La primul punct al lui Xi „an”: când vorbești despre $ \ sigma $ -algebre, vă întrebați despre seturi măsurabile, așa că, din păcate, orice răspuns trebuie să se concentreze pe teoria măsurătorilor. Totuși, voi încerca să ajung la asta cu ușurință.

O teorie a probabilității de admitere a tuturor subseturilor de seturi nenumărate va sparge matematica

Luați în considerare acest exemplu. Să presupunem că aveți un pătrat unitate în $ \ mathbb {R} ^ 2 $ și sunteți interesat de probabilitatea de a selecta aleatoriu un punct care este membru al unui set specific în pătratul unității . În multe circumstanțe, acest lucru poate fi ușor răspuns pe baza unei comparații a zonelor din diferite seturi. De exemplu, putem desena unele cercuri, le putem măsura ariile și apoi putem lua probabilitatea ca fracția pătratului care cade în cerc. Foarte simplu.

Dar ce se întâmplă dacă aria setului de interese nu este bine definită?

Dacă zona nu este bine definită, atunci putem argumenta la două diferite, dar concluzii complet valabile (într-un anumit sens) despre ceea ce este zona. Deci, am putea avea $ P (A) = 1 $ pe de o parte și $ P (A) = 0 $ pe de altă parte, ceea ce implică $ 0 = 1 $ . Acest lucru rupe toată matematica fără reparații. Acum puteți demonstra $ 5 < 0 $ și o serie de alte lucruri absurde. În mod clar, acest lucru nu este prea util.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebrele sunt patch-ul care remediază matematica

Ce este o $ \ sigma $ -algebră, exact? De fapt, nu este atât de înspăimântător. Este doar o definiție a seturilor care pot fi considerate ca evenimente. Elementele care nu sunt în $ \ mathscr {F} $ pur și simplu nu au o măsură de probabilitate definită. Practic, $ \ sigma $ -algebras sunt ” patch ” care ne permite să evităm unele comportamentele patologice ale matematicii, și anume mulțimile care nu pot fi măsurate.

Cele trei cerințe ale unui $ \ sigma $ -field pot fi considerate consecințe ale am dori să facem cu probabilitatea: Un $ \ sigma $ -field este un set care are trei proprietăți:

1. Închidere sub numărabil uniuni.
2. Închiderea sub intersecții numărabile.
3. Închiderea sub complemente.

Uniunile numărabile și componentele intersecțiilor numărabile sunt consecințe directe ale problema măsurabilă a seturilor. Închiderea sub complement este o consecință a axiomelor Kolmogorov: dacă $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ ar trebui să fie $ 1/3 $ . Dar fără (3), s-ar putea întâmpla ca $ P (A ^ c) $ să fie nedefinit. Ar fi ciudat. Închiderea sub complemente și axiomele Kolmogorov ne permit să spunem lucruri precum $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

În cele din urmă, luăm în considerare evenimente în legătură cu $ \ Omega $ , deci mai avem nevoie de $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Vești bune: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebrele sunt strict necesare doar pentru seturi nenumărate

Dar! Și aici sunt vești bune. Sau, cel puțin, o modalitate de a rezolva problema. Avem nevoie de $ \ sigma $ -algebras numai dacă lucrăm în un set cu cardinalitate nenumărată. Dacă ne restrângem la seturi contabile, putem lua $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ setul de putere al $ \ Omega $ și nu vom avea niciuna dintre aceste probleme, deoarece pentru $ \ Omega $ , $ 2 ^ \ Omega $ constă numai din seturi măsurabile. (Acest lucru este menționat în al doilea comentariu al lui Xi” an „.) Veți observa că unele manuale vor comite de fapt o manevră subtilă aici și luați în considerare seturi care pot fi numărate numai atunci când discutați spații de probabilitate.

În plus, în problemele geometrice din $ \ mathbb {R} ^ n $ , acesta ” Este perfect suficient pentru a lua în considerare doar $ \ sigma $ -algebre compuse din seturi pentru care $ \ mathcal {L} ^ n Măsura $ este definită. Pentru a fundamenta acest lucru oarecum mai ferm, $ \ mathcal {L} ^ n $ pentru $ n = 1,2 , 3 $ corespunde noțiunilor obișnuite de lungime, suprafață și volum.Deci, ceea ce spun în exemplul anterior este că setul trebuie să aibă o zonă bine definită pentru ca acesta să aibă o probabilitate geometrică atribuită. Și motivul este următorul: dacă admitem seturi nemișurabile, atunci putem sfârșim în situații în care putem atribui probabilitatea 1 unui anumit eveniment pe baza unor dovezi și probabilitatea 0 la același eveniment eveniment pe baza unei alte dovezi.

Dar nu trebuie lăsați conexiunea la seturi nenumărate să vă încurce! O concepție greșită obișnuită că $ \ sigma $ -algebre sunt seturi numărabile. De fapt, acestea pot fi numărabile sau nenumărate. Luați în considerare această ilustrație: la fel ca înainte, avem un pătrat unitar. Definiți $$ \ mathscr {F} = \ text {Toate subseturile pătratului unității cu $ \ mathcal {L} ^ 2 $ măsurat} definit. $$ Puteți desenați un pătrat $ B $ cu lungimea laturii $ s $ pentru toate $ s \ in (0,1) $ și cu un colț la $ (0,0) $ . Ar trebui să fie clar că acest pătrat este un subset al pătratului unitar. Mai mult, toate aceste pătrate au zonă definită, deci aceste pătrate sunt elemente ale $ \ mathscr {F} $ . Dar ar trebui, de asemenea, să fie clar că există nenumărate pătrate $ B $ : numărul acestor pătrate este de nenumărat și fiecare pătrat a definit măsura Lebesgue.

Deci, ca o chestiune practică, simpla realizare a acestei observații este adesea suficientă pentru a face observația pe care o considerați doar seturi măsurabile de Lebesgue pentru a câștiga progrese împotriva problemei de interes.

Dar așteptați, ce „sa set nemișurabil?

Mi-e teamă că nu pot să arunc decât eu puțină lumină asupra acestui lucru. Dar paradoxul Banach-Tarski (uneori ” soarele și mazărea ” paradox) ne poate ajuta:

Având în vedere o bilă solidă în spațiu tridimensional, există o descompunere a mingii într-un număr finit de subseturi disjuncte, care pot fi apoi reunite într-un mod diferit pentru a produce două copii identice ale mingii originale. Într-adevăr, procesul de reasamblare implică doar mutarea pieselor în jurul și rotirea acestora, fără a le schimba forma. Cu toate acestea, piesele în sine nu sunt ” solide ” în sensul obișnuit, ci împrăștieri infinite de puncte. Reconstrucția poate funcționa cu doar cinci piese.

O formă mai puternică a teoremei implică faptul că sunt date două ” rezonabile ” obiecte solide (cum ar fi o minge mică și o minge uriașă), fie una poate fi reasamblată în cealaltă. Acest lucru este adesea declarat informal ca ” un bob de mazăre poate fi tăiat și reasamblat în Soare ” și numit ” mazărea și paradoxul Soarelui „. 1

Deci, dacă lucrați cu probabilități în $ \ mathbb {R} ^ 3 $ și utilizați probabilitatea geometrică măsurați (raportul volumelor), doriți să stabiliți probabilitatea unui eveniment. Dar vă veți lupta să definiți cu precizie acea probabilitate, deoarece puteți rearanja seturile spațiului dvs. pentru a schimba volumele! Dacă probabilitatea depinde de volum și puteți modifica volumul setului pentru a fi dimensiunea soarelui sau dimensiunea un mazăre, atunci probabilitatea se va schimba. Deci, niciun eveniment nu va avea o singură probabilitate atribuită. Și mai rău, puteți rearanja $ S \ în \ Omega $ că volumul $ S $ are $ V (S) > V (\ Omega) $ , ceea ce implică faptul că măsurarea geometrică a probabilității raportează o probabilitate $ P (S) > 1 $ , în încălcarea flagrantă a axiomelor Kolmogorov care necesită ca probabilitatea să aibă măsura 1.

Pentru a rezolva acest paradox, s-ar putea face una dintre cele patru concesii:

1. volumul unui set s-ar putea schimba când este rotit.
2. Volumul unirii a două disjuncte seturile ar putea fi diferite de suma volumelor lor.
3. Axiomele teoriei mulțimilor Zermelo – Fraenkel cu axioma alegerii (ZFC) ar trebui să fie modificate.
4. Unele seturi ar putea fi etichetat ” nemăsurabil ” și ar trebui să verificați dacă un set este ” măsurabil ” înainte de a vorbi despre volumul său.

Opțiunea (1) nu ajută la definirea probabilităților, așa că este eliminată. Opțiunea (2) încalcă cea de-a doua axiomă Kolmogorov, deci este „oprită”. Opțiunea (3) pare o idee teribilă, deoarece ZFC remediază mult mai multe probleme decât creează.Dar opțiunea (4) pare atractivă: dacă dezvoltăm o teorie a ceea ce este și nu este măsurabil, atunci vom avea probabilități bine definite în această problemă! Acest lucru ne aduce înapoi la teoria măsurătorilor, iar prietenul nostru $ \ sigma $ -algebra.

Comentarii

• Vă mulțumim pentru răspuns. $ \ mathcal {L} $ înseamnă Lebesque măsurabil? ‘ Voi +1 răspunsul tău cu privire la credință, dar ‘ aș aprecia cu adevărat dacă ai putea reduce nivelul de matematică mai multe crestături. .. 🙂
• (+1) Puncte bune! Aș adăuga, de asemenea, că, fără măsură și algebre $ \ sigma $, condiționarea și derivarea distribuțiilor condiționale pe spații nenumărate devin destul de păroase, așa cum se arată în paradoxul Borel-Kolmogorov .
• @Xi ‘ o Mulțumim pentru cuvinte amabile! Într-adevăr înseamnă foarte mult, provenind de la tine. Nu eram familiarizat cu paradoxul lui Borel-Kolmogorov încă de la această scriere, dar ‘ voi citi și voi vedea dacă reușesc să aduc un adaos util al descoperirilor mele.
• @ Student001: Cred că împărțim părul aici. Ai dreptate că definiția generală a ” măsură ” (orice măsură) este dată utilizând conceptul de sigma-algebre. Cu toate acestea, ideea mea este că nu există un cuvânt sau un concept de ” sigma-algebră ” în definiția măsurii Lebesgue prevăzută în primul meu link. Cu alte cuvinte, se poate defini măsura Lebesgue conform primului meu link, dar apoi trebuie să arate că este o măsură și că ‘ este partea dificilă. Sunt de acord că ar trebui să oprim această discuție.
• Mi-a plăcut foarte mult să citesc răspunsul dvs. Nu ‘ nu știu cum să vă mulțumesc, dar ‘ ați clarificat lucrurile foarte mult! Eu ‘ nu am studiat niciodată analiza reală și nici nu am avut o introducere adecvată la matematică. Am venit dintr-un mediu de inginerie electrică care s-a concentrat foarte mult pe implementarea practică. ‘ ai scris că în termeni atât de simpli încât un tip ca mine ar putea să-l înțeleagă. Apreciez cu adevărat răspunsul dvs. și simplitatea pe care ‘ le-ați oferit. Mulțumim și lui @Xi ‘ an pentru comentariile sale pline!

Ideea de bază (în termeni foarte practici) este simplă. Să presupunem că sunteți un statistician care lucrează cu un sondaj. Să presupunem că ancheta are câteva întrebări cu privire la vârstă, dar solicităm respondentului să-și identifice vârsta doar la anumite intervale date, cum ar fi $ [0,18), [18, 25), [25,34), \ dots $. Să uităm celelalte întrebări. Acest chestionar definește un „spațiu pentru evenimente”, $ (\ Omega, F) $. Algebra sigma $ F $ codifică toate informațiile care pot fi obținute din chestionar, astfel încât, pentru întrebarea de vârstă (și deocamdată ignorăm toate celelalte întrebări), va conține intervalul $ [18,25) $, dar nu și alte intervale cum ar fi $ [20,30) $, deoarece din informațiile obținute prin chestionar nu putem răspunde la întrebarea de genul: vârsta respondenților aparține sau nu $ 20,30) $? Mai general, un set este un eveniment (aparține lui $ F $) dacă și numai dacă putem decide dacă un punct eșantion aparține setului respectiv sau nu.

Acum, haideți să definim variabile aleatorii cu valori în al doilea spațiu de evenimente, $ (\ Omega „, F”) $. De exemplu, luăm aceasta drept linia reală cu sigma-algebră obișnuită (Borel). Apoi, o funcție (neinteresantă) care nu este o variabilă aleatorie este $ f: $ „respondenții vârsta este un număr prim”, codificând acest lucru ca 1 dacă vârsta este primă, 0 altul. Nu, $ f ^ {- 1} (1) $ nu aparține $ F $, deci $ f $ nu este o variabilă aleatorie. Motivul este simplu, nu putem decide din informațiile din chestionar dacă vârsta respondentului este primă sau nu! Acum puteți face mai multe exemple interesante.

De ce avem nevoie de $ F $ pentru a fi o algebră sigma? Să spunem că dorim să punem două întrebări despre date, „este respondentul cu numărul 3 de 18 ani sau mai mare”, „este respondentul 3 o femeie”. Să întrebările să definească două evenimente (seturi în $ F $) $ A $ și $ B $, seturile de puncte de eșantionare care dau un răspuns „da” la acea întrebare. Acum să întrebăm conjuncția celor două întrebări „este responsabil 3 o femeie cu vârsta de cel puțin 18 ani”. Acum această întrebare este reprezentată de intersecția setată $ A \ cap B $. Într-un mod similar, disjuncțiile sunt reprezentate de uniunea setată $ A \ cup B $. Acum, necesitatea închiderii pentru intersecțiile și uniunile numărabile ne permite să punem conjuncții sau disjuncții numărabile. Și, negând o întrebare este reprezentat de setul complementar. Asta ne dă o sigma-algebră.

Am văzut acest tip de introducere mai întâi carte de Peter Whittle „Probabilitatea prin așteptare” (Springer).

EDIT

Încercând să răspund la întrebarea whubers într-un comentariu: „Am fost puțin surprins la sfârșit, totuși, când am întâlnit această afirmație:„ necesitând închidere pentru intersecțiile numărabile și sindicatele ne permit să întrebăm conjuncții sau disjuncții numărabile. „Acest lucru pare să ajungă în centrul problemei: de ce ar vrea cineva să construiască un astfel de eveniment infinit de complicat?” Ei bine, de ce? Limitați-ne acum la probabilitate discretă, să spunem, pentru comoditate, aruncarea monedei. Aruncarea monedei de un număr finit de ori, toate evenimentele pe care le putem descrie folosind moneda pot fi exprimate prin evenimente de tipul „cap la aruncat $ i $ „,” cozile aruncate $ i $ și un număr finit de „și” sau „sau”. Deci, în această situație, nu avem nevoie de $ \ sigma $ -algebre, algebre ale seturilor sunt suficiente. Deci, există vreo situație, în acest context, în care apare $ \ sigma $ -algebre? În practică, chiar dacă putem arunca zarurile doar de un număr finit de ori, dezvoltăm aproximări la probabilități prin intermediul teoremelor limită atunci când $ n $, numărul de aruncări, crește fără legătură. Așadar, aruncați o privire la dovada teoremei limitei centrale pentru acest caz, teorema Laplace-de Moivre. Putem dovedi prin aproximări folosind numai algebre, nu ar trebui să fie necesară $ \ sigma $ -algebră. Legea slabă a numărului mare poate fi dovedită prin intermediul inegalității lui Chebyshev și, pentru aceasta, trebuie doar să calculăm varianța pentru cazurile finite de $ n $. Dar, pentru legea puternică a numere mari , evenimentul pe care dovedim că are probabilitatea ca unul să poată fi exprimat numai printr-un număr infinit de numere „și” și „sau” „s, deci pentru legea puternică a numerelor mari avem nevoie de $ \ sigma $ -algebras.

Dar chiar avem nevoie de legea puternică a numărului mare? Potrivit un răspuns aici , poate că nu.

Într-un fel, aceasta indică o diferență conceptuală foarte mare între legea puternică și legea slabă a numărului mare: Legea puternică nu are o semnificație directă empiric, deoarece este vorba despre convergența reală, care nu poate fi niciodată verificată empiric. Legea slabă, pe de altă parte, se referă la creșterea calității aproximării cu $ n $, cu limite numerice pentru $ n $ finit, deci este mai semnificativă empiric.

Deci, orice utilizare practică a discrete probabilitatea ar putea lipsi de $ \ sigma $ -algebras. Pentru cazul continuu, nu sunt atât de sigur.

Comentarii

• Nu cred că ‘ nu cred că acest răspuns demonstrează de ce sunt câmpurile $ \ sigma $ necesar. Confortul de a putea răspunde $ P (A) \ în [20,30) $ nu este ‘ t mandatat de matematică. Oarecum ciudat, s-ar putea spune că matematica nu ‘ este interesată de ceea ce este ‘ convenabil statisticienilor. De fapt, știm că $ P (A) \ in [20,30) \ le P (A) \ in [18,34) $, care este bine definit, deci nici măcar nu este clar că acest exemplu ilustrează la ce doriți.
• Nu avem ‘ nu avem nevoie de ” $ \ sigma $ ” parte din ” $ \ sigma $ -algebra ” pentru oricare dintre aceste răspunsuri, Kjetil. De fapt, pentru modelarea de bază și raționamentul cu privire la probabilitate, se pare că un statistician care funcționează ar putea ajunge foarte bine cu algebre setate care sunt închise numai sub uniuni finite , care nu se pot număra. Partea dificilă a întrebării lui Antoni ‘ se referă la motivul pentru care avem nevoie de închidere sub uniuni considerabil infinite : acesta este punctul în care subiectul devine teoria măsurii în loc de elementar combinatorică. (Văd că și Aksakal a subliniat acest lucru într-un răspuns șters recent.)
• @whuber: bineînțeles că ai dreptate, dar în răspunsul meu încerc să dau o oarecare motivație pentru motivul pentru care algebrele (sau $ \ sigma $ -algebras) pot transmite informații. Este un mod de a înțelege de ce această structură alghebrică intră în probabilitate și nu în altceva. Desigur, în plus, există și motivele tehnice explicate în răspunsul utilizatorului 777. Și, desigur, dacă am putea face probabilitatea într-un mod mai simplu, toată lumea ar fi fericită …
• Cred că argumentul tău este solid. Am fost puțin surprins la final, totuși, când am întâlnit această afirmație: ” care necesită închidere pentru intersecțiile și uniunile numărabile ne permite să cerem conjuncții sau disjuncții numărabile. ” Acest lucru pare să fie în centrul problemei: de ce ar dori cineva să construiască un eveniment atât de infinit de complicat? Un răspuns bun la acest lucru ar face restul postului dvs. mai convingător.
• Re utilizări practice: teoria probabilității și măsurărilor utilizate în matematica finanțelor (inclusiv ecuații diferențiale stochastice, integrale Ito, filtrări de algebre, etc.) se pare că ar fi imposibil fără algebre sigme. (Nu pot ‘ să susțin modificările pentru că am votat deja răspunsul dvs.!)

De ce au nevoie probabiliștii $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -algebra?

Axiomele $ \ sigma $ -algebre sunt motivate destul de natural de probabilitate. Doriți să puteți măsura toate regiunile diagramelor Venn, de exemplu, $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . Pentru a cita din acest răspuns memorabil :

Prima axiomă este că $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . Ei bine, știți întotdeauna probabilitatea să nu se întâmple nimic ( $ 0 $ ) sau să se întâmple ceva ( $ 1 $ ).

A doua axiomă este închisă în completări. Lasă-mă să ofer un exemplu prost. Din nou, luați în considerare o monedă, cu $ X = \ {H, T \} $ . Pretinde că ți-am spus că $ \ sigma $ algebra pentru acest flip este $ \ {\ oslash, X, \ {H \} \} $ . Adică, știu probabilitatea să nu se întâmple NIMIC, să se întâmple CEVA și a unei capete, dar NU știu probabilitatea unei cozi. Pe bună dreptate mi-ați numi un idiot. Pentru că dacă știți probabilitatea unei capete, cunoașteți automat probabilitatea unei cozi! Dacă știți probabilitatea ca ceva să se întâmple, știți probabilitatea ca aceasta să nu se întâmple (complementul)!

Ultima axiomă este închisă sub uniuni numărabile. Permiteți-mi să vă dau un alt exemplu stupid. Luați în considerare lansarea unei matrițe sau $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ . Ce-ar fi dacă aș fi pentru a vă spune algebra $ \ sigma $ pentru aceasta este $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}, \ {2 \} \} $ . Adică știu probabilitatea de a rula un $ 1 $ sau de a rula un $ 2 $ , dar nu știu probabilitatea de a lansa un $ 1 $ sau un $ 2 $ . Din nou, în mod justificat m-ați numi idiot (sper că motivul este clar). Ce se întâmplă când seturile nu sunt disjuncte și ceea ce se întâmplă cu unirile nenumărate este puțin mai dezordonat, dar sper că puteți încerca să vă gândiți la câteva exemple. De ce aveți nevoie de numărabil în loc de $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -aditivitate totuși finit?

Ei bine, nu este un lucru complet curat- cut case, dar există câteva motive solide pentru care .

De ce au nevoie probeștii măsuri?

În acest moment , aveți deja toate axiomele pentru o măsură. Din $ \ sigma $ -aditivitate, non-negativitate, set gol nul și domeniul $ \ sigma $ -algebra. S-ar putea la fel de bine să cereți ca $ P $ să fie o măsură. Teoria măsurătorilor este deja justificată .

Oamenii aduc setul lui Vitali și Banach-Tarski pentru a explica de ce ai nevoie de teoria măsurii, dar cred că asta este înșelător . Setul lui Vitali dispare doar pentru măsuri (non-banale) care sunt invariante de traducere, pe care spațiile de probabilitate nu le necesită. Și Banach-Tarski necesită invarianță de rotație. Analiza oamenilor le pasă de ele, dar probabiliștii nu .

Rațiunea Existența a teoriei măsurătorilor în teoria probabilității este unificarea tratamentului RV discrete și continue și, în plus, să permită RV-urile mixte și RV-urile care pur și simplu nu sunt niciuna dintre ele.

Comentarii

• Cred că acest răspuns ar putea aduce un plus extraordinar la acest fir dacă îl re-lucrați puțin. În starea actuală, ‘ este greu de urmat, deoarece porțiuni mari din acesta depind de link-uri către alte fire de comentarii. Cred că dacă l-ați expune ca o explicație de jos în sus a modului în care măsurile, $ \ sigma $ -aditivitate finită și $ \ sigma $ -algebră se potrivesc ca trăsături necesare ale spațiilor de probabilitate, ar fi mult mai puternic. ‘ ești foarte aproape, deoarece ‘ ai împărțit deja răspunsul în diferite segmente, dar cred că segmentele au nevoie de mai multă justificare și raționament să fie pe deplin susținut.

Am „întotdeauna înțeles întreaga poveste așa:

Începem cu un spațiu, cum ar fi linia reală $ \ mathbb {R} $ . Am dori să aplicăm măsura noastră subseturilor acestui spațiu , cum ar fi prin aplicarea măsurii Lebesgue, care măsoară lungimea. Un exemplu ar fi măsurarea lungimii subsetului $ [0, 0,5] \ cup [0.75, 1] $ . Pentru acest exemplu, răspunsul este pur și simplu 0,5 $ + 0,25 = 0.75 $ , pe care îl putem obține destul de ușor. Începem să ne întrebăm dacă putem aplica măsura Lebesgue la toate subseturile liniei reale.

Din păcate nu funcționează. Există aceste seturi patologice care descompun pur și simplu matematica Dacă aplicați măsura Lebesgue acestor seturi, veți obține rezultate inconsistente. Un exemplu al unuia dintre aceste seturi patologice, cunoscute și sub numele de seturi nemăsurabile, deoarece literalmente nu pot fi măsurate, sunt seturile Vitali.

Pentru a evita aceste seturi nebunești, definim măsura pentru a funcționa numai pentru un grup mai mic de subseturi, numite seturi măsurabile. Acestea sunt seturile care se comportă consecvent atunci când le aplicăm măsuri. Pentru a ne permite să efectuăm operațiuni cu aceste seturi, cum ar fi combinarea lor cu uniuni sau luarea complementelor lor, avem nevoie de aceste seturi măsurabile pentru a forma o sigma-algebră între ele. Prin formarea unei sigme-algebră, am format un fel de refugiu sigur pentru măsurile noastre de a opera în interior, permițându-ne totodată să facem manipulări rezonabile pentru a obține ceea ce dorim, cum ar fi luarea de uniuni și complemente. Acesta este motivul pentru care avem nevoie de o sigmă-algebră, astfel încât să putem trage o regiune pentru care măsura să funcționeze în interior, evitând în același timp seturi care nu pot fi măsurate. Observați că, dacă nu ar fi aceste subseturi patologice, pot defini cu ușurință măsura care să funcționeze în cadrul setului de putere al spațiului topologic. Totuși, setul de putere conține tot felul de seturi nemăsurabile și de aceea avem pentru a le alege pe cele măsurabile și a le face să formeze o sigmă-algebră între ele.

După cum puteți vedea, deoarece sigma-algebrele sunt utilizate pentru a evita mulțimile care nu pot fi măsurate, seturi de dimensiuni finite nu sunt ” De fapt, aveți nevoie de o algebră sigma. Să spunem că aveți de-a face cu un eșantion de spațiu $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ (acest lucru ar putea să fie tot rezultatul posibil al unui număr aleatoriu generat de un computer). Puteți vedea că este aproape imposibil să veniți cu seturi nemăsurabile cu un astfel de spațiu eșantion. Măsura (în acest caz o măsură de probabilitate) este bine definită pentru orice subgrup din $ \ Omega $ . Dar trebuie să definim sigme-algebre pentru spații mai mari de eșantionare, cum ar fi linia reală, astfel încât să putem evita subseturile patologice care ne descompun măsurile. Pentru a obține consistența în cadrul teoretic al probabilității, avem nevoie ca și spațiile eșantionului finit să formeze algebre sigma, unde numai în care este definită măsura probabilității. Sigma-algebre în spații de eșantionare finite este o tehnicitate, în timp ce sigma-algebre în spații de eșantionare mai mari, cum ar fi linia reală, este o necesitate .

O sigma-algebră obișnuită pe care o folosim pentru linia reală este sigma-algebră Borel. Este format din toate seturile deschise posibile și apoi ia complementele și uniunile până când se realizează cele trei condiții ale unei sigme-algebre. Spuneți dacă „construiți sigma-algebră Borel pentru $ \ mathbb {R} [0, 1] $ , faceți acest lucru enumerând toate seturile deschise posibile, precum ca $ (0,5, 0,7), (0,03, 0,05), (0,2, 0,7), … $ și așa mai departe și, după cum vă puteți imagina, există infinit multe posibilități pe care le puteți enumera și apoi luați complementele și uniunile până când se generează o sigma-algebră. După cum vă puteți imagina, această algebră sigma este o FESTĂ. Este inimaginabil de uriașă. seturi patologice nebune care au stricat matematica. Aceste seturi nebune nu sunt nu în sigma-algebra Borel. De asemenea, acest set este suficient de cuprinzător pentru a include aproape fiecare subset de care avem nevoie. Este greu să ne gândim la un subset care nu este conținut în sigma-algebră Borel.

Și așa este povestea motivului pentru care avem nevoie de sigma-algebre și sigma-algebrele Borel sunt o modalitate comună de a pune în aplicare această idee.

Comentarii

• ‘ +1 ‘ foarte lizibil. Cu toate acestea, pare să contrazici răspunsul lui @Yatharth Agarwal, care spune ” Oamenii aduc setul lui Vitali și Banach-Tarski pentru a explica de ce ai nevoie de teoria măsurii, dar cred că este înșelător. Setul lui Vitali dispare doar pentru măsuri (non-banale) care sunt traducere-invariante, pe care spațiile de probabilitate nu le necesită. Și Banach-Tarski necesită invarianță de rotație. Analizele oamenilor le pasă de ele, dar probabiliștii chiar nu. „. Poate aveți câteva gânduri despre asta?
• +1 (în special pentru metafora ” refugiu sigur „!) . @Stop Având în vedere că răspunsul la care faceți referire are un conținut actual redus – exprimă doar câteva opinii – ‘ nu merită prea multă atenție sau dezbatere, IMHO.