Cum poate zona să fie un vector?

Aceasta ar putea fi mai mult o întrebare matematică . Acesta este un lucru ciudat despre spațiul tridimensional. Rețineți că, în trei dimensiuni, o zonă precum un plan este un sub-spațiu bidimensional. Pe o foaie de hârtie aveți nevoie doar de două numere pentru a indica un punct fără echivoc.

Acum imaginați-vă stând pe foaia de hârtie, direcția spre care vă îndreaptă capul va fi întotdeauna o modalitate de a ști cum este orientat acest plan in spatiu. Aceasta se numește vectorul „normal” pentru acest plan, este în unghi drept față de plan.

Dacă alegeți acum convenția pentru a avea lungimea acestui vector normal egală cu aria acestei suprafețe , veți obține o descriere completă a planului bidimensional, orientarea acestuia în spațiul tridimensional (partea vectorială) și cât de mare este acest plan (lungimea acestui vector).

Matematic, puteți exprima acest lucru de „produsul încrucișat” $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ a cărui magnitudine este definită ca $ | c | = | a || b | sin \ theta $ care este egală cu aria paralelogramului pe care o acoperă vectorii (care definesc într-adevăr un plan). Pentru a fura această imagine din articolul Wikipedia al produsului încrucișat:

Așa cum am spus la început acesta este un lucru foarte special pentru trei dimensiuni, în dimensiuni superioare, nu funcționează la fel de bine din diverse motive. Dacă doriți să aflați mai multe despre acest subiect, un cuvânt cheie ar fi „algebră exterioară”

Actualizare:

În ceea ce privește semnificația fizică a acestui concept, exemple importante sunt câmpurile vectoriale care curg prin suprafețe. Luați un fir circular. Acest cerc poate fi orientat în diferite moduri în 3D. Dacă aveți un câmp magnetic extern, s-ar putea să știți că acest lucru poate induce un curent electric, proporțional cu rata de schimbare a cantității care curge prin cerc (gândiți-vă la acest lucru cât de mult săgețile perforează zona). Dacă vectorii câmpului magnetic sunt paraleli cu cercul (și astfel ortogonali cu vectorul său normal) nu „perforează” deloc zona, deci fluxul prin această zonă este zero.Pe de altă parte, dacă vectorii de câmp sunt ortogonali față de plan (adică paralel cu normalul), „perforează” maxim această zonă și fluxul este maxim.

dacă schimbați orientarea dintre acei două stări pe care le puteți obține curent electric.

Comentarii

• +1 pentru menționarea câmpurilor magnetice. Nu toți vectorii de suprafață utilizați în fizică sunt diferențiali.
• Mulțumesc. Doar câteva precizări. Mi-ați cerut să-mi imaginez o persoană care stă pe o hârtie & ia în considerare direcția capului său ca reprezentând vectorul normal. Dar să presupunem că această persoană stătea exact pe fața opusă, apoi câștigase ‘ pentru ca orientarea hârtiei să rămână aceeași? Dar acum direcția vectorului este în direcția opusă. Vă rugăm să clarificați.
• În al doilea rând, ați spus că acest concept nu funcționează atât de bine la dimensiuni superioare. Deci, asta înseamnă că întrebarea mea despre direcția unei sfere ‘ este nevalidă? Dacă da, atunci zona este un scalar în acest caz particular, deoarece considerarea acesteia ca vector nu poate specifica orientarea sa în spațiu?
• ce ‘ vă împiedică să fiți mulțumiți ?
• ‘ nu este satisfăcător deoarece, deși axb este un vector, | axb |, adică zona, este un scalar, prin urmare nu este convingător că zona este un vector.

Regimul principal de utilizare este atunci când o zonă este infinit de mică, așa cum ar fi utilizați într-o integrală. În acest caz, putem vedea cu ușurință că este plană, iar forma nu contează cu adevărat. În acest caz, putem codifica informația ca un vector, cu magnitudinea reprezentând zona (scalară); alegerea (așa cum observat) de a arăta din orice parte dată este exact aceea — o alegere — dar una care poate fi făcută în mod consecvent. Putem extinde acest lucru la planuri neinfinitesimale, dar nu funcționează prea bine pentru suprafețele curbate.

Pentru a fi precis, ceea ce îți dorești cu adevărat este un co-vector . Acesta este un gadget abstract care ia un vector și scuipă un scalar. Pentru un plan, doriți ca acesta să reprezinte „cantitatea” vectorului care trece prin plan — deci ar trebui să fie liniar în vector (dublarea vectorului dublează ieșirea) și ar trebui să ia în considerare unghiul la care vectorul îl lovește (dă un factor de $ \ cos $). Acum, ne putem pune întrebarea cum să reprezentăm acest co-vector abstract și se dovedește că un vector este o idee bună! Mai exact, putem reprezenta acțiunea ca luând produsul punct, care codifică în mod natural liniaritatea și cosinusul. Acum, în general, acest lucru se întâmplă să aibă același număr de dimensiuni ca un vector adecvat, dar aceasta codifică doar o zonă (o suprafață 2D) în 3D — în 2D veți obține o linie, în 4D un volum (da! Un 4-vector intersectează un volum la un moment dat!).

Dacă doriți să aflați mai multe despre acest tip de lucruri, doriți să investigați geometria diferențială, unde este necesar să fiți clar despre acest tip de lucruri și să nu amestecați vectori și co-vectori (numiți forme în acel câmp). O referință ușor de citit este Câmpuri de măsurare, noduri și gravitate , care începe de la o imagine de ansamblu de bază a matematicii și o dezvoltă pentru uz fizic.

Comentarii

• În contextul teoriilor de câmp, cum ar fi electromagnetismul, conceptul de ” cantitatea de vector (câmp ) care parcurge un segment plan ” i se dă numele de flux . Așadar, s-ar putea să vă gândiți la zonă ca fiind caracterizată de o funcție care mapează vectori (sau un câmp vector) la fluxul acelui vector (câmp) prin zonă.
• @luksen cartea pe care a menționat-o este bună pentru ce nivel de cunoștințe matematice și fizice? Pentru a reformula, care sunt premisele pentru a începe să urmăriți eficient cartea? Și este o carte absolventă sau universitară?

Gândiți-vă la forță este presiunea timpului zonă ($ F = P \ cdot A $). Știți că presiunea este un scalar (nu există nicio direcție asociată cu aceasta), iar o forță este un vector (acționează de-a lungul unei axe). Deci, ce înseamnă asta pentru presiune.

Luați o zonă mică și vedeți contribuția acesteia la forța totală datorată presiunii

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

Direcția forței este normală față de zonă, iar magnitudinea acesteia este proporțională cu dimensiunea zonei. De aceea un zona infinitesimală $ {\ rm d} A $ poate fi un vector. Este convenabil să ne gândim la (vector) = (scalar) * (vector).

Există un exemplu deosebit de pitoresc al Legii pitagorilor în trei dimensiuni aplicate zonelor unui simplex. (Unde prin „simplex” cred că mă refer la o secțiune a spațiului delimitată de trei ortogonale planuri și un plan arbitrar.) Suma pătratelor (a ariilor) celor trei fețe mici sunt egale cu pătratul suprafeței feței oblice. Este ușor de explicat prin argumentele de tip presiune / flux prezentate în celelalte răspunsuri postate aici, plus condiția fizică evidentă că un fluid netulburat este în echilibru cu el însuși.