Legea Biot-Savart este obținută empiric sau poate fi derivată?

$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Legea Biot-Savart este o consecință a ecuațiilor lui Maxwell.

Presupunem Ecuațiile lui Maxwell și alegeți ecartamentul Coulomb, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Apoi $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Dar $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ În starea de echilibru aceasta implică $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Astfel, avem ecuația lui Poisson pentru fiecare componentă a ecuației de mai sus. Soluția este $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r „. $$ Acum trebuie doar să calculăm $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Dar $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr „) \ times (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3} $$ și așa $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ times (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r „. $$ Aceasta este legea Biot-Savart pentru un fir de grosime finită. Pentru un fir subțire acest lucru se reduce la $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3}. $$

Addendum : În matematică și știință este important să păstrezi având în vedere distincția dintre dezvoltarea istorică și cea logică a unui subiect. Cunoașterea istoriei unui subiect poate fi utilă pentru a obține un sentiment al personalităților implicate și, uneori, pentru a dezvolta o intuiție despre subiect. Prezentarea logică a subiectului este modul în care practicanții se gândesc la asta. Acesta încapsulează ideile principale în modul cel mai complet și simplu. Din acest punct de vedere, electromagnetismul este studiul ecuațiilor lui Maxwell și legea forței Lorentz. Orice altceva este secundar, inclusiv legea Biot-Savart.

Comentarii

• Dar cum l-am văzut ‘, Maxwell ‘ ecuațiile sunt derivate din legea biot-savart, care ar face această circulară.
• @JLA: Am ‘ am adăugat ceva la adresați ” circularității ” la care vă referiți.
• @JLA, nu este posibil să derivați matematic Maxwell ‘ ecuații din legea Biot Savart. Ceea ce fac uneori oamenii este să deducă (ajunge la) ecuațiile lui Maxwell ‘ s din legea Biot-Savart pentru un caz specific, cum ar fi curenții staționari și apoi să le generalizeze la toate situațiile prin cuvânt.
• Din motive de claritate, operatorii diferențiali sunt aplicați pe $ {\ bf r} $ și nu pe $ {\ bf r ‘} $, acel ‘ este modul în care sunt schimbate cu integrale peste $ {\ bf r ‘} $.
• @AG Într-adevăr, luarea derivatului în raport cu $ {\ bf r ‘} $ nu are sens.Avem $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x_i $, nu $ \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x ‘ _i $ (pentru care am ar scrie $ \ nabla ‘ $ sau ceva similar).

Poate fi adevărat că, în zilele de altădată, oamenii măsurau forța rezultată dintr-un curent filamentar, descoperind legea Biot-Savart, și apoi la rândul său folosea asta ca inspirație pentru a construi ecuațiile lui Maxwell. Dacă acel„ s cum sa întâmplat de fapt din punct de vedere istoric, bine.

Dar acest lucru este similar cu un arheolog extraterestru care, la 10 milioane de ani de acum, a găsit o mână și un picior scheletici pe Pământ. Din mână, arheologul ajunge să înțeleagă ce îi plăcea animalului care avea acea mână să facă cu ea: că ar putea înțelege și utiliza instrumente și așa mai departe. De la picior, arheologul ajunge să înțeleagă că animalul căruia îi aparținea umbla pe două picioare și că de obicei cântărea la vârsta adultă în jur de 100-300 de lire sterline.

Abia mai târziu arheologul că mâna și piciorul ambii aparținea aceluiași animal – o ființă umană. Dar natura lucrării înseamnă că puzzle-ul a ceea ce a fost o ființă umană trebuie să fie împărțit în bucăți care pot fi înțelese individual înainte ca întreaga imagine să se reunească. Acestea fiind spuse, ar fi înapoi să sugerăm că mâna și piciorul sunt mai fundamentale decât ființa umană în sine.

Ecuațiile Maxwell au fost construite pentru a fi în concordanță cu legea Biot-Savart și cu alte informații , precum legea lui Coulomb. Astfel, puteți obține Biot-Savart de la Maxwell, dar nu invers, pentru că Maxwell este mai general și cuprinde totul.

Dacă deja știți legea forței Lorentz, puteți deduce puterea câmpului magnetic dintr-un fir doar prin tragerea particulelor încărcate în apropierea firului și observarea mișcării lor. Dar acest lucru pune la îndoială modul în care știți deja legea forței Lorentz și așa on.

Puteți merge în cercuri toată ziua peste ceea ce este sau nu fundamental, peste ceea ce trebuie să se bazeze pe observația experimentală și ceea ce este doar construit pentru a fi în concordanță cu acele observații, dar deseori există „o preferință” pentru observațiile experimentale „simple” fiind considerate fundamentale vs. constructe teoretice t Încorporează multe astfel de observații – vezi comentariul lui Chris White că ecuațiile lui Maxwell pot fi derivate din legea lui Coulomb și din alte lucruri.

Pentru mine, acest lucru este o prostie. Ecuațiile lui Maxwell încorporează suma totală a observațiilor noastre (cel puțin cele care se încadrează în regimul clasic). Pentru mine, este ceea ce știm despre electromagnetismul clasic. A spune că puteți obține Maxwell ” ecuația cu un singur rezultat plus câteva ipoteze … ei bine, lipsește ideea că acele ipoteze de asemenea trebuiau testate și verificate în primul rând. Pentru mine, este foarte foarte înapoi să identific cazurile speciale (câmpuri electrice pure, magnetice pure, statice sau dinamice) și să le tratăm ca „fundamentale”.

Edit: dar într-adevăr, un fizician trebuie să lucreze în ambele direcții. Pentru a crea o nouă teorie, avem adesea cazuri speciale despre care nu știm că sunt conectate și trebuie să le legăm împreună. Aceasta construiește ecuațiile lui Maxwell din legea lui Coulomb și Biot-Savart. Pentru a analiza cel mai ușor o anumită problemă, nu suntem siguri că există o formulă specială pentru caz, trebuie să recurgem la cea mai generală descriere (Maxwell) și să încercăm să o reducem la ceva mai simplu și mai ușor de rezolvat (în în cazul în care nu există curent și nu există dependență de timp, puteți reveni la legea lui Coulomb). Ambele abordări sunt necesare pentru a fi cât mai flexibile posibil.

Pornind de la un experiment de tip Rowland Ring este posibil să se definească permeabilitatea ca măsură a fluxului generat într-o unitate de volum pe amperă-rotație. Dacă presupunem acest flux pentru a disipa ca o lege pătrată inversă, obținem legea biot savart ca un analog magic al legii lui Coulomb cu adăugarea produsului încrucișat având grijă de perpendicularitatea direcției câmpului și strict înțelegând este o ipoteză de lucru validată de utilitatea sa, deoarece un element curent nu poate exista izolat de restul circuitului său. Sfatul meu – Ignorați toate tentațiile de a cădea în mai multe matematici decât minimul necesar, ceea ce vă va conduce la înțelegere. Sper că acest lucru vă va ajuta .

Vă rugăm să urmați următorul link. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot și vă rugăm să accesați titlul „Muncă”. Se spune că legea a fost descoperită experimental în anul 1820, adică cu 45 de ani înainte de publicarea ecuațiilor Maxwell. Formularea generală la Legea Biot-Savart a fost dată de P. Laplace. Expresia Legii Biot-Savart (integrarea) arată că nciple de suprapunere este deja inclus în el.Ecuațiile Maxwell au fost dezvoltate mai târziu și au fost proiectate în mod adecvat pentru a cuprinde implicațiile legii lui Biot-Savart. Poate că acesta este motivul pentru care putem deriva ecuațiile lui Maxwell din legea lui Biot-Savart și invers.

Accesați acest link https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force și accesați secțiunea „Istoric”. Se spune că în anul 1881, adică la 16 ani de la publicarea ecuațiilor Maxwell, Thomson a derivat mai întâi o formă a legii forței Lorentz din ecuațiile Maxwell. În cele din urmă forma modernă a legii forței Lorentz a fost derivată de Lorentz în 1892 din ecuațiile Maxwell.

Deci secvența istorică este astfel:

Legea lui Biot-Savart ==> Ecuațiile lui Maxwell ==> Legea forței Lorentz.

Dar în sălile de clasă suntem predat în următoarea secvență:

În primul rând: Legea forței Lorentz, pentru a introduce conceptul că câmpul magnetic exercită forță asupra unei sarcini în mișcare.

În al doilea rând: Legea Biot-Savart, pentru introduceți conceptul că mutarea cha rges produc câmp magnetic.

În al treilea rând: ecuațiile lui Maxwell; generalizarea tuturor observațiilor experimentale în electromagnetism.

Deci concluzia este:

(1) Legea lui Biot-Savart este o lege observată experimental. Această lege include și ideea acest principiu de suprapunere este valabil și în magnetostatică. Această lege a constituit fundamentul magnetostaticii.

(2) Ecuațiile lui Maxwell au fost derivate este un mod care să cuprindă concluziile legii lui Biot-Savart ( împreună cu alte observații experimentale ale electromagnetismului). Este o generalizare teoretică. Ecuațiile lui Maxwell sunt mai fundamentale decât orice altă observație experimentală, deoarece experimentele se fac de obicei în anumite circumstanțe și, prin urmare, nu pot oferi informații generalizate.

(3) Legea forței Lorentz a fost derivată din ecuațiile lui Maxwell, dar poate fi verificat direct experimental.

NOTĂ

„Observare și apoi generalizare”: cred că acesta este modul în care fizica este dezvoltată. Observația (experimentul) stabilește întotdeauna fundamentul. Generalizarea cuprinde observația și o extinde utilizabilitatea la alte configurații, cazuri și circumstanțe imaginabile. Prin urmare, este întotdeauna posibil să derivăm generalizarea din observație și invers [Legea Biot-Savart poate fi derivată din ecuațiile Maxwell și ecuațiile Maxwell pot fi derivate din Legea Biot-Savart ] .

Aici se subliniază faptul că legea lui Biot-Savart este observația importantă care a început câmpul magnetostaticii. Ecuațiile Maxwell (generalizare) și conceptul de potențial vectorial (o proprietate generală a câmpului vectorial) pot fi utilizate pentru a obține legea lui Biot-Savart, dar asta nu înseamnă că legea este doar un pas intermediar în dezvoltarea cunoștințelor referitoare la magnetostatice. Că este posibil să derivăm legea lui Biot-Savart din ecuațiile Maxwell și conceptul de potențial vector certifică doar că generalizarea în ecuațiile Maxwell este corectă.

Comentarii

• Dar OP nu întreba despre ordinea istorică a evenimentelor.

Trebuie să ne uităm la linia de timp (istoria). Legea Biot-Savart a fost publicată înainte de publicarea ecuațiilor Maxwell. Deci, Legea lui Gauss pentru câmpurile magnetice (a doua ecuație Maxwell) este derivată din legea Biot-Savart și nu invers. Derivarea legii lui Gauss pentru câmpurile magnetice (a doua ecuație Maxwell ) din Legea Biot-Savart poate fi citită aici Legea lui Gauss pentru câmpurile magnetice

Problema legii lui Biot-Savart este că teoretic este formulată în termeni de curent elemente $ Idl $ și apoi integrate. Dar în majoritatea manualelor este formulat și pentru taxele POINT, în termeni de $ qv $ . Problema aici este că atunci când o încărcare punctuală $ q $ se mișcă cu viteza $ v $ câmpul magnetic din spațiile din apropiere se SCHIMBĂ cu timpul, adică avem un $ \ frac {dB} {dt} $ , iar apoi au loc efecte de inducție și este încălcată starea magnetostatică. În contrast, când $ Idl $ este integrat de-a lungul unui fir continuu, câmpul $ B $ este constant, (magnetostatic ). Cele două situații sunt foarte diferite și, din câte știu, câmpul punct $ B $ nu a fost niciodată măsurat direct. Forța pe $ qv $ , da, dar nu câmpul produs de $ qv $ .