Bine, așa că am probleme reale care fac distincția între conceptul Steady State și calea de creștere echilibrată a acestui model :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Mi s-a cerut să obțin valorile stării de echilibru pentru capital per lucrător efectiv :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
La fel ca și raportul capital-ieșire la starea de echilibru (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Am găsit amândouă bine, dar mi s-a cerut, de asemenea, să găsesc „valoarea stabilă a produsului marginal al capitalului, dY / dK „. Iată ce am făcut:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Înlocuirea lui K în starea de echilibru (calculată când se stabilește starea de echilibru pentru raportul K / Y de mai sus):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
În primul rând trebuie să știu dacă acest calcul pentru valoarea de stare stabilă a MPK este corect?
În al doilea rând, mi s-a cerut să schițez traseele temporale ale raportului capital-producție și ale produsului marginal al capitalului, pentru o economie care converge către calea sa de creștere echilibrată „de jos”.
Am probleme să înțeleg exact care este calea de creștere echilibrată, spre deosebire de starea de echilibru și cum să folosesc calculele mele pentru a afla cum ar trebui să arate aceste grafice.
Ne pare rău pentru postul mamut, orice ajutor este foarte apreciat! Vă mulțumim anticipat.
Răspuns
Acesta este momentul în care încercarea de precizie creează confuzie și neînțelegere.
În trecut, modelele de creștere nu încorporau progresul tehnologic și conduceau la un echilibru pe termen lung caracterizat prin magnitudini constante pe cap de locuitor. La nivel verbal, termenul „stare de echilibru” părea adecvat pentru a descrie o astfel de situație.
Apoi au apărut modele de creștere Romer și endogene, care au împins și modelele mai vechi să înceapă să includă ca o caracteristică de rutină factori de creștere exogeni (în afară de populație). Și „brusc”, termenii pe cap de locuitor nu au fost constanți în echilibrul pe termen lung, ci au crescut într-un ritm constant . Inițial, literatura de specialitate a descris o astfel de situație ca „stare constantă a ritmurilor de creștere”.
Apoi se pare că profesia a crezut ceva de genul „este inexact să folosești cuvântul” constant „aici, deoarece mărimile pe cap de locuitor cresc. Ceea ce se întâmplă este că toate mărimile cresc la Rata echilibrată (adică la aceeași rată, astfel încât rapoartele lor rămân constante). Și din moment ce cresc, urmează o cale … „Eureka !: termenul” cale de creștere echilibrată „s-a născut.
… Spre frustrarea elevilor (cel puțin), care acum trebuie să-și amintească faptul că, de exemplu, „calea șa” este într-adevăr o cale în diagrama fazelor, dar „calea de creștere echilibrată” este doar un punct! (pentru că pentru a trage de fapt o diagramă de fază și pentru a obține un echilibru bun pe termen lung, exprimăm magnitudini pe lucrător efectiv, iar aceste magnitudini au o stare de echilibru tradițională. Dar continuăm să o numim „cale de creștere echilibrată”, deoarece magnitudinile per capita, care este ceea ce ne interesează, în abordarea noastră individualistă), continuă să crească).
Deci, „calea de creștere echilibrată” = „starea constantă a mărimilor pe unitatea de muncă eficientă”, și cred că poți afla restul pentru diagrama de fază.
Răspuns
În urma conversației cu user @denesp la comentariile la răspunsul meu anterior, trebuie să clarific următoarele: dispozitivul grafic obișnuit pe care îl folosim este legat de modelul de creștere de bază Solow (vezi de exemplu aici , figura 2 ) nu este o diagramă de fază, deoarece în mod rezonabil numim „diagrame de fază” acelea care conțin loci de schimbare zero, identificăm punctele de trecere ale acestora ca puncte fixe ale unei dinamici Sistemul și examinează proprietățile lor de stabilitate. Și nu asta facem pentru modelul Solow. Deci a fost o utilizare neglijentă a terminologiei din partea mea.
Cu toate acestea, putem desena o „diagramă semi-fază” pentru modelul de creștere Solow, în spațiul $ (y, k) $. Înțelegând simbolurile ca „pe unitate de eficiență a muncii” avem sistemul de ecuații diferențiale (în timp ce $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f „_k (k) \ cdot \ dot k $$ Scriind ecuația de schimbare zero ca o inegalitate slabă pentru a arăta și tendințele dinamice, avem
$$ \ dot k \ geq 0 \ implică y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ implică \ dot k \ geq 0 $$
Deci, acest sistem oferă un locus de schimbare zero zero, o linie dreaptă. Nu există puncte de trecere pentru a identifica un punct fix Ce putem face?Desenați și funcția de producție din diagramă, deoarece, în realitate, spațiul $ (y, k) $ este unidimensional, nu o zonă, ci o linie. Apoi, primim
săgețile verticale / orizontale care indică tendințele dinamice provin în mod corespunzător din inegalitățile slabe de mai sus (atât $ y $ cât și $ k $ tind să crească atunci când se află deasupra locusului de schimbare zero). Apoi, deoarece $ y $ și $ k $ sunt constrânși să se deplaseze pe linia punctată (care este funcția de producție), rezultă că se deplasează spre punctul lor fix, indiferent de unde începem. Aici graficul funcției de producție reprezintă în esență calea către echilibrul pe termen lung, deoarece convergența este monotonă.