Reprezentarea pentru modelul AR (1) este următoarea:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
unde $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ este o constantă).
Vreau să înțeleg calculele care există sunt în spatele formulei generale a autocovarianței AR (1), care este $ γ (h) = \ operatorname {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Până acum am făcut următorii pași – am început cu $ γ (1) $ :
$ \ operatorname {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
După cum puteți vedea, din acest moment nu pot continua pentru că nu știu care sunt valorile din $ \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ și $ \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Orice asistență va fi mult apreciată. Vă mulțumim anticipat.
Răspuns
Să scriem $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
deoarece $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ (ie ieșirea trecută este independentă de intrarea viitoare).
În mod similar, $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Dacă continuăm în acest fel, vom obține $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , unde $ h \ geq0 $ . pentru randamente $ h $ negative $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , unde $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS toată această analiză presupune $ \ epsilon_t $ este WSS, prin urmare $ y_t $ din proprietatea de filtrare LTI.
Comentarii
- există o greșeală de scriere în prima linie .. semn de identitate plasat greșit.
- În prima linie aș vrea înlocuiți al treilea semn ” + ” cu semnul ” = ” semn: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- În timp ce încercam să editez greșeala adresată de @Jesper, am convertit acel semn specific = pentru a + semna și a făcut-o mai greșită :). Văd că motivul este din cauza redării. Deși ordinea instrucțiunilor tex este corectă, acestea au fost afișate într-o ordine diferită. Oricum, am ‘ am folosit instrucțiunile de aliniere și am făcut-o mult mai clară. Sper, ‘ este în regulă.
- Expresia pentru auto-covarianță condiționată este aceeași? Adică, $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ hold?
Răspuns
Pornind de la ceea ce ați furnizat:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Where $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Putem rescrie $ (1) $ as:
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Apoi,
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Dacă lăsăm $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ , atunci ecuația $ (2) $ poate fi scris ca:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Varianță
Varianța $ (3) $ se obține prin pătrarea expresiei și luarea așteptărilor, care se termină cu:
\ begin { array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Acum, așteptați:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Ea Vom apela:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ este varianța procesului staționar.
- Al doilea termen din partea dreaptă a ecuației este zero, deoarece $ \ tilde {y} _ {t-1} $ și $ \ epsilon_ {t} $ sunt independenți și ambii au o așteptare nulă.
- Ultimul termen din dreapta este varianța inovației, notată ca $ \ sigma ^ {2} $ (rețineți că nu există indicele pentru aceasta).
În sfârșit,
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Dacă rezolvăm varianța procesului, și anume $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , avem:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autocovarianță
Vom folosi același truc pe care îl folosim pentru formula $ (3) $ . Autocovarianța dintre observații separate prin $ h $ este apoi:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
Inovațiile sunt necorelate cu valorile anterioare ale seriei, apoi $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ și rămânem cu:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
Pentru $ h = 1, 2, \ ldots $ și cu $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
Pentru cazul particular al $ AR (1) $ , ecuația $ (5) $ devine:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
Și folosind rezultatul din ecuația $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ ajungem cu
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Sursă originală: Andrés M. Alonso & diapozitive Carolina García-Martos. Disponibil aici: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf