Cum pot 64 = 65?

Acesta este un puzzle fizic celebru care poate fi legat de seria Fibonacci .

Pentru a răspunde la întrebarea formulată, problema este că cele două pante sunt diferite ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Rețineți că toate aceste numere sunt în seria Fibonacci ( 1,1,2,3,5,8,13,21 $, \ ldots $ ).

Fracțiile succesive sunt aproximări mai apropiate de $ \ varphi $ , alternând între deasupra și dedesubt. Diagramele de acest fel pot fi generate făcând un pătrat cu laturile egale cu un număr din seria Fibonacci (în această întrebare 8), apoi împărțindu-l în două dreptunghiuri cu lățimile celor două numere Fibonacci care alcătuiesc primul ales (3 și 5).

Tăiați-o pe cea mai mică în diagonală și tăiați-o pe cea mai mare pe mijloc la diagonală, astfel încât lățimea tăieturii diagonale să fie următorul număr cel mai mic (2 în acest caz). Rețineți că aceasta va lăsa un trapez, a cărui dimensiune paralelă mică se potrivește cu latura mai mică originală a dreptunghiului mic (3 în acest caz) și a cărei dimensiune paralelă mai mare se potrivește cu latura mai mică a dreptunghiului mai mare original (5 în acest caz).

Deoarece $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ și din construcțiile de mai sus, piesele pot fi rearanjate într-un dreptunghi (așa cum se arată), a cărei zonă va fi întotdeauna la o distanță de pătratul inițial, dar va arăta aproximativ corectă, deoarece pantele aproape se potrivesc.

Edit: Deoarece acest răspuns a primit atât de multe voturi pozitive (mulțumesc!), am să presupunem că oamenii sunt foarte interesați de asta, așa că m-am gândit să „desenez câteva imagini!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (Exemplul OP)

3,5,8,13 : 13 $ \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: 21 $ \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Un comentariu de la @EricJ . a determinat o discuție care ar merita să fie adusă aici:

Nu pretind că toate aceste puzzle-uri se bazează pe seria Fibonacci. Doar că toate numerele Fibonacci pot genera aceste diagrame. Există mai multe caracteristici ale Fibonacci numere care fac acest lucru să funcționeze.

1. Una este că pătratul unui număr Fibonacci alternează între a fi cu unul mai mult și cu unul mai mic decât produsul numerelor de pe ambele părți.
2. Iată piesa pe care am menționat-o deja, ceea ce înseamnă că construcția noastră ne va oferi două pante care sunt aproximativ egale. Și
3. Există un argument conform căruia construcția generală poate fi realizată pe baza fiecărui număr fiind suma celor două anterioare.

Cele mai recente două puncte pot fi cel mai bine înțeles prin studierea detaliată a construcției. Primul punct poate fi dovedit prin inducție:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ pentru $ k \ geq1 $

Ne „indexăm astfel încât $ f_0 = 0 $ și $ f_1 = 1 $ .

Pasul 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ poate fi verificat prin substituție.

Pasul 2 : Să presupunem că este adevărat pentru $ k $ . Deci, $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Eu folosesc $ \ mp1 $ pentru că „mă aștept să se alterneze și așa că la pasul 3 o voi demonstra pentru $ \ pm1 $ )

Pasul 3 : Trebuie să arătăm că $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Deci, iată:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Am folosit definiția seriei Fibonacci de două ori ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ și $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) și presupunerea pasului 2.

Aceasta înseamnă că atunci când efectuați construcția de mai sus, zonele vor diferi întotdeauna cu doar 1 (alternând de fiecare dată deasupra și dedesubt).

Comentarii

• Exc raspuns ellent! ‘ sunt familiarizat cu aceste puzzle-uri, dar nu am auzit niciodată de conexiunea Fibonacci. De fapt, nu ‘ nici măcar nu mi-am dat seama că există un algoritm pentru generarea unor astfel de forme.
• De aceea nu am încredere niciodată în ” dovadă prin demonstrație ” imagini pe math.stackexchange.com .
• După ce am văzut această întrebare, mi-am dat seama de ce Ferrari 488-ul meu mai rapid decât lumina nu mergea ‘ t destul de funcțional (adică, m-aș întoarce în timp, mai repede decât ușor, Just Fine – dar a continuat să revină ca Ford Fiesta!) Și eu ‘ d tocmai am terminat reparând-o și lansând-o pe un test când am citit acest răspuns prost ! ȘI APOI Ferrari s-a întors – dar de data aceasta s-a întors ca o bicicletă CU UN DINOSAUR CĂLARIT! Deci, OK, am lovit dino-ul (numele lui ‘ s Fred, BTW – tip drăguț. Amuzant ol ‘ lucru, viață .. .) cu o tigaie, iar acum ‘ re-repar motorul FTL. Deci, t ‘ anks fer nuttin ‘ !! 🙂
• Cred că ‘ spune doar că face ceva imposibil și acum nu poate ‘ mai mult pentru că s-a dovedit că este imposibil să ‘. Ce nu primesc ‘ de ce sunt atât de multe voturi în sus? Adică am crezut că sunt deștept, dar nu atât deștept!
• Oh, da? BINE! Tocmai am votat în sus răspunsul tău, doar pentru a-l transforma în 100! DECI ACOLO!!!! 🙂 (Și ca o parte a @ghosts_in_the_code – nu spuneam ‘ cu adevărat că acest răspuns este prost – m-am referit la acesta ca ” prost ” într-un sens ironic care înseamnă ” Răspunsul m-a dovedit greșit! Ce răspuns stupid! ” – adică eu ‘ sunt adevăratul manechin aici. Sperăm că ‘ suntem bine acum …) . Comentariul meu este de fapt un omagiu pentru trei filme: Back To The Future, ET și Caddyshack. Și Hitchiker ‘ Ghidul pentru trilogia Galaxy – toate cele cinci cărți. 🙂

Diagrama este înșelătoare , deoarece ascunde un spațiu în mijlocul celei de-a doua configurații.

Aceasta este ceea ce obținem de fapt dacă rearanjăm formele în cauză. Observați că diagonala „se înclină” ușor, lăsând un spațiu suplimentar între forme – aici se strecoară unitatea suplimentară de zonă.

Dar nu ar trebui să ai încredere în mine decât în persoana care a desenat imaginea originală!

După cum vedem aici, imaginile pot fi înșelătoare – deci diagrama mea nu este o dovadă că diagrama originală a fost greșită. Acest lucru oferă doar un sentiment intuitiv de unde a venit spațiul suplimentar.

Pentru o dovadă adecvată, luați în considerare gradienții:

• Gradientul trapezului albastru este de 5 $ / 2 = 2,5 $
• Gradientul triunghiul roșu este de 8 $ / 3 = 2.666 … $

Deoarece gradientele nu se potrivesc, nu le putem aranja una lângă alta așa fără un spațiu liber între ele . Dar, pentru că sunt aproape, ochiul poate fi păcălit să creadă că formează o singură linie continuă și nu observă panta de pe triunghi schimbându-se la jumătatea în jos.

Comentarii

• Îmi plac aceste puzzle-uri – există ‘ o bună morală filosofică de a nu accepta lucrurile așa cum au fost prezentate ‘ pentru dvs.

Imaginea din dreapta înșală : piesele De fapt, nu se potrivesc perfect, există un decalaj între ele. Pentru a demonstra acest lucru, putem calcula dimensiunea decalajului, calculând dimensiunea unui triunghi, format din:

• cea mai lungă latură a triunghiului galben: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• partea înclinată a trapezului: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• diagonala dreptunghiului de pe dreapta: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Aria acestui triunghi poate fi calculată folosind formula lui Heron:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

unde

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Înlocuirea valorilor în formulă dă exact 0,5 pentru $ A $. Există două astfel de triunghiuri, astfel încât „sa total 1 = discrepanța așteptată.

Este o diagramă înșelătoare. În realitate, unghiurile nu se potrivesc – unghiul interior mai mare al triunghiului portocaliu este de aproximativ 69,5 grade, în timp ce este „68.2 pentru patrulaterul gri. (Corectează-mă dacă greșesc, îmi șterg trigonul aici.) În diagrama cu zona 65, zonele portocalii sunt de fapt patrulatere. Dacă te uiți atent, poți vedea că au o ușoară inflexiune acolo unde întâlnesc cealaltă portocalie. secțiunea. Deci acea zonă suplimentară provine din extinderea lor puțin.

Triunghiurile nu au aceeași pantă ; puteți vedea că linia diagonală mare prin dreptunghiul „mai mare” se îndoaie. Este „acoperit de liniile groase din jurul triunghiurilor, dar există o gaură foarte subțire care are o suprafață totală de un pătrat – același pătrat care se presupune că” a apărut de nicăieri „.

Mărește imaginea și vei „div vezi răspunsul.

Răspuns simplu :

Aceste forme (în portocaliu) din partea dreaptă a imaginii nu sunt deloc triunghiuri! sunt două patrulatere. și astfel au o suprafață mai mare decât se aștepta vizual. deci nu există echitate aici. Acestea sunt diferite și, prin urmare, au o suprafață totală diferită.

Imaginea dreptunghiului inferior este înșelătoare, deoarece îi păcălește pe oameni pentru a presupune incorect lățimea triunghiurilor să fie exact 3 unități.

Lățimea reală poate fi ușor calculată – este o fracțiune din lățimea totală, definită de înălțimea punctului de pe diagonală exact la 8/13 din 5, adică 3.076923077 (și nu 3), qed

Comentarii

• Conform enunțului puzzle-ului, triunghiurile din ambele diagrame sunt identice, iar forma triunghiurilor este definită în configurația 8×8 pentru a fi exact trei unități de opt unități. Eroarea este bine ilustrată în alexwlchan ‘ răspunsul și explicat matematic în câteva altele: piesele nu ‘ nu se potrivesc de fapt în configurația 5×13. Acolo ‘ este un spațiu trapezoidal subțire între ele, care este ascuns de linia diagonală groasă, neagră și nu destul de dreaptă trasată în ilustrația originală 5×13.