Se știe că o punte browniană multivariată standard $ y (\ mathbf u) $ este un proces Gauss centrat cu funcție de covarianță $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Nu sunt sigur despre cum să construiesc un astfel de pod brownian multivariat.
Primul meu gând a fost să încep cumva cu un pod brownian univariat. Am găsit informații despre asta și chiar un pachet în R care poate face acest lucru, dar numai pentru podul brownian univariat.
Am găsit asta , dar așa cum am înțeles, ceea ce s-a făcut acolo nu este un pod brownian standard multivariat cum este definit mai sus sau de ex. în această lucrare .
Aș aprecia orice sugestie și sprijin.
Comentarii
- După cum am aflat în hârtia Deheuvels link există următoarea relație între un Brownian Bridge $ B_t $ și o Brownian Sheet (sau Wiener Sheet) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Deci, cred că problema se reduce la simularea unei foi Brownian. Îmi voi pune întrebările despre asta într-o întrebare separată.
- corectare, relația pentru mai multe dimensiuni este $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Corelat: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Răspuns
După cum ați indicat deja în comentarii, întrebarea se reduce la simularea unei foi Brownian. Acest lucru se poate face generalizând simularea mișcării browniene într-un mod direct.
Pentru a simula mișcarea browniană, se poate lua un i.i.d. medie-0 varianță-1 serie temporală $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ și construiți procesul normalizat de sumă parțială $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Ca $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergență slab (în sensul probabilității Borel se măsoară pe un spațiu metric) la standardul brownian $ B $ pe spațiul Skorohod $ D [0 , 1] $ .
Iid cu cazul celui de-al doilea moment finit este cel mai simplu mod de a simula. Rezultatul matematic (Teorema funcțională a limitei centrale / Teorema lui Donsker / Principiul invarianței) se menține într-o generalitate mult mai mare. -1 matrice $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ și construiți procesul normalizat de sumă parțială $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Ca $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergență slabă către foaia browniană standard pe spațiul Skorohod $ D ([0,1] ^ 2) $ pe pătratul unității .
(Dovada este un argument standard de convergență slabă:
-
Convergența distribuției dimensionale finite rezultă din CLT-ul Levy-Lindeberg.
-
Etanșeitate pe $ D ([0,1] ^ 2) $ rezultă dintr-o condiție de moment suficientă care se menține trivial în i.i.d. caz al doilea moment finit — vezi, de ex. Bickel și Wichura (1971). )
Apoi, prin teorema de mapare continuă $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ converge slab către podul brownian bidimensional.