Profesorul meu a spus că câmpul electric este zero oriunde se intersectează două suprafețe echipotențiale. Nu pot veni cu un motiv pentru care.
De asemenea, el a susținut că două suprafețe echipotențiale nu se pot intersecta, deoarece ar oferi două potențiale diferite în același punct. De ce nu pot exista doar două suprafețe echipotențiale diferite cu același potențial care se intersectează sau se ating?
În primul rând, să curățăm aerul cu un exemplu simplu care prezintă comportamentul dorit (și care este esențial izomorf pentru majoritatea cazurilor nontriviale). Luați în considerare în special, următoarea afirmație:
Exemplul respectiv poate fi contradictoriu cu intuiția obișnuită că suprafețele echipotențiale, cum ar fi liniile de câmp, nu traversează niciodată, dar verifică perfect – și este în concordanță cu afirmația profesorului tău că câmpul electric, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes la intersecția $ x = y = 0 $.
(Pentru cei care ar dori să extindă plicul un pic mai mult: acest lucru se generalizează în mod natural la intersecția oricărui număr $ n $ de suprafețe echipotențiale de-a lungul unui linie, prin simpla schimbare la potențialul $ n $ -polar $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ dreapta] \ mathclose {} $.)
Deci, ce se întâmplă sau cum oferim niște carne matematică reală afirmației la îndemână?
Ei bine, să începem prin definirea suprafețelor echipotențiale: o suprafață $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ este o echipotențială a potențialului electrostatic $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ if $ V (S (u, v)) = V_0 $ este constant pentru toți $ (u, v) \ în D $. Mai mult, știm că în orice moment $ \ mathbf r = S (u, v) $ la suprafață, câmpul electric $ \ mathbf E = – \ nabla V $ are un produs interior zero cu orice vector care se află în interiorul planului tangent $ TS_ \ mathbf r $ la suprafață la $ \ mathbf r $, ca o consecință a luării curbelor $ \ gamma: (a, b) \ la D $ și diferențierea relației de constanță $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ cu respect parametrului $ t $, oferind $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ pentru toți vectorii $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Deoarece acel plan este bidimensional și spațiul este tridimensional, deducem că există o direcție normală unică $ \ hat {\ mathbf n} $ la suprafață și că $ \ mathbf E $ trebuie să să fie paralel cu acel normal (sau, eventual, zero), dar rezultatul esențial este că componenta $ \ mathbf E $ „de-a lungul oricărei direcții din interiorul planului tangent trebuie să dispară.
OK, așa că acum lăsați” ante „și luați în considerare două suprafețe diferite $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, care se intersectează la un moment dat $ \ mathbf r_0 $ și să stipulăm, de asemenea, că ambele suprafețe sunt echipotențiale de $ V $.
De îndată ce putem bate, putem deduce că potențialul din toate punctele de pe ambele suprafețe trebuie să fie egală cu aceeași constantă, deoarece $ V = V (\ mathbf r) $ este o ) funcție. Dacă este egal cu $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ pentru $ \ mathbf r_0 \ în S_1 $, atunci trebuie să fie egal cu $ V_1 $ pe tot parcursul $ S_1 $ – dar $ \ mathbf r_0 $ este, de asemenea, în $ S_2 $, deci $ V $ trebuie să fie egal cu $ V_1 $ pe tot $ S_2 $. Probabil despre asta vorbea profesorul dvs. în afirmația pe care o raportați ca
dar care era destul de probabil să fie mult mai aproape de
Acesta este cel mai ușor.Să spunem acum ceva non-trivial: cum rămâne cu câmpul electric la intersecție?
Să începem mai întâi cu cazul ușor și să presupunem că echipotențialele au o intersecție adecvată de dimensiune-unu de-a lungul unui curba, ceea ce implică faptul că, în orice moment $ \ mathbf r $ de-a lungul intersecției, planele tangente la cele două suprafețe se vor intersecta pe o linie și fiecare dintre ele va avea o direcție separată, liniar independentă, care nu aparține celeilalte plan.
Atunci ne permite să aducem instrumentele pe care le-am dezvoltat mai devreme: știm că $ \ mathbf E $ trebuie să aibă un produs interior care dispare cu orice vector care se află în interiorul oricărui plan tangent, cu excepția faptului că au trei vectori liniar independenți $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ și $ \ mathbf e_3 $ pentru a dispărea, unul de-a lungul intersecției și un alt vector independent de-a lungul fiecărui plan. Singurul mod prin care orice vector $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ poate satisface $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ pentru liniar independent $ \ mathbf e_i, $ este pentru $ \ mathbf v = 0 $ . De aici vine afirmația profesorului dvs.
În cele din urmă, să abordăm cazul puțin mai patologic pe care îl menționați la sfârșitul întrebării:
Aceasta nu este o întrebare proastă, iar răspunsul este în esență că acest lucru se poate întâmpla, dar circumstanțele în care se întâmplă sunt atât de patologice încât suntem gata să aruncăm copilul cu apă de baie. Când spunem „două suprafețe se intersectează”, înseamnă în mod normal că au o intersecție dimensiune-o de-a lungul unei curbe; dacă vrem să permitem suprafețelor să se atingă sau să aibă un comportament similar patologic, atunci vom observa în mod explicit că . (Matematicienii sunt puțin mai atenți cu limbajul lor, dar din nou fizicienii fac lucruri mai interesante și nu puteți pierde timpul jucând cu detalii minore.)
Oricum, dacă doriți un potențial cu două echipotențiale care să atingeți într-un singur punct, cel mai curat exemplu la care mă pot gândi este $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ unde echipotențialele $ V (\ mathbf r) = 0 $ sunt doi paraboloizi circulari care se ating în vârful lor. Aceasta nu este „o soluție a ecuației Laplace, ceea ce înseamnă că„ nu este un potențial rezonabil în spațiul liber, ci tu poate seta doar densitatea de încărcare $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, și veți obține o distribuție rezonabilă. Dacă doriți să economisiți acest lucru, atunci este mai bine să alegeți $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ pentru care densitatea de încărcare $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ este extrem de rezonabil și schimbă unul dintre paraboloizi pentru planul $ z = 0 $.
Acum, pentru ambele exemple, aveți un polinom destul de ridicat ca potențial, iar câmpul electric dispare la punctul de intersecție al echipotențialelor. Dacă doriți să aveți ceva cu echipotențiale atinse și un câmp electric diferit de zero, cel mai apropiat cu care am venit într-un mod curat este să combinați cele două exemple de mai sus, oferind trei echipotențiale (cele două paraboloide și planul $ xy $) la un moment dat, $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ cu $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ dependență de-a lungul axei $ z $ și apoi pentru a calcula acest lucru luând o rădăcină cub, dând $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ care are aceleași echipotențiale atinse ca mai sus, dar acum are un câmp electric constant $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ pe toate punctele $ (0,0, z) $ cu $ z \ neq 0 $. Din păcate, totuși, nu poți să concluzionezi că câmpul electric de acolo este diferit de zero, deoarece limitele la $ \ mathbf r \ to0 $ de-a lungul axei $ z $ și de-a lungul planului $ xy $ don „nu faceți naveta – și, într-adevăr, $ \ nabla V $ divergă peste tot pe planul $ xy $.
Voi desena aici peisajul echipotențial atunci când este tăiat de-a lungul planului $ xz $, pentru a-mi da o idee a tipului de structură patologică la care veți fi împins luând în considerare acest tip de cazuri:
Sursă: Import [„ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m „] [„ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png „]
Fețele ascuțite ale stâncii la echipotențiale în vizualizarea 3D de $ V (x, 0, z) $ sunt indicatori clari ai faptului că câmpul electric este infinit peste tot la echipotențialele $ V = 0 $, cu singura excepție a originii când este abordat din axa $ z $ / p>
Oricum, acesta este tipul de preț pe care trebuie să-l plătiți către hav Echipotențiale care se ating fără ca acest lucru să necesite un câmp electric zero la punctul de atingere pentru a menține totul frumos și neted. În general, totuși, aruncați acele cazuri prin decret necesitând o intersecție regulată.
Răspuns
Câmpul electric este definit ca gradient (negativ) al potențialului electrostatic.Prin urmare, nu poate exista câmp electric de-a lungul liniei / suprafeței definite de un echipotențial.
Asta înseamnă că singurul câmp electric permis într-un punct de pe un echipotențial trebuie să fie perpendicular pe suprafață echipotențială, altfel ar avea o componentă diferită de zero de-a lungul suprafeței.
Dacă există două echipotențiale diferite care se intersectează, atunci singurul câmp electric valid este zero, deoarece orice câmp diferit de zero ar avea un non -componentă zero de-a lungul a cel puțin uneia dintre echipotențiale.
O excepție pare a fi în cazul în care suprafețele echipotențiale sunt paralele la intersecția lor.
Comentarii
Răspuns
Două suprafețe echipotențiale nu se pot intersecta. Direcția câmpului electric în orice punct de pe o suprafață echipotențială este perpendiculară pe Dacă două suprafețe echipaționale ar trebui să se intersecteze, atunci câmpul electric din punctele de intersecție ar fi perpendicular atât pe prima suprafață, cât și pe a doua suprafață în acele puncte … cu alte cuvinte, dacă două suprafețe echipotențiale s-ar putea intersecta, ai avea câmpul electric îndreptat în două direcții la fiecare punct de intersecție …. una arătând perpendicular pe prima suprafață, cealaltă arătând perpendicular pe a doua suprafață. Acest lucru este imposibil.
Comentarii
Răspuns
Pentru că dacă ar intersecta atunci direcția câmpului electric este ambiguă, deci nu este posibil.
Comentarii
Răspuns
Luați în considerare câmpul electric și suprafețele echipotențiale ale unui dipol electric
Credit imagine
Niciuna dintre suprafețele echipotențiale nu se intersectează. De asemenea, densitatea suprafețelor este cea mai mare de-a lungul liniei dintre și prin cele două sarcini.
Acum, luați în considerare acele suprafețe echipotențiale în limita unui dipol electric ideal.
Credit de imagine
Pentru un moment dipol constant, sarcina (plus / minus) trebuie să crească pe măsură ce distanța de separare scade, densitatea suprafețelor echipotențiale de-a lungul liniei prin suprafața trebuie să divergă în limită; se pare că toate suprafețele echipotențiale trebuie să se intersecteze la locul dipolului ideal și câmpul electric este singular acolo.
Comentarii