aplicând suprapunerea, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Exemplul 2

^{simulează este circuit}

Acum mă interesează curentul prin R4 \ $ J \ $. În urma procesului general subliniat anterior, dacă notez V1 ca sursă 1, V2 ca sursă 2 și I1 ca sursă 3, pot găsi:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Astfel soluția finală este: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Puterea suprapunerii vine de la întrebarea „ce se întâmplă dacă vreau să adaug / elimin o sursă?” Spuneți, vreau să adaug o sursă curentă I2:

^{simulează acest circuit}

În loc să o iau de la capăt, singurul lucru pe care trebuie să-l fac acum este să găsesc soluția pentru noua mea sursă I2 și să o adaug la vechea mea soluție: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Comentarii

• Am câteva comentarii care sper să vă fie utile: 1. Găsesc folosind U și J sunt oarecum confuze, V și eu suntem mai buni; 2. Prima ecuație pentru U nu ar trebui să fie însumare, deoarece ' s pentru sursa i ' th; 3. Celelalte rezumări ar trebui, cred, luate de la i = 1 la N, nu de la i la N; 4. Suprapunerea în teoria circuitelor este utilizată doar pentru curent și tensiune, așa că aș muta discuția despre putere mai târziu în text; 5. În exemplul următor celui simplu I1 și R1, nu ar trebui să ' t J3 = -I1 (…), deoarece I1 acționează în direcția opusă lui J3?
• 1. Am ales să folosesc U și J deoarece am etichetat sursele mele cu V și I și nu ' nu doream confuzie cauzată de \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Afișez clar ce sunt U și J în speranța de a limita confuzia. 2. Da, am clarificat notația pentru ce este variabila de însumare și indicele de pornire. 4. Ideea mea a fost să pun toate informațiile de bază cu privire la teoria suprapunerii înainte de exemple. Am făcut mai clare secțiunile de exemple pentru a le separa pe cele două. 5. Da, asta a fost greșeala mea.