Făceam această întrebare la calcularea câmpului electric la un anumit punct dintr-o sferă (lungime $ r $ distanță de centru), unde densitatea sarcinii este dat de o ecuație. Când am verificat soluția la această întrebare, mi-a spus să calculez sarcina elementară $ dQ $ pentru volumul elementar al sferei $ dV $, folosind ecuația densității sarcinii. Se spune că volumul dintre două cochilii concentrice din sferă, la distanțe $ r $ și $ r + dr $ este
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Acum, de ce este egal cu $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Comentarii
- Euristica utilizată în acest calcul este că , deoarece $ dr $ este foarte mic, pătratul sau cubulându-l îl face mult mai mic. Prin urmare, termenii $ 3rdr ^ 2 $ și $ dr ^ 3 $ sunt neglijabili și pot fi abandonați.
- Acest lucru nu are absolut nimic de-a face cu fizica! Vă rugăm să întrebați pe un site de matematică q &. De fapt, @sourisse v-a dat răspunsul corect.
- Cred că acest lucru este destul de relevant pentru fizică, este o aproximare / metodă / instrument care este folosit lot în fizică, de ex. electrostatică, gravitațională, solidă etc etc etc
- BTW vă puteți gândi și la $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ ca la volumul unei carcase sferice cu raza $ r $ și grosimea $ dr $ – doar suprafață suprafață înmulțită cu grosime
- @FraSchelle Cred că dacă ați întreba acest lucru pe math.stackexchange, ați fi direcționat aici …
Răspuns
Comentariul lui Sourisse răspunde la întrebarea dvs., dar doar pentru înregistrare, îl voi extinde aici ca răspuns Wiki. Rețineți că acesta este răspunsul unui fizician – orice matematicieni prezenți ar fi înțelepți să-și abată privirea acum.
Amintiți-vă că atunci când spunem că elementul de volum este:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Vorbim despre limita în care $ dr \ rightarrow 0 $. Dacă $ dr $ este extrem de mic, atunci $ dr ^ 2 $ este extrem de mic și $ dr ^ 3 $ este extrem de extrem de mic. Deci, în limita $ dr \ rightarrow 0 $ putem pur și simplu ignora puterile superioare, iar ecuația dvs. completă se transformă în ecuația (1).
Comentarii
- Domnule, acesta este același lucru care ne-a fost învățat, dar există vreo modalitate de a utiliza termenii $ (dr) ^ 2 $ sau mai mare putere în calcul sau integrare? Mulțumesc mult!
Răspuns
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Diferențierea față de $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Comentarii
- chiar înainte! acesta este genul de elem entar " truc " uitat prea des. Păcat că nu poți ' să obții factorul $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ de la $ 4 \ pi $ în acest mod.