Nu ești singurul care pune la îndoială infinitul de numere. De fapt, există întregi școli de gândire care explorează spectrul infinit de numere, școli întregi de gândire explorează numerele transfinite dincolo de spectrul infinit și școli întregi de gândire care explorează modul de a face matematică acolo unde infinitele nu există (cunoscute sub numele de școli finitiste ale gândul)!
Fundamental pentru discuția numerelor infinite este conceptul de aritmetică Peano. Giuseppe Peano a dezvoltat un set de axiome pentru așa-numitele „numere naturale”, care sunt definite informal ca fiind secvența 0, 1, 2, 3, 4. .. Axiomele sunt:
- 0 este un număr natural (îl declarăm că există, este o constantă)
- Pentru fiecare număr natural
x, x = x (reflexiv: totul„ egal ”în sine)
- Pentru toate numerele naturale
x și y, dacă x = y atunci y = x (proprietate simetrică a egalității)
- Pentru toate numerele naturale
x, y, z, dacă x = y și y = z apoi x = z (proprietate tranzitivă a egalității)
- Pentru toate
a și b, dacă b este un număr natural și a = b atunci a este un număr natural (egalitatea este „închisă”)
Atunci trebuie să definim o funcție S, cunoscută sub numele de funcția succesorală, astfel încât să putem avea numere mai mari de 0. În mod informal, S(0)=1, S(1) = 2 și așa pe.
- Pentru fiecare număr natural
n, S(n) este, de asemenea, un număr natural
- Pentru toate numerele naturale
m și n, m = n dacă și numai dacă S(m) = S(n) (S este o injecție)
- Pentru fiecare număr natural
n, S(n) = 0 este fals (succesorul unui număr nu este niciodată 0 … aka 0 este „primul” număr natural)
Acum avem nevoie de axioma care face ca întrebarea dvs. să fie atât de interesantă, axioma inducției:
- dacă
f este o funcție t f(0) este adevărat și, pentru fiecare număr natural n, dacă f(n) este adevărat, f(S(n)) este adevărat, atunci f(n) este adevărat pentru toate numerele naturale.
Această ultimă axiomă este unul care face să apară atât de mult comportament interesant. Este „cel care încearcă să ajungă la infinit și pretinde că oferă modalități de a-l înțelege. Și, ca toate axiomele, nu afirmă în mod necesar că este„ corect ”, ci doar că este declarat adevărat în interiorul limitelor a regulilor aritmeticii (așa cum este definită de Peano).
O mare parte din aritmetică a fost formalizată pe ceea ce este cunoscută sub numele de „teoria mulțimilor”, care este fundamentul unei mari părți din matematica noastră, deoarece pare a fi fundamental în ceea ce privește modul în care este organizat universul. Seturile tratează anumite colecții de lucruri, cum ar fi „setul de numere naturale mai mici de 5”, care este scris ca {0, 1, 2, 3, 4}.Aritmetica Peano este mapată cel mai frecvent pe teoria seturilor folosind următoarea construcție:
- Setul gol
{} este declarat a fi constanta 0 în axiomele lui Peano
- Funcția succesoră
S(n) este definită ca fiind` S (n) = {{}, {n }} (Succesorul pentru orice număr este definit ca fiind unirea setului gol și a unui set care conține numărul anterior)
Această definiție sună puțin obtuză, dar a fost aleasă deoarece este ușor să mapăm toate celelalte axiome Peano pe aceste două definiții. Cu aceasta, obținem capacitatea de a utiliza axiomele teoriei mulțimilor pentru a manipula „numerele” în moduri foarte puternice și fundamentale. Unul dintre cele mai importante dintre acestea este conceptul de cardinalitatea unui set. Acesta este „numărul” de lucruri dintr-un set. În mod informal {1, 2, 3}, {3, 4, 5} și {măr, portocaliu, orangutan} toate au o cardinalitate de 3 deoarece au 3 elemente, dar {2, 4, 6, 8} are o cardinalitate de 4.
Acesta este unde devine dificil, deoarece se dovedește că „setul tuturor numerelor naturale” este un set valid, reprezentat de obicei cu o majusculă N, deci ne putem întreba „care este cardinalitatea lui mulțimea tuturor numerelor naturale? „Răspunsul este” infinit „, iar această afirmație este făcută ca definiție. Definim cardinalitatea N pentru a fi un anumit număr, cunoscut sub numele de ℵ₀ căruia i se dă numele englezesc „countable infinity”. Da, pentru matematicieni, infinitul este numărabil, deoarece teoretic poți începe de la 0, număra în sus 1, 2, 3, 4, 5 … și „ajunge” ℵ₀ în funcție de axioma inducției. Există, de asemenea, infinități nenumărate, cum ar fi ℵ₁, cunoscut sub numele de cardinalitatea continuumului sau numărul de numere reale (presupunând că ipoteza continuumului este adevărată … există chiar și opinii diferite în acest sens). Există chiar și o școală de gândit la numere „transfinite” care pot face față unor fraze precum „I double dog dare you infininity plus one times!”
Bine ați venit la gaura iepurelui infinitului în matematică. „Am definit cuvântul pentru a însemna ceva aