funcția de transfer a filtrului Bessel este definită prin polinoame bessel. Dacă luăm în considerare, de exemplu, un filtru de ordinul 2, funcția de transfer este: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Am vrut să construiesc o simulare pentru un astfel de filtru cu o Sallen-Key-Architecture. Prin urmare, am consultat acest ghid de proiectare de către TI. Acestea definesc funcția de transfer a unei treceri de ordinul 2 ca:
Ao este 1, deoarece vreau ca câștigul să fie unitate. M-am uitat la tabelul de mai jos pentru a calcula corect valorile C și R.
Prin urmare, funcția de transfer devine: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Am rulat simularea și m-am uitat la complotul bode. A arătat rezultatul dorit (frecvența de întrerupere -3db a fost calculată).
Cu toate acestea, nu înțeleg de ce funcția de transfer arată atât de diferit. Cu siguranță nu este un polinom Bessel. Am verificat răspunsul la pas și am observat o depășire de 0,4% așa cum ne-am aștepta pentru un filtru Bessel. Prin urmare, am 3 întrebări:
- Cum se face că funcția de transfer din ghidul de proiectare ti nu este un polinom bessel.
- Ar trebui să fie locația polului unui filtru Bessel de ordinul 2? să fie același pentru orice filtru cu o anumită frecvență de întrerupere?
- Poate o trecere joasă Bessel de ordinul doi să aibă un factor Q diferit de 0,5773?
Mulțumesc!
Comentarii
- Constanta din numitor pentru ultima ecuație H (s) trebuie să fie ” 1 ” în loc de ” 3 „. Ultima întrebare: NU !. Numai factorul Q determină răspunsul Bessel.
- ai dreptate, a fost o greșeală de scriere. Totuși nu are legătură cu un polinom bessel.
- De ce nu? Este o funcție tipică de filtrare cu un răspuns de frecvență numit ” Thomson-Bessel „. Care este problema ta? Desigur, funcția de filtrare nu este identică cu ” polinomul matematic Bessel „.
- Nu ‘ nu înțelegeți de ce aveți această definiție matematică pe o parte și o funcție de transfer care este complet diferită pe cealaltă parte. De unde provin acești coeficienți?
- Coeficienții așa-numitelor filtre Bessel sunt calculate pe baza cerinței unei întârzieri maxime plate în banda de trecere (care trebuie comparată cu o amplitudine maximă plană pentru filtele Butterworth) . Se poate arăta că, în timpul calculării coeficienților, folosim polinominalii Bessel cunoscuți (aceasta este o procedură destul de implicată) – dar acest lucru nu înseamnă că amploarea funcției de transfer are un răspuns care seamănă cu funcțiile Bessel. Este – așa cum sa menționat – procedura matematică din spatele găsirii coeficienților. OK?
Răspuns
Cum se face că transferul funcția din ghidul de proiectare ti nu este un polinom bessel.
Să vedem funcția de transfer pe care ați scris-o: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Rearanjare: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Ecuația este acum în formă standard: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Și clar \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ deci 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Acest bit este important, deoarece este \ $ \ sqrt3 \ $.
Pentru un filtru de trecere low 2 Bessel de ordinul 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $, deci zeta este 0,866.
În imagine am manipulat R pentru a-mi oferi un raport de amortizare (zeta) precis de 1,732 – uită-te la vârful din răspuns la pas – 1,00433 volți – exact potrivit pentru Bessel. Uită-te la întârzierea de fază reprezentată pe graficul superior – maxim plat și devenind treptat 90 de grade la frecvența de rezonanță naturală. Fd (frecvența amortizată) este tocmai 0,5 – indică și Bessel.
Poate o trecere joasă Bessel de ordinul doi să aibă un factor Q diferit de 0,5773? / p>
0.5773 este reciprocul lui \ $ \ sqrt3 \ $ și nu trebuie să fie acel Q pentru un LPF Bessel.
Comentarii
- Motivul pentru care polinomul este diferit este pentru scalarea frecvenței. Un Bessel non-scalat (prima formulă OP ‘) va avea \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, cu o atenuare de ~ -1.597dB @ 1Hz – nimic neobișnuit, Bessel este în mod normal pentru întârzierea grupului plat, nu pentru frecvență – așa că TI l-a scalat astfel încât să ‘ să fie clasicul -3dB.
- @aconcernedcitizen de ce să nu faceți acest răspuns mai degrabă decât să-l fixați la răspunsul meu, cu excepția cazului în care, desigur, sunteți prea subtil indicând o eroare în răspunsul meu că ‘ sunt prea prost să recunoaștem?
- Am scris acest lucru ca un comentariu, astfel încât răspunsul la care fac comentariul să poată fi actualizat, dacă este necesar. Dar dacă spui că ar trebui să fie un răspuns, așa să fie. Nu ‘ nu știu de unde a venit ” prost „.
Răspuns
Un filtru Bessel are, după cum arată corect în prima formulă, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Nu este neobișnuit dacă credeți că, în mod normal, un filtru Bessel este utilizat pentru întârzierea grupului său plat, mai degrabă decât comportamentul său de frecvență (așa cum spune @LvW în comentariul său). Dar implementarea unui filtru cu această funcție de transfer va da o ~ 1.597dB@1Hz atenuare, care nu face ca răspunsul să fie unul clasic. Deci, TI a aplicat o scalare a frecvenței, astfel încât atenuarea să fie de -3dB @ 1Hz. Așa cum se întâmplă, frecvența pătrată (pulsația) este \ $ \ phi \ $ = 1.618 …, după care au rearanjat termenii pentru a se potrivi topologiei lor opamp.