În primul rând, presupun operatori cu dimensiuni finite: altfel trebuie să verificați anumite condiții de limitare a operatorilor. Deoarece seria CBH este aici trunchiată de comutatoarele duble care dispar, condițiile pentru operatorii liniari pe ex $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ vor fi ușoare.
Trebuie să practicați operațiuni cu $ \ mathrm {Ad} $. Căutați următoarele. În grupul Lie $ \ mathfrak {G} $ cu algebra $ \ mathfrak {g} $ vectorul tangent la calea:
$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$
la identitate este $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Aici $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ este reprezentare adiacentă . Este un omomorfism al grupului Lie de la grupul Lie general $ \ mathfrak {G} $ la grupul Lie al matricei $ GL (\ mathfrak {g}) $. Nucleul său este centrul $ \ mathfrak {G} $. Deoarece este un omomorfism, avem $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. O altă identitate utilă este:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$
și această serie este universal convergentă dacă operatorul $ B \ mapsto [A, \, B] $ este adecvat delimitat ( eg $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ pentru $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – acest lucru este cu siguranță adevărat în dimensiunile finite).
Acum, prin (1) și proprietatea homomorfism ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), puteți constata că:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$
Toate cele de mai sus sunt perfect generale. Trebuie să îl specializați în cazul tău trunchiat. Deci, utilizați seria universal convergentă (și aici trunchiată la doi termeni) (2) pentru a extinde $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ și trunchiați-l pentru cazul dvs. special și cred că ar trebui să faceți ceva progrese.
Un discurs pedant: deși ambele ordine pentru nume sunt destul de frecvente, ordinea care reflectă cu precizie precedenta istorică este „Campbell-Baker-Hausdorff”, deoarece fiecare dintre autori și-a adus contribuțiile în 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) și 1906 (Hausdorff ), respectiv. Fiecare era conștient de „munca înaintașilor”, dar, după cum se spune în Fascicule 16 Ch 1 din Bourbaki (1960), „fiecare a găsit demonstrațiile înaintașilor săi neconvingători (!)”. „Nu sunt singurul cu o rată de înțelegere de aproximativ 5% în citirea literaturii tehnice (cred că trebuie să citesc o lucrare de aproximativ 20 de ori în medie pentru a„ obține ”). Un fapt amuzant este că niciunul dintre aceștia trei nu a funcționat efectiv seria. În schimb, au stabilit teorema conform căreia seria a fost convergentă într-o vecinătate de $ \ mathbf {0} $ în algebra Lie și cuprinde doar operații liniare și paranteze Lie. Formula în sine se datorează lui Dynkin și a fost elaborată pe deplin în 1947!
Comentarii