Găsirea razei orbitei folosind modelul Bohr și ecuația Rydberg

Pentru a începe cu o problemă de temă, destul de lungă.

O particulă de masă egală cu 208 ori masa unui electron se mișcă pe o orbită circulară în jurul unui nucleu de încărcare $ + 3e $. Presupunând că modelul Bohr al atomului este aplicabil acestui sistem,

  1. Trageți o expresie pentru raza de $ n $ th orbită Bohr.
  2. Găsiți valoarea de $ n $ pentru care raza este egală cu razele primei orbite de hidrogen.
  3. Găsiți lungimea de undă a radiației emise atunci când particula rotitoare sare de la a treia orbită la prima.

Acum, am făcut prima parte și am primit răspunsul corect. Iată ce am făcut.

Să presupunem că masa particulelor care se rotesc este $ M $, viteza sa este $ v $ și $ M = 208 m_ {e} $. Forța electrostatică este forța centripetă. . De aceea

$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$

Din modelul Bohr,

$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$

unde $ h $ este constanta lui Planck. Prin urmare,

$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$

Cadrarea acestuia,

$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$

Echivalând cele două ecuații care au $ v ^ 2 $ în ele ,

$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$

După ce rezolvăm pentru $ r $, obținem așa ceva,

$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$

Toate cele de mai sus sunt corecte. Problema se află în a doua și a treia parte; când pun $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $ NU primesc răspunsul necesar. Pentru a aborda a treia parte, am început cu ecuația Rydberg standard,

$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$

Am conectat fiecare valoare, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; dar din nou nu am primit răspunsul corect.

Răspunsul la partea a doua este 25 $ (n = 25) $; iar la a treia este 55,2 picometre.

Răspuns

Pentru a răspunde la a doua parte:

Știm $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .

Prima parte are o greșeală, așa cum este

$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implică & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$

Știm și raza Bohr:

$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$

Prin urmare, putem scrie și anula:

$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ prin urmare & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ prin urmare & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$

A treia parte:

Formula Rydberg este dată ca

$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$

cu Rydberg $ \ mathcal {R} $ constantă definită pentru un foton emis de un electron. Vom presupune că masa nucleului este de 7 unități atomice (trei protoni + patru neutroni). Având în vedere că $ m_p \ approx 1836m_e $ , ajungem la

$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$

Acum constanta Rydberg trebuie modificată pentru a include masa particulei:

$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$

Cu $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), am ajuns la $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .

Fără să țin cont de masa redusă, adică $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ am ajuns la $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .

Ambele valori sunt în mod rezonabil apropiate de soluția dată.

(Dacă întrebarea a fost cu adevărat despre muon, raportul de greutate mai precis este 206,77 și lungimile de undă corespunzătoare 55,1 pm și 56,0 pm.)

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *