Diferența dintre numerele întregi și numerele zecimale

„Numărare” (conducând la numărarea numerelor) este un caz special (cu ambiguități) de „măsurare”, unde rolul „măsurii / unității” este mai vizibil. Evident (cred), unitatea naturală implicată în situațiile de „numărare” este o unitate atomică relevantă (cum ar fi „persoana întreagă, operațională”, mai degrabă decât o parte mai puțin funcțională a unei persoane).

Adică, numărarea măsurilor implicite cu unitatea este cea mai mică / măsură atomică fezabilă / operațională (adesea atât de universal implicită încât este dincolo de discuție).

Un analog mai elegant apare atunci când studenții mai avansați sunt expuși pentru prima dată la ideea că sumele infinite (aka „serie”) cad sub umbrela „integralelor”, dar cu „măsură de numărare” … și că seturile discrete au cel puțin o măsură naturală Borel regulată, pozitivă, și anume măsura de numărare.

Comentarii

• 1. La asta făceam aluzie în propoziția mea de deschidere și așa că, desigur, sunt de acord și îmi place nuanța specială pe care i-o dai. 2. Dar cum răspunzi la studenții începători foarte crudi care întreabă ” De ce nu putem ‘ să spunem 0,04 DekaPeople, deoarece putem spune 0,04 KiloPeople? Cumva, că 0,04 DekaPeople = 0,4 People și 0,04 KiloPeople = 40 People nu ajută: părerea lor este că, odată ce operăm în sistemul metric zecimal, nu ar trebui să se recurgă la considerații străine și lucrurile nu ar trebui să depindă dacă ” numitor ” este Oameni sau litri de lapte .
• @schremmer, ‘ susțin că fără ” recurg la considerații străine ” aritmetica are încă sens, sigur, dar relevanța / aplicabilitatea uneori pot avea de suferit. Contextul contează.
• Desigur, contextul este esențial, așa cum se întâmplă de cele mai multe ori. Totuși, aceștia sunt așa-numiții studenți în dezvoltare și sunt foarte greu de ajuns să ia în considerare logica.Dar apoi, odată ce au început, în mod firesc, se blochează de asemenea lucruri. Încerc să le spun că vor putea spune întotdeauna din numitorul ” „, la care sunt de acord, dar tot insistă că ” ar trebui să existe o regulă ” independentă dacă vorbim Oameni de litri de lapte. Aceasta este ceea ce nu ‘ nu știu cum să răspund.
• @schremmer, le-ați putea spune că nu totul (chiar și în matematică) poate fi redus la un lista regulilor lipsite de ambiguitate. Îmi dau seama că există diverse situații de dezvoltare, dar, totuși, încerc să îi asigur pe elevi de la toate nivelurile că nu ar trebui să își suspende propria judecată critică … ci / și că au o responsabilitate pentru folosindu-l , mai degrabă decât folosind gândirea magică sau invocând reguli ” inexplicabile „.
• Răspunsul meu la o întrebare precum ” De ce nu putem spune ‘ 0.04 DekaPeople [0.4 persoane] ” este că cu siguranță putem spune așa ceva. De exemplu. Întrebare: Care este densitatea populației pe Insulele Falkland pe kilometru pătrat? Răspuns: 0,26 persoane. link

De ce nu putem spune ” 0.04 People ” deoarece putem spune ” 0.04 KiloPeople „?

Unele cantități (de exemplu, persoane) sunt cantități discrete și unele (de exemplu, metri, dolari) sunt cantități continue.

Următoarea discuție este de la aici . (Am „subliniat cuvintele ” număr natural ” și ” zecimal. „)

Clasificarea cantităților

O cantitate este fie discretă , fie continuă . O cantitate discretă este magnitudinea unui set numărabil (unul ale cărui elemente sunt „separate reciproc și distincte individual”). Valoarea sa numerică este un număr natural („divizarea într-o cantitate mai mică decât o unitate nu poate fi luată în considerare”) și unitatea sa este clar la început. Un exemplu de cantitate discretă este „trei băieți”.

O cantitate continuă este magnitudinea unui „continuum” („o entitate continuă care poate fi împărțită în orice număr de părți mai mici”, astfel încât „orice două astfel de entități pot fi combinate într-una mai mare ”). Valoarea sa numerică (o zecimală sau o fracție) și unitatea sa „nu au fost determinate a priori . ” Un exemplu de cantitate continuă este „trei dolari”.

O cantitate continuă este fie extinsă , fie intensivă . Primul exprimă lățimea sau amploarea (cum ar fi suprafața sau greutatea); acesta din urmă exprimă calitatea sau intensitatea (cum ar fi densitatea sau viteza). O cantitate extinsă are aditivitate: atributul unirii a două corpuri este egal cu suma atributelor celor două corpuri. O cantitate intensivă nu are aditivitate. De exemplu, greutatea a două corpuri este în mod necesar suma greutăților lor, dar viteza a două corpuri nu este neapărat suma vitezei lor.

Textul este scris pentru educatorii de matematică, dar poate fi reformulat pentru a fi mai ușor de înțeles de către începători.)

Răspunsul meu original (inclus aici pentru context) pe care OP l-a subliniat nu a abordat întrebarea intenționată:

Unele cantități, cum ar fi, să zicem, $ 1/3 $ litru, au reprezentări zecimale ( $ 0. \ overline {3} $ litri), dar nu există reprezentări ale numărului întreg.

Comentarii

• Ce legătură are asta cu întrebarea mea ?
• Întrebarea dvs. a fost ” Unde trasați linia dintre întreg și zecimal și cum îl explicați studenților de început foarte brut care doresc să înțeleagă ? ” Eu Vă propun să trasați linia când reprezentarea zecimală nu se termină și că acest exemplu ar trebui să fie clar pentru ” foarte brut începând cu ” studenți .
• @Primii începători cu care am de-a face nu au nicio idee despre ceea ce poate reprezenta o zecimală, darămite despre o reprezentare zecimală care nu se termină. În plus, 1/3 litru de lapte este 1 , care este un număr întreg care numerotează lucrurile _ denumite_ prin din care durează 3 pentru a face un litru de lapte așa că iată reprezentarea numărului întreg.În orice caz, asta nu prea are legătură cu întrebarea inițială.
• Deci, ce zici de $ \ sqrt {2} $ metri, lungimea hipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu fiecare picior de lungime 1 $ $ metru? Sunteți de acord că are o reprezentare zecimală, dar nu o reprezentare cu număr întreg?
• Desigur, dar ce legătură are cu întrebarea inițială? Încă răspundeți la o întrebare pe care nu am pus-o niciodată . Întrebarea pe care am pus-o se întoarce: de ce ‘ nu putem spune ” 0.04 Persoane ” din moment ce putem spune ” 0.04 KiloPeople „?

Cred că confuzia este în mare măsură o consecință a faptului că mulți oameni găsesc prefixele sistemului metric ( kilo- , centi- , etc.) nefamiliare și găsesc zecimale (chiar și cele terminative) mai puțin intuitive decât „fracțiunile vulgare” pe care le reprezintă.

Dacă cineva m-ar întreba „Cum pot fi 0,004 Kilometri, un număr zecimal? la fel ca 4 metri, un număr întreg „? (așa cum menționează OP în comentariile de sub întrebarea sa), aș răspunde cu ceva de genul acesta:

Vă deranjează și faptul că $ 1 / 2 $ o duzină de ouă, o fracțiune, este același cu 6 ouă, un număr întreg?

Ce ar urma să depindă de răspunsul întrebătorului Dar să presupunem că răspund cu ceva de genul: „Bine, cred că obțin asta. Dar de ce aș putea spune„ 0,04 kilopopoli ”, dar nu pot spune„ 0,04 persoane ”?„ În acest caz, aș răspunde cu :

Vă deranjează și faptul că puteți fierbe jumătate de duzină de ouă, dar nu puteți „fierbe jumătate de ou?

Scopul acestor răspunsuri, pentru a fi clar, nu este să închideți conversația cu un zinger, ci mai degrabă să scoateți la suprafață care sunt problemele care stau la baza: ” 1 kilopoplu înseamnă același lucru cu „1000 de oameni” și poți avea jumătate din o mie de oameni în același mod în care poți avea jumătate de duzină ouă. Pe de altă parte, poți să nu poți avea $ 1/7 $ dintr-o mie de persoane, exact în același mod în care nu poți avea $ 1/7 $ dintr-o duzină de ouă.

Comentarii

• Problema mea cu o întrebare precum ” De ce poate ‘ nu spunem ‘ 0.04 Persoane ‘ „, este că mi se pare că cu siguranță putem spune asta. De exemplu, ar putea fi densitatea populației pe kilometru pătrat într-o anumită regiune. De fapt: 0,04 persoane este de fapt exact densitatea populației (pe km ^ 2) în insulele Svalbard și Jan Mayen din Norvegia. link .
• @mweiss Studenților de dezvoltare care încep să pună întrebări nu le place să li se răspundă cu o întrebare. V-ar renunța la ” Sunteți și deranjați … ” ca profesor ” truc „. Mai târziu, în discuție, desigur, ei nu ar avea nicio obiecție față de raționamentul dvs. și, de fapt, ar merge împreună cu acesta. Cu toate acestea, ceea ce cred că este cu adevărat întrebarea lor, așa cum i-am comentat lui Paul Garrett, este: ” odată ce operăm în sistemul metric zecimal, nu ar trebui să se recurgă la considerații străine. iar lucrurile nu ar trebui să depindă dacă numitorul ” ” este Oameni sau litri de lapte. ”