Sfera Bloch este frumos minimalistă.

În mod convențional, un qubit are patru parametri reali; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Cu toate acestea, unele informații rapide arată că $ a $ -vs- $ b $ compromisul are un singur grad de libertate datorită normalizării $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ și o perspectivă mai atentă arată că, în modul în care construim valorile așteptărilor în QM, nu puteți observa $ \ chi $ sau $ \ phi $ ei înșiși, dar numai diferența $ \ chi – \ phi $ , care este $ 2 \ pi $ -periodic. (Acest lucru este prezentat în continuare în comentariile de mai jos, dar pe scurt: QM prezice doar medii $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ și schimbarea fazei generale a unei funcții de undă de unele $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ prin urmare, se anulează în fiecare predicție.)

Deci, dacă vă gândiți cel mai abstract la ceea ce aveți nevoie, trageți doar o linie de la 0 la 1 reprezentând $ a $ -vs – $ b $ compromis: cât este acesta într-una din aceste două state? Apoi desenezi cercuri în jurul ei: cât este diferența de fază? Ceea ce îl împiedică să fie un cilindru este că diferența de fază încetează să mai conteze atunci când $ a = 1 $ sau $ b = 1 $ , prin urmare cercurile trebuie să se micșoreze la puncte. Et voila , aveți ceva care este echivalent topologic cu o sferă. Sfera conține toate informațiile de care aveți nevoie pentru experimente și nimic altceva.

Este, de asemenea, fizică, o sferă reală în spațiul 3D.

Acesta este un fapt mai șocant. Având în vedere doar imaginea simplă de mai sus, ați putea fi iertat pentru că ați crezut că totul este o matematică inofensivă: nu! De fapt, qubit-ul prin excelență este un sistem de rotire $ \ frac 12 $ , cu matricile Pauli care indică modul în care sistemul se rotește în jurul $ x $ , axele $ y $ , sau $ z $ . Acesta este un sistem în care identificăm $ | 0 \ rangle $ cu $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ cu $ | \ downarrow \ rangle $ , iar diferența de fază apare prin alegerea $ + x $ -axis prin $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

Direcțiile ortogonale ale spațiului nu sunt Hilbert-ortogonale în tratamentul QM, deoarece nu doar așa este fizica a acestui sistem funcționează. Stările hilbert-ortogonale sunt necorespunzătoare: dacă vă aflați în această stare, cu siguranță nu vă aflați în acea stare.Dar acest sistem are o rotire cu o magnitudine totală definită de $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , dar numai $ \ hbar / 2 $ din acesta indică în direcția în care este „cel mai îndreptat”, ceea ce înseamnă că trebuie distribuit pe un fel de „inel” în jurul acelei direcții. În consecință, atunci când măsurați că se află în $ + z $ -direction se dovedește că este, de asemenea, o jumătate din $ + x $ , jumătate în direcția $ – x $ . (Aici „sort-of” înseamnă: este, dacă urmăriți cu o $ x $ -measurement.)

Deci, să întrebăm „ în ce direcție se învârte cel mai mult spin- $ \ frac12 $ ? ” Acest lucru necesită construirea unui observabil. Pentru a da un exemplu, dacă $ + z $ -direcția este cea mai rotită de o stare $ | \ uparrow \ rangle $ apoi observabil pentru $ z $ -spin este matricea Pauli $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ în acea stare, $ -1 $ în starea Hilbert-perpendiculară $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ În mod similar, dacă priviți la $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ veți vedea că starea $ | {+ x} \ rangle $ definită mai sus este un vector propriu cu valoarea proprie +1 și în mod similar ar trebui să existe un $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ care să satisfacă $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ și puteți recupera $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Apoi starea ortogonală la $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ este $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ deci observabilul care este +1 în starea respectivă sau -1 în starea opusă este: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ Scrierea asta ca $ v_i \ sigma_i $ unde $ \ sigma_i $ sunt matricile Pauli pe care le obținem: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ Acum permiteți $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ și $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ aflăm că acestea sunt: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Deci, rețeta Bloch folosește un $ (\ theta, \ phi) $ care sunt pur și simplu coordonatele sferice ale punctului de pe sfera căreia un astfel de $ | \ psi \ rangle $ „se învârte cel mai mult în direcția”.

