Pentru a începe cu o problemă de temă, destul de lungă.
O particulă de masă egală cu 208 ori masa unui electron se mișcă pe o orbită circulară în jurul unui nucleu de încărcare $ + 3e $. Presupunând că modelul Bohr al atomului este aplicabil acestui sistem,
- Trageți o expresie pentru raza de $ n $ th orbită Bohr.
- Găsiți valoarea de $ n $ pentru care raza este egală cu razele primei orbite de hidrogen.
- Găsiți lungimea de undă a radiației emise atunci când particula rotitoare sare de la a treia orbită la prima.
Acum, am făcut prima parte și am primit răspunsul corect. Iată ce am făcut.
Să presupunem că masa particulelor care se rotesc este $ M $, viteza sa este $ v $ și $ M = 208 m_ {e} $. Forța electrostatică este forța centripetă. . De aceea
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Din modelul Bohr,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
unde $ h $ este constanta lui Planck. Prin urmare,
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Cadrarea acestuia,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Echivalând cele două ecuații care au $ v ^ 2 $ în ele ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
După ce rezolvăm pentru $ r $, obținem așa ceva,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Toate cele de mai sus sunt corecte. Problema se află în a doua și a treia parte; când pun $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $ NU primesc răspunsul necesar. Pentru a aborda a treia parte, am început cu ecuația Rydberg standard,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Am conectat fiecare valoare, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; dar din nou nu am primit răspunsul corect.
Răspunsul la partea a doua este 25 $ (n = 25) $; iar la a treia este 55,2 picometre.
Răspuns
Pentru a răspunde la a doua parte:
Știm $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Prima parte are o greșeală, așa cum este
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implică & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Știm și raza Bohr:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Prin urmare, putem scrie și anula:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ prin urmare & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ prin urmare & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
A treia parte:
Formula Rydberg este dată ca
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
cu Rydberg $ \ mathcal {R} $ constantă definită pentru un foton emis de un electron. Vom presupune că masa nucleului este de 7 unități atomice (trei protoni + patru neutroni). Având în vedere că $ m_p \ approx 1836m_e $ , ajungem la
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Acum constanta Rydberg trebuie modificată pentru a include masa particulei:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Cu $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), am ajuns la $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Fără să țin cont de masa redusă, adică $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ am ajuns la $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Ambele valori sunt în mod rezonabil apropiate de soluția dată.
(Dacă întrebarea a fost cu adevărat despre muon, raportul de greutate mai precis este 206,77 și lungimile de undă corespunzătoare 55,1 pm și 56,0 pm.)