Sistemul cu două corpuri poate fi analizat mai simplu folosind masa redusă, deoarece problema se reduce practic la un singur corp. Prima aproximare poate fi obținută presupunând că, m1 >> m2, cum ar fi planeta care orbitează steaua, deoarece centrul de greutate coincide cu m1. Astfel, se poate presupune că corpul greu este în repaus și mai ușor se mișcă în jurul său.
Derivare: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {să fie masa și poziția corpului masiv și} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {cel mai ușor.} $$
$$ \ text {Se presupune că} \, m_1 > > m_2 \, \ text {Forța dintre mase (gravitație) depinde de diferența de poziție a vectorilor}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$
$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {este forța asupra corpului 1 datorită corpului 2} $$ În aproximarea noastră presupunem că masa grea este la se odihnesc la origine. Astfel: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ Și ecuația mișcării devine: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ care poate fi rezolvat pentru a obține poziția.
Pentru a obține mișcare „adevărată”, se pare că aproximarea noastră poate fi făcută exactă luând în considerare centrul de masă (CM). (care este o masă media ponderată a pozițiilor a două mase în acest caz) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {We will cantitate de apel} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {masă redusă} $$ $$ \ text {Astfel}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Se poate arăta cu ușurință că forța externă netă pe sistem este egală cu masa totală depășește accelerația centrului de masă. Dacă nu sunteți convins, am scris înainte de o astfel de derivare în acest POST
Deoarece se presupune că nu sunt prezente forțe externe (forța de greutate între mase „contează” ca unul intern), centrul de masă se deplasează cu viteză constantă. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implică \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Să se ia CM ca origine a unui sistem de coordonate inerțiale. Astfel poziția celor două mase este dată de: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implica \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implic \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Since}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {we get:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implică \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implică \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Prin urmare, ecuațiile de mișcare sunt}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W care este ecuația noastră obținută anterior în aproximarea noastră cu masa redusă. Rețineți că dacă m1 >> m2 masa redusă este aproape aceeași cu m2.
Aceasta mișcarea sistemului cu două corpuri constă din CM și mișcarea din jurul său. Mișcarea din jurul său poate fi descrisă în termenii unei singure mase reduse care se deplasează în jurul centrului fix.