Deci, în loc să fie un aspect pur teoretic vizualizare, putem spune că sistemul spin- $ \ frac 12 $ , qubitul prototipic, se rotește de fapt în direcția dată de coordonatele sferei Bloch! (Cel puțin, în măsura în care un sistem spin-up se învârte.) Este nemilos fizic : doriți să-l fluturați într-un colț matematic și spune: „Nu, pentru sistemele reale sunt îndreptat în această direcție în spațiul 3D real și trebuie să fii atent la mine. ”

Cum îți răspund aceste întrebări.

1. Da, N și S sunt spațial paralele, dar în spațiul Hilbert sunt ortogonale. Această ortogonalitate Hilbert înseamnă că un sistem nu poate fi atât spin-up, cât și spin-down.În schimb, lipsa ortogonalității Hilbert între, să zicem, $ z $ și $ x $ înseamnă că când măsurați $ z $ -spin, puteți avea în continuare măsurători diferite de zero ale rotirii în $ x $ -direcție, care este o caracteristică cheie a acestor sisteme. Este într-adevăr puțin confuz să ai două noțiuni diferite de „ortogonal”, una pentru spațiul fizic și una pentru spațiul Hilbert, dar vine din a avea două spații diferite la care te uiți.

2. Un mod de a vedea de ce unghiurile sunt foarte utile din punct de vedere fizic este prezentat mai sus. Dar, după cum sa menționat în prima secțiune, îl puteți vedea și ca un exercițiu pur matematic de încercare de a descrie spațiul de configurare cu o sferă: atunci aveți în mod natural unghiul polar ca diferență de fază, care este container „> $ 2 \ pi $ -periodic, deci aceasta este o coordonată natural” azimutală „; prin urmare, modul în care coordonata se află de-a lungul 0/1 ar trebui să fie o coordonată „polară” cu $ 0 $ mapare la $ | 0 \ rangle $ și $ \ pi $ mapare la $ | 1 \ rangle $ . Modul evident de a face acest lucru este cu $ \ cos (\ theta / 2) $ maparea de la 1 la 0 de-a lungul acestui interval, ca amplitudine pentru $ | 0 \ rangle $ ; faptul că $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ înseamnă că $ | 1 \ rangle $ state trebuie să preia o amplitudine $ \ sin (\ theta / 2) $ pentru a o potrivi.

Comentarii

• Am o confuzie similară în ceea ce privește sfera Bloch ca OP. Ați putea explica puțin ce înțelegeți prin ” și o perspectivă mai atentă arată că, în modul în care construim valorile așteptărilor în QM, nu puteți observa $ \ chi $ și $ \ phi $ ei înșiși, dar numai diferența $ \ chi – \ phi $, care este $ 2 \ pi $ -periodic „?
• @Moses: sigur. toate predicțiile QM sunt valori de așteptare din forma $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Calculați acest lucru pentru $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ cu $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (deci $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) pentru a găsi $ \ langle A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ Nu valoarea așteptării, prin urmare, dezvăluie orice despre $ \ phi $ sau $ \ chi $ în sine, dar numai potențial $ \ delta = \ phi- \ chi $ prin acest termen $ e ^ {i \ delta} $ care este evident $ 2 \ pi $ – periodic în $ x $.
• Mai general, faza globală a unei funcții de undă este neobservabilă; aceste paranteze de așteptare spun că așteptările în starea $ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ trebuie să fie $$ \ langle A \ rangle_ {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• S-ar putea ajuta OP să internalizeze naturalețea lui $ \ frac {\ theta} {2} $ să subliniem că corespunde faptului că avem de-a face cu o rotire – $ \ frac {1} {2} $ particule. Rotirea pe jumătate duce la generatorii de rotație să nu fie $ \ sigma $ ci mai degrabă $ \ frac {\ sigma} {2} $ (pentru a menține valoarea proprie fiind $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $). Astfel, transformarea care acționează asupra stării pentru o rotație fizică de $ \ theta $ devine $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – ducând la o rotație de $ \ frac {\ theta} {2} $ pentru stat.
• De ce avem nevoie de o sferă 3D și nu doar de un cerc pe un plan? Dacă ne imaginăm qubitul ca fiind cele 2 valori posibile ale rotirii unui atom sau suprapunerea acestuia … Care este ‘ sensul fizic al unghiului azimutal ϕ?

Puteți asocia punctele de pe suprafața unei sfere unitare cu stări de centrifugare pure în următorul mod simplu.

Un punct al sferei $ (n_x, n_y, n_z) $ este asociat cu un vector propriu al operatorului $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ cu o valoare proprie pozitivă și invers. Aceasta include toate stările de centrifugare cu o singură particulă. Dacă aveți un dispozitiv Stern-Gerlach cu o neomogenitate a câmpului magnetic care indică direcția $ (n_x, n_y, n_z) $, atunci acesta va devia în mod constant fasciculul într-o anumită direcție atunci când are acea stare care este proprie la $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Dar nu este foarte confuz? Dacă sunt aleși polii nord și sud, atunci ambele state sunt pe aceeași linie și nu mai ortogonale,

Nu este confuz în niciun caz. Geometria este legată de orientarea dispozitivului fizic din laborator căruia starea dvs. oferă rezultate fiabile.Dispozitivul orientat opus oferă și rezultate fiabile. Acest lucru este comun pentru stările ortogonale că stările teonortonale pot fi proprii aceluiași operator.

Deci, punctele diferite ale sferei Bloch identifică orientări diferite care dau rezultatul „sus” pentru stări diferite. Nu confundați orientarea dispozitivului de măsurare în spațiul 3d cu geometria stărilor din spațiul de rotire.

deci cum se poate alege un punct arbitrar $ p $ pe suprafața sferei și eventual descompuneți-o în termeni de stări de $ 0,1 $ pentru a găsi $ a $ și $ b $?

Este invers. Cum ați decis să numiți un stat 0 și altul 1? Ați ales o orientare aleatorie și ați numit-o z și ați orientat dispozitivul pentru a avea punctul de neomogenitate al câmpului magnetic în acest fel. Asta ți-a dat un sus și un jos.

Dar acum putem specifica orice stare de rotire. De asemenea, aveți un punct arbitrar $ (n_x, n_y, n_z) $ apoi găsiți vectorul propriu al lui $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Cu valoare proprie pozitivă. Numiți-l $ \ left | s \ right \ rangle, $ apoi $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ deci există $ a $ și $ b $ cu excepția faptului că nu cunoașteți faza și magnitudinea generală, dar o singură stare de rotire a particulelor nu are una dintre acestea .

Înseamnă că nu trebuie să considerăm sfera Bloch ca o bază validă pentru sistemul nostru și că este doar un ajutor de vizualizare?

Nu, înseamnă că nu trebuie să confundați apoi geometria din laborator cu geometria spațiului Hilbert. Fizica este o știință experimentală, deci sunt cu siguranță legate, dar nu sunt la fel.

Dacă doriți să proiectați un vector pe un spațiu eigens, nu proiectați etichetele unul pe celălalt. Puteți avea o stare de centrifugare și o altă stare de centrifugare și când puneți una printr-un dispozitiv Stern-Gerlach orientat pentru cealaltă, atunci gradele spațiale de libertate se împart și se separă într-una care este sus în acea direcție și una care este spațial în jos de acea direcția și starea de rotire se schimbă literalmente pentru a indica în sus în fasciculul care a crescut spațial și pentru a indica în jos în fasciculul care a coborât. Deci, rotirea unei particule s-a încurcat cu propria sa poziție.

Mărimea proiecției Hilbert vă spune dimensiunea părților spațiale care au fost deviate și împărțite. Dar, de asemenea, nu aveți nevoie literalmente să ne amintim astfel de reguli. Dacă notați ecuația Schrödinger pentru dispozitivul Stern-Gerlach, fasciculul se împarte și se separă în părțile de dimensiuni corecte, iar rotirile se aliniază în cele două polarizări și se întâmplă fără ca dvs. să-i spuneți să facă asta.

atunci starea de centrifugare este clară. Vă spune direcția în care va merge în mod fiabil dacă îi dați o șansă. Și dacă îl puneți într-un Stern-Gerlach orientat diferit, va fi forțat să meargă într-una din cele două direcții permise de acea orientare și se va împărți și va merge în ambele. Pentru a obține dimensiunile fiecărei părți, puteți evolua ecuația Schrödinger sau puteți calcula vectorii proprii ai operatorului $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ și puneți-l cu vectorul propriu al valorii proprii pozitive ortogonal cu celălalt vector.

Și da, există modalități mai ușoare de a face acest lucru și puteți obține mai multe din acesta. Dar sperăm că vedeți cealaltă geometrie.

Ați putea arăta cum se obține $ cos \ theta / 2 $ și $ e ^ {i \ phi } $ termeni?

Foloseam operatorii de rotire Pauli, dacă doriți să alegeți o bază le puteți scrie ca matrice (un operator este o funcție pe un spațiu vectorial , o matrice reprezintă un operator după ce selectați o bază; operatorul există și este același indiferent de baza pe care o puteți selecta sau nu mai târziu). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

Și vectorul propriu cu valoarea proprie pozitivă este $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ cu excepția cazului în care $ n_z = 1 $ atunci este $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Să ne ocupăm de cazul $ n_z = 1 $ mai întâi, în acest caz $ a = 1 $ și $ b = 0 $ și $ \ theta = 0 $ deci $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ totul funcționează.

Dacă doriți să scrieți vectorul propriu ca vector unitate, obțineți $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Dacă doriți să ajustați faza astfel încât prima coordonată să fie reală și pozitivă, atunci veți obține $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

Restul este trigometrie, de ex. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Deci trebuie doar să arătăm că $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ și $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Acesta din urmă este o identitate trig $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

Primul este $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Comentarii

• De ce avem nevoie de o sferă 3D și nu doar de un cerc pe un plan? Dacă ne imaginăm qubitul ca fiind cele 2 valori posibile ale rotirii unui atom sau suprapunerea acestuia … Care este ‘ sensul fizic al unghiului azimutal ϕ?

A. Sisteme cu două stări

Permiteți un sistem cu două stări, stările fiind independente de coordonatele spațiu-timp. În acest caz, sistemul are un nou grad de libertate . Un exemplu clasic este o particulă cu impuls unghiular rotativ $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Să corespundă celor două stări de acolo stări de bază \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} named sus și respectiv jos starea.

O stare a sistemului este exprimată de vectorul de stare \ begin {ecuație} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {unde} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {și} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {ecuație} Numerele complexe $ \: \ xi, \ eta \: $ sunt amplitudinile de probabilitate și realele non-negative $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ probabilitățile de a fi sistemul în stare $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ respectiv.

Spațiul Hilbert al stărilor sistemului este în multe privințe identic cu (sfera unitară) a spațiului complex $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Un observabil al sistemului ar fi reprezentat de un $ \: 2 \ times2 \: $ matricea hermitian A de forma \ begin {ecuație} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {cu} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ în \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {ecuație} deci spațiul liniar al $ \: 2 \ times2 \: $ matricile hermitiene sunt în multe privințe identice cu $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Din baza obișnuită a $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ construim o bază pentru acest spațiu de matrice \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v phantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {ecuație}

Acum, dacă stările de bază $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ al ecuației \ eqref {01} corespund stărilor proprii ale valorilor proprii $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectiv al unui observabil, atunci acest observabil ar fi reprezentat de matricea
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {ecuație} nu este inclus în \ eqref {04}. Dar în locul bazei \ eqref {04} am putea folosi următoarele combinații liniare ale acestora \ begin {align} E „_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E „_2 \! = \! E_2 \! = \! \ începe {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E „_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E „_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} și schimbarea simbolurilor și aranjament

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {ecuație} unde $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ matricile Pauli .

Acum, stările de bază $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ ale ecuației \ eqref {01} sunt stări proprii ale $ \: \ sigma_3 \: $ , deci este necesar să fie exprimat cu indicele $ \: ” 3 „\: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} Acest lucru trebuie făcut pentru amplitudinile de probabilitate $ \: \ xi, \ eta \: $ și \ begin {ecuație} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ în \ mathbb {C} \ quad \ text {și} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {ecuație} Motivul pentru aceasta este că putem folosi ca stări de bază ale spațiului Hilbert la fel de bine statele proprii $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ de valori proprii $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectiv de $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {ecuație} astfel încât \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {ecuație} sau relevant pentru $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {ecuație} astfel încât \ begin {ecuație} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {unde} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ în \ mathbb {C} \ quad \ text {și} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {ecuație} Statele proprii $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ sunt prezentate schematic în Figura-04.

Acum, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} deci \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} De asemenea, \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} deci \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} În ecuațiile \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} de $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ desemnăm conjugatul complex al numărului complex $ \: z \: $ și cu $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ părțile reale și imaginare ale $ \: z $ .

Din moment ce $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ setăm (vezi Figura-01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {unghi polar în raport cu $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {unghi azimutal în raport cu $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Sub aceste definiții \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} și ecuații \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} dă următoarele probabilități \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Rețineți că starea $ \ vert \ psi \ rangle $ al ecuației \ eqref {09} ar putea fi exprimat ca \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {ecuație} sau ignorând faza factor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {ecuație} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

B. On Sphere – In Ball

În Figura-01 vedem detaliile definițiilor \ eqref {18a}, \ eqref {18b} și \ eqref {18c}. Aceasta este o vedere plană dintr-un punct pe planul cercului $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ din Figura-03. Rețineți că această figură-01 este validă dacă toate indicele $ \: „3” \: $ vor fi înlocuite cu $ \ : „1” \: $ sau $ \: „2” $ . Definiția și semnificația diferitelor puncte sunt date în cele ce urmează.

În Figura-02 vedem geometria ecuațiilor \ eqref {21a}, \ eqref {21b} și \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Aceasta este o vedere plană dintr-un punct pozitiv al axei $ \: x_3- $ .

Vedeți aici o vedere 3D a figurii-03

În figura-03 avem o sferă de diametru 1 într-un spațiu tridimensional $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ nu este identic cu spațiul fizic. Pe sferă, un punct $ \: \ Xi \: $ reprezintă o stare a sistemului \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Acum pentru $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: pe \: \: + 1/2 \: \: din \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: reprezentând \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punct \: \: pe \: \: – 1/2 \: \: din \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: reprezentând \: \ : \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: of \: \: the \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of \: \: probability \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = magnitude \: \: of \: \: probability \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = probabilitate \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = probabilitate \: \: of \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polar \: angle \: cu \: respect \: to \: the: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimutal \: angle \: cu \: respect \: to \: a \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ etichetă {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = jumătate \: \: polar \: angle \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = radius \: of \: the \: circle, \: intersection \: of \: the \ :phere \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: cu \: planul \: planul \: prin \: punct \: \ Xi \: normal \: către \: the: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Comentarii

• ca întotdeauna o minunată figură.
• Nu am ‘ nu înțeleg când spui (05) nu este ‘ nu este inclus în (04), nu este ‘ nu este $ E_3 $? De asemenea, nu ‘ nu înțeleg cum $ E_3 – E_4 $ nu are ‘ nu are toate zero-urile și -2
• @ gary69: Bine ați venit la PSE. Vă mulțumesc foarte mult pentru atenție. A fost o greșeală de greșeală în ecuația $ \ eqref {04} $ pe care o editez la dreapta. Când, în viitor, câștigând reputație, veți putea vedea istoricul editării răspunsului meu, veți observa că această greșeală a fost făcută în ediția a 7-a din 25 august 2020.

Un simplu comentariu extins care simplifică răspunsul fin al lui @Timaeus la o formă mai memorabilă.

Vectorul de stare
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definește o matrice de densitate de stare pură prin operatorul său de proiecție, $$ \ bbox [galben] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Rețineți invarianța manifestă sub refazarea generală a $ | \ psi \ rangle $ .

Expresia principii generale „a acestei matrice de densitate hermiteană idempotentă este, de asemenea, evident, $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ cu $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Adică axa $ \ hat z $ se rotește spre axa $ \ hat n $ prin unghiuri de rotație complete (adiacente) , specificând o expresie de operator cu unghi unghiular (spinor, fundamental).

Gândiți-vă la rotirea fotonului

Gândindu-mă la acest caz mai concret m-a ajutat să-mi fac câteva imagini utile în cap. Există chiar și un analogic orientat spre optică, care merită avut în vedere: Sfera Poincaré .

Rotirea fotonului este o sistemul cuantic cu două stări , care, așa cum menționează Frobenius , este ceea ce modelează sfera Bloch.

Rotirea fotonului este, de asemenea, ușoară a înțelege / vizualiza / manipula experimental.

Filtre de polarizare fizică

Mai întâi Să ne gândim la cel mai concret lucru posibil: filtrele polarizatorului.

Există două tipuri de filtre polarizatoare la care te-ai putea gândi:

• polarizatorul liniar, la orice unghi între -90 și 90.

  De ex aici este unul la 90 de grade:

  

  și aici este unul la 45 de grade:

  

  și aici este unul la 0 grade:

  

  Sursă

  Wikipedia descrie câteva modalități de a crea astfel de filtre, iar imaginile de mai sus sunt filtre Polariod , care este utilizat în ochelari de soare și fotografie și, prin urmare, ușor disponibile .

  Din punct de vedere al mecanicii cuantice, orientările de 90 și 0 grade fac aceeași măsurare: singura diferență este că unul lasă fotonul să treacă, dar celălalt îl blochează. determinați nivelul de polarizare verticală liniară a fotonului: trebuie doar să luați complementul val ue.

  Și din moment ce fiecare măsurare corespunde unei matrice Hermitian , putem reprezenta atât 0, cât și 90 cu o singură matrice:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Și matricea pentru 45 de grade este:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• polarizator circular, care după cum explică Wikipedia este realizat de obicei cu o placă de un sfert de undă + o linie polarizator:

  

  Sursă .

  Matricea sa corespunzătoare este:

  $$ M_i = \ începe {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Matricile de mai sus sunt așa-numitele Matricile Pauli .

Câțiva vectori de stări interesante

Acum să dăm nume la 6 poli care reprezintă 6 posibile stări fotonice interesante pe sfera Bloch și încercați să înțelegeți cum interacționează cu filtrele.

Sursă .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { liniar 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular orar} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular în sens invers acelor de ceasornic} \\ \ end {alignat *} $$

Primul lucru pe care îl observăm este că perechile sunt toate bazele:

• $ \ vert 0 \ rangle $ și $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ și $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ și $ \ vert -i \ rangle $

De exemplu, am putea reprezenta:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Și apoi, observăm, de asemenea, că:

• $ \ vert 0 \ rangle $ și $ \ vert 1 \ rangle $ sunt vectori proprii din $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ și $ \ vert – \ rangle $ sunt vectori proprii ai $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ și $ \ vert -i \ rangle $ sunt vectori proprii ai $ M_i $

Dacă ne amintim că rezultatul unei măsurări în mecanica cuantică este vectorul propriu al unei valori proprii, cu probabilitate proporțională cu proiecția, obținem următoarele probe de probă pentru aceste experimente:

• $ \ vert 0 \ rangle $ stare pe:

  • polarizator liniar 90 °: 100% trecere

  • polarizator liniar 0 °: 0% trec

  • polarizator liniar 45 °: 45% trec, deoarece:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • polarizator liniar -45 °: 45% trec

  • polarizatori circulari: 45% trec.Acest lucru se datorează faptului că o stare liniară 0 poate fi descompusă în două polarizări circulare:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • liniar 90 °: 0% trecere
  • liniar 0 °: 100% trecere
  • liniar 45 °: 45% trecere
  • liniar -45 °: 45% trecere
  • circulară: 45% trecere
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • liniar 90 °: 45% trecere
  • liniar 0 °: 45% trecere
  • liniar 45 °: 100% trecere
  • liniară -45 °: 0% trecere
  • polarizatoare circulare: 45% trecere
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • liniar 90 °: 45% trecere
  • liniar 0 ° : 45% trecere
  • liniară 45 °: 45% trecere
  • liniară -45 °: 45% trecere
  • circulară în sensul acelor de ceasornic: 100% trecere
  • circular în sens invers acelor de ceasornic: 0% trec

Faza relativă

O intuiție semiclasică importantă de reținut este că:

circular polarizare == două polarizări liniare ortogonale la 90 de grade defazate:

Sursă .

Deci de exemplu în :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

avem o fază relativă de 90 de grade datorită $ i $ diferența de fază relativă între $ \ vert 0 \ rangle $ și $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Dar în diagonală, acestea sunt în fază în raport cu $ \ vert 0 \ rangle $ și $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

deci faza relativă este 0 pentru acea.

Plimbare sfera

Un mod comun de a reprezenta o stare în sfera Bloch este de a da doar cele două $ \ theta $ și $ \ phi $ unghiuri așa cum se arată mai jos:

Sursa .

Deoarece o sferă este non-euclidiană, o modalitate bună de a o vizualiza este să parcurgeți niște căi ușor de înțeles în jurul ei. Pe următoarea imagine facem două căi:

• începem de la 0, trecem prin +, 1, – și ne întoarcem la 0
• începem de la 0, trecem prin i , 1, -i și reveniți la 0

Sursă .

Mergând de la + prin i, -, -i și înapoi la + este lăsat ca exercițiu: cercul ar deveni o eclipsă oblică și subțiază din ce în ce mai mult într-o linie de 45 de grade.

Acest lucru duce la o interpretare clară a unghiurilor:

• $ \ theta $ : cu cât este mai mare, cu atât mai probabil $ \ vert 1 \ rangle $ devine comparat cu $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : faza relativă dintre $ \ vert 0 \ rangle $ și $ \ vert 1 \ rangle $ . Această fază relativă nu poate fi detectată de un polarizator vertical sau orizontal

Cum putem coborî de la 4 numere reale la doar 2 în stare ?

Pe sfera Bloch, putem reprezenta starea cu doar 2 parametri reali: unghiurile $ \ theta $ și $ \ phi $

Dar în vectorii de stare completă mai expliciți, par să existe 2 numere complexe și prin urmare 4 numere reale:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

De ce trebuie eliminat unul dintre numere este ușor: probabilitatea totală trebuie să fi 1 și așa:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

deci în acel moment suntem deja limitați la o 3-sferă .

Al doilea este mai interesant: putem elimina un alt parametru deoarece faza globală a stării nu poate fi detectată de niciun experiment și așa suntem liberi să o alegem în mod arbitrar.

O fază globală este un număr imaginar. Modulul acestui număr trebuie să fie 1 pentru a menține probabilitatea totală. Experimentele nu pot detecta schimbările globale de fază, deoarece rezultatele măsurării:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

pe oricare dintre filtre este același cu cel al măsurării:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

deoarece $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Prin urmare, o alegere naturală este de a alege o fază globală care să rotească starea astfel încât multiplicatorul $ \ vert 0 \ rangle $ devine un număr real, adică setarea $ b = 0 $ .

Deci, de exemplu, prin înmulțirea cu un număr imaginar, am putea mapa stări mai generale în altele mai restricționate, cum ar fi

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

De ce există exact trei matrice Pauli?

Cred că există motive matematice profunde și clare care explică acest lucru, legate de faptul că acestea stau la baza spațiului matricial hermitian 2×2 așa cum sa menționat la: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 și https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states și este esența întrebării de ce este sfera Bloch folosit, dar nu l-am înțeles pe deplin.

Dar în termeni mai practici: cele trei dispozitive de măsurare pe care le descrise sunt singurele trei posibilități (până la rotații globale), astfel încât după ce treceți printr-una, pierdeți toate informațiile despre celelalte două (probabilitate de 50% pentru celelalte două experimente). într-un anumit sens și maxim, deoarece nu există niciun alt experiment pe care să-l putem adăuga la acel set de experimente, astfel încât această proprietate să fie deținută.

https://algassert.com/quirk

Aceasta este o altă sugestie care merită. Faceți clic pe aceste imagini până când totul are sens.