Diferența maximă așteptată între jucători atunci când se utilizează 4d6 scade cel mai mic

$ \ newcommand {\ E} {\ mathbb {E}} $ (Scriu acest lucru presupunând că sunteți familiarizat cu manipularea distribuțiilor și așteptărilor de probabilitate, dar, sperăm, nimic prea elegant. Spuneți-mi dacă ar trebui să explic ceva mai mult De asemenea, fac asta într-un mod destul de calculat pentru a obține doar un răspuns, mai degrabă decât să încerc să fac totul manual.)

Spunem că avem $ n = 5 $ jucători, fiecare adunând câte un personaj cu 6 scoruri de abilități, fiecare notat ca $ X_ {ij} $. Definiți $ Y_i = \ sum_ {j = 1} ^ 6 X_ {ij} $ pentru a fi suma scorurilor abilităților jucătorului $ i $ th. Apoi vă întrebați despre așteptarea lui $ Z = \ max_ {i , i „} \ lvert Y_i – Y_ {i”} \ rvert = Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $, folosind notația că $ Y _ {(1)} $ este prima valoare sortată din $ \ {Y_1, \ dots, Y_n \} $ (adică minimul) și $ Y _ {(n)} $ este $ n $ th (maximul).

Scoruri individuale $ X_ {ij } $

Cel mai simplu mod de a găsi distribuția lui $ X_ {ij} $, ca și în răspunsul pe care l-ați conectat, este să-l forțați brutal, luând în considerare toate $ 6 ^ 4 = 1296 $ role posibile. Iată câteva coduri Python rapide (probabil că există un mod mai bun de a face acest lucru …):

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def as_kth_of(a, k, n): """vector a => shape (1, ..., 1, a.size, 1, ..., 1) where new shape is length n, a.size is in kth""" return a[(np.newaxis,) * k + (slice(None),) + (np.newaxis,) * (n - k - 1)] def pmf_drop_lowest(sides, number): rolls = np.arange(1, sides + 1) totals = sum(as_kth_of(rolls, k, number) for k in xrange(number)) mins = np.ones_like(totals) * 10000 for k in xrange(number): mins = np.minimum(mins, as_kth_of(rolls, k, number)) return np.bincount((totals - mins).ravel()) / totals.size score_pmf = pmf_drop_lowest(6, 4) plt.bar(np.arange(score_pmf.size) - .5, score_pmf) 

Scorul total al abilităților $ Y_i $

Acum putem găsi distribuția sumei scorurilor abilităților, $ Y_i = X_ {i1} + X_ {i2} + \ dots + X_ {i6} $.

Care este distribuția sumei a două variabile aleatoare independente, discrete $ A + B $? Ei bine, $ \ Pr (A + B = c) = \ sum_ {k = – \ infty} ^ \ infty \ Pr (A = k) \ Pr (B = k – c) $. Se pare că această operațiune este cunoscută sub numele de convoluție și, din fericire, numpy are o funcție care să o facă pentru noi. (Articolul legat de Wikipedia nu are multe despre asta pentru probabilitate; ați putea încerca capitolul Grinstead și Snell .)

Cod:

total_pmf = 1 for _ in xrange(6): total_pmf = np.convolve(total_pmf, score_pmf) plt.bar(np.arange(total_pmf.size) - .5, total_pmf) 

Cele mai mari și cele mai mici valori de $ Y $

Acum că știm distribuția pentru $ Y_i $, întrebarea noastră este: care este distanța maximă în perechi între două elemente ale $ Y $? Alternativ, care este diferența dintre cel mai mare și cel mai mic $ Y $?

Scriind variabila care ne interesează ca $ Z = Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $, avem că $ \ EZ = \ E Y _ {(n)} – \ E Y _ {(1)} $, deoarece așteptarea este liniară. Acest lucru economisește munca pe care am făcut-o la redactarea inițială a acestui răspuns în calculul distribuției comune a celor două. 🙂

Mai întâi, să definim funcția de distribuție cumulativă (cdf) $ \ Pr (Y \ le y) = \ sum_ {k = 0} ^ y \ Pr (Y = k) $. Apoi, cdf-ul lui $ Y _ {(n)} $ este $$ \ begin {align *} \ Pr (Y _ {(n)} \ le y) & = \ Pr \ left (Y_1 \ le y \ text {și} Y_2 \ le y \ text {și} \ dots \ text {și} Y_n \ le y \ right) \\ & = \ prod_ {i = 1} ^ n \ Pr \ left (Y_i \ le y \ right) \\ & = \ Pr (Y \ le y) ^ n \ end {align *} $$ deoarece $ Y_i $ sunt independenți. Apoi, deoarece $ Y _ {(n)} $ ia valori întregi care nu sunt negative, ne putem calcula așteptările ca $$ \ begin {align *} \ E Y _ {(n)} & = \ sum_ {y = 1} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(n)} \ ge y) = \ sum_ {y „= 0} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(n)} > y”) \\ & = \ sum_ {y „= 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr (Y _ {(n)} \ le y”) \ right) = \ sum_ {y „= 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr (Y \ le y „) ^ n \ right). \ End {align *} $$ Cod:

n_players = 5 total_cdf = np.cumsum(total_pmf) exp_max = np.sum(1 - total_cdf ** n_players) 

obținerea exp_max aproximativ 81 .5.

În mod similar, pentru min: $$ \ begin {align *} \ Pr \ left (Y _ {(1)} \ le y \ right) & = 1 – \ Pr \ left (Y _ {(1)} > y \ right) \\ & = 1 – \ Pr \ left (Y_1 > y \ text {și} \ dots \ text {și} Y_n > y \ right) \\ & = 1 – \ Pr \ left (Y_i > y \ right) ^ n \\ & = 1 – \ left (1 – \ Pr \ left (Y \ le y \ right) \ right) ^ {n} \ end {align *} $$ și așteptările sale sunt: $$ \ E Y _ {( 1)} = \ sum_ {y = 0} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(1)} > y) = \ sum_ {y = 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr \ left (Y \ le y \ right) \ right) ^ n $$

Cod:

exp_min = np.sum((1 - total_cdf) ** n_players) 

obținând exp_min aproximativ 65.3.

Diferența finală așteptată dintre cel mai norocos și cel mai nefericit dintre cei 5 jucători este atunci un total de 16,2 puncte de abilitate. (Asta e cam mult!)

Apropo, am menționat că am calculat distribuția comună a $ Y _ {(1)} $ și $ Y _ {(n)} $ (ca $ \ Pr (Y_ {n} = y „) \ Pr (Y _ {(1)} = y \ mid Y _ {(n)} = y”) $). Se pare că pentru cinci jucători, distribuția lui $ Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $ arată astfel:

Comentarii

• Rețineți că ar putea fi mai bine să evaluați calitatea unui set de abilități pe baza scorului lor total de cumpărare de puncte, mai degrabă decât a sumei lor. Lucrul enervant la acest lucru este că puteți ' nu cumpărați un scor sub 7, deci ' nu este întotdeauna bine definit ….