Luați în considerare următoarea simplă mașină Atwood cu un scripete ideal și un șir ideal
Conform manualului meu, tensiunea pe clema care ține mașina de perete este egală cu 2T $. Nu înțeleg de ce este acest lucru. Tensiunea în $ T $ în șir este egală în mărime cu $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, presupunând că $ m_1 $ accelerează în sus.
De asemenea, , accelerația maselor într-o mașină atwood este dată de
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Înlocuind acest lucru în , obținem tensiunea egală cu
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Deci, conform manualului meu, tensiunea pe clema scripetei ar trebui să fie:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Dar, nu sunt toate aceste forțe forțe interne? Dacă considerăm întreaga mașină atwood ca sistem (cu excepția clemei), singurele forțe care acționează asupra acesteia sunt forța de greutate, $ (m_1 + m_2) g $ și tensiunea din clemă, $ T_c $. Deoarece sistemul este în repaus
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Am dreptate sau există o eroare în argumentul meu?
Comentarii
- Ați găsit $ T $, iar manualul are aceeași ecuație înmulțită cu un factor 2. Nu există nicio problemă aici.
- Sugestie: sistemul nu este în repaus.
- Răspunsul lui Nick ' este complet, dar mi-a plăcut întrebarea dvs., deoarece arată efortul pentru a înțelege PRINCIPIUL sub calcule. Deci, ' este important, în opinia mea, să înțelegem de ce sistemul nu este ' t în repaus.
- Adevărat, fiecare calcul nu trebuie doar să verifice matematic, ci și interpretarea fizică este o parte foarte foarte foarte importantă! Deci, în ceea ce privește întrebarea, ' aș spune o treabă bună și continuu treaba bună!
- Dacă vă ajută, puteți arăta că centrul din cele două mase $ m_ {1} $ și $ m_ {2} $ accelerează în jos și, deși se pare că suportul ține roata constantă, de fapt permite roții / sistemul de masă să accelereze în jos din această cauză.
Răspuns
Rezultatul dvs. este valabil atunci când cele două mase sunt aceleași, în acest caz $ a = 0 $ și ai avea asta:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Sau:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
În cazul în care masele nu sunt aceleași, atunci ambele mase se accelerează, ceea ce la rândul său se aplică produce o forță mai mică asupra sistemului de scripete (și a clemei).
Acest lucru poate fi ușor verificat cu formula tensiunii!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Dacă eu trebuia să definesc masa totală ca: $ M = m_1 + m_2 $, apoi aș putea exprima $ T $ ca:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Puteți verifica dacă ați trasat $ T $ în funcție de $ m_1 $, că atinge un maxim în $ m_1 = M / 2 $, ceea ce înseamnă că tensiunea devine maximă dacă cele două mase sunt egale, tensiunea devine apoi:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
sau așa cum te gândeai:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Pentru completitudinea graficului tensiunii în funcție de masa $ m_1 $ în termeni de cantități fără dimensiuni.
Pe acest complot puteți vedea cu ușurință că, dacă $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ sau $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, nu ar exista tensiune, deoarece una dintre cele două mase ar fi liberă cădere. În cazurile intermediare, ar exista tensiune, deoarece există un „” pull „” pe ambele părți ale șirului, cu cât masele $ m_1 $ și $ m_2 $ sunt mai mari, cu atât este mai mică mișcarea și cu cât este mai mare pull șirul.
Comentarii
- Deci, dacă argumentul meu a fost incorect, poate însemna doar că sistemul nu este în repaus. Dar cum puteți spune că sistemul nu este în repaus?
- În cazul de mai sus, avem un scripete fără frecare, cu un șir fără masă. Singurul mod în care sistemul poate fi în repaus este atunci când cele două mase sunt egale (în calculul dvs., ' este singurul caz când accelerația este egală cu zero). Când acesta este cazul, ambele mase trag cu o forță egală la ambele capete ale șirului. Rețineți că acest lucru nu ' implică neapărat că sistemul este în repaus, se poate deplasa și cu o viteză constantă!
- @ Gerard Dacă ar fi să adăugați masă la înțepătura și / sau fricțiunea către pully, ar putea exista și alte situații în care sistemul este / devine în repaus.
- Nu este adevărat că ' rămâne în același loc.Centrul său de masă se accelerează, deoarece chiar dacă m_1 merge în sus și m_2 în jos, masele sunt diferite, deci au o diferență " greutate " în mișcarea globală. Deci, dacă m_2 > m_1 și m_2 accelerează în jos, atunci centrul de masă va coborî.
- @ Gerard: Bine, observă că pentru scopul tău (adică forța totală care acționează asupra sistemului) odihna sau mișcarea nu este ceea ce ' căutați cu adevărat. ' am fost neglijent spunându-vă simplu: " sistemul nu este în repaus " . Ceea ce este ' important este accelerarea totală și în acest caz este ' diferită de 0. O mișcare cu viteză constantă nu are nevoie de forță care să acționeze asupra sistemul. ' mă opresc aici deoarece ' folosim puțin spațiul pentru comentarii.
Răspuns
Sistemul nu este în repaus. Dacă considerați că masele și fulia sunt un sistem, puteți înțelege comportamentul sistemului prin comportamentul centrului său de masă. Cu excepția cazului în care masele sunt egale, centrul de masă al sistemului nu este în repaus.
Ar putea fi util să vă gândiți la asta în acest fel – În interiorul graniței sistemului masa $ m_1 $ se deplasează în jos printr-o distanță în timp ce masa $ m_2 $ se mișcă în sus cu aceeași distanță. Deci, centrul de masă sa deplasat în jos (sau în sus, în funcție de $ m_1 > m_2 $).
Deci, tensiunea ar fi dată de ecuație:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Puteți afla mai departe că
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, unde a este valoarea accelerației masei $ m_1 $ pe care ați menționat-o.
Introduceți-o în ecuație și veți afla că:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Comentarii
- Acesta este modul în care voi încerca să învăț această problemă. Vă mulțumim.
- Aveți vreo șansă ca dvs. sau @Nick să puteți comenta soluția luând forma 4g * mu? Știu că poate fi dincolo de sfera de aplicare problemei, dar când văd astfel de conexiuni, încerc să le înțeleg.
Răspunde
Acolo este într-adevăr o defecțiune în argumentul dvs. Pe scurt, tensiunea de pe clema fuliei este necesară doar pentru a anula forța gravitațională totală a sistemului atunci când totul este egal ibrium și nu există accelerare. Cu toate acestea, dacă masele sunt dezechilibrate, atunci una dintre ele va cădea și cealaltă va crește și nu este clar că aceasta va menține forța totală la aceeași valoare ca și cazul echilibrat.
De fapt, puteți verifica dacă când cele două mase sunt egale atunci răspunsurile coincid: tensiunea corectă pe clema scripetei este $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2mg = (m + m) g. $$