Am o întrebare despre modelul negru din 1976 și modelul Bachelier.
Știu că o mișcare geometrică browniană în măsura P $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ pentru un preț de stoc $ S_ {t} $ conduce (după o schimbare de măsură) la Black- Formula Scholes pentru un apel:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Unde $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ și $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
De fapt, nu știu cum este posibil să obțin faimoasa formulă neagră pe un contract forward:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
unde acum $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ și $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Ar trebui pur și simplu să introduc $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ în primul BS formula pentru a obține a doua?
Întreb asta pentru că am încercat să obțin formula BS folosind o mișcare aritmetică browniană ca $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a nd primesc:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
unde $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ și $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ și ne amintim că $ N (d) $ și $ n (d) $ sunt CDF și PDF.
dar înlocuirea anterioară $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ nu pare că duce la rezultatul cunoscut $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
unde acum $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Cred că aș putea ajunge la ecuațiile înainte atât în geometrie mișcare browniană și mișcare aritmetică browniană folosind ecuațiile
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ și $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ dar eu nu ” Nu știu cum se justifică utilizarea acestora.
Comentarii
- @Macro Bine ați venit la Quant. S.E.! Doriți să prețuiți doar contractul forward sau opțiunea pentru contractul forward?
- Bună Neeraj, vă mulțumim pentru răspuns. ‘ aș dori să prețuiesc o opțiune pentru contractul forward!
- Înlocuiți doar $ S_0 $ cu $ F e ^ {- rT} $ în formula BS originală sau puteți utiliza o abordare neutră a riscului. Ambele vor duce la aceeași formulă de evaluare.
- Ok, mulțumesc. Dar pot face același lucru pentru ABM? Deoarece nu pot ‘ să obțin rezultatul atunci când fac această înlocuire.
Răspunde
Opțiune europeană pentru viitor
Pentru a stabili prețul Opțiunii europene pentru viitor, trebuie doar să înlocuiți $ S_0 $ cu $ Fe ^ {- rT} $ în formula BS originală sau puteți utiliza abordarea neutră a riscului. Ambele vor duce la aceeași formulă de evaluare.
Opțiunea americană în viitor
Procedura de mai sus nu poate fi utilizată pentru a stabili prețul opțiunii americane în viitor. Într-o lucrare, Evaluarea opțiunilor pe contracte viitoare de către Ramaswamy , a declarat că
Nu există o soluție analitică cunoscută la evaluarea opțiunii americane pentru contractul viitor.
Autorii au utilizat metoda diferenței finite implicite pentru a stabili prețul opțiunii americane pentru contractul viitor.
Edit: Derivarea prețului opțiunii europene pentru contractul viitor
Sub măsură neutră a riscului, preț viitor, $ F_t $ satisface următoarele SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ unde, $ W_t $ este un proces Wiener. Se poate arăta cu ușurință că: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Prețul opțiunii pentru contractul viitor $ (C_t) $ sub măsura neutră a riscului este: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Puteți rezolva cu ușurință expresia de mai sus pentru a obține prețul opțiunii scrise în viitor. Distribuția $ F_T $ este foarte asemănătoare cu $ S_T $ (vezi acest răspuns) . Dacă înlocuiți $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , atunci veți obține aceeași distribuție a $ S_T $ ca măsură neutră din punct de vedere al riscului. Acesta este motivul, pentru a obține prețul opțiunii în viitor, înlocuim $ S_t $ cu $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ în modelul BS al prețului opțiunii de apel europene.
Comentarii
- Bună Neeraj, de fapt eu ‘ doresc să prețuiesc o opțiune europeană începând de la un ABM.
- @Marco vă rugăm să verificați modificarea răspunsului.
Răspundeți
Aici „este o modalitate simplă de a obține prețul apelului la prețul forward folosind prețuri neutre din punct de vedere al riscului.
Să presupunem că avem un apel european care plătește la $ t = T $ , $ (Pentru ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , unde $ T ^ * \ geq T $ . În plus, presupunem că ratele dobânzilor sunt constante și sunt reprezentate de „ $ r $ ”. Fie $ c ^ {Pentru} (t, s) $ să fie prețul apelului unde $ S (t) = s $ .
Atunci dacă stocul nu plătește dividende:
$ c ^ {Pentru} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (Pentru (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Prin replicare poate fi afișat, $ Pentru (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ , și
$ c ^ {Pentru} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Ar trebui să observați imediat, deoarece ratele dobânzilor sunt constante și, prin urmare, deterministe, putem trage matematica „ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” termen în afara așteptărilor:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Astfel, acest lucru este acum proporțional cu prețul apelului Black Scholes cu greva $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {Pentru} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {Pentru} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {Pentru} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {Pentru } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , unde $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
de asemenea:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Aceasta este „celebra formulă neagră a unui contract forward”. Sper că acest lucru vă va ajuta!
Vă rugăm să rețineți că prețul forward și prețul contractului forward nu sunt aceleași. Prețul contractului forward la momentul 0 este 0, dar se poate modifica, prețul forward este prețul pe care sunteți de acord să îl plătiți la livrare.
Dacă sunteți curios care ar fi dacă ar fi un apel la prețul futures în loc de apel la prețul forward, pretind dacă prețul activului nu este corelat cu rata dobânzii, atunci acestea sunt aceleași altfel ar exista arbitraj (în ipotezele fără risc de contrapartidă etc.). Vă încurajez să încercați să arătați acest lucru.
(PS La răspunsul anterior al comentatorilor despre faptul că nu există o formulă pentru o opțiune americană asupra prețului forward, acest lucru nu ne împiedică să folosim Monte Carlo!) / p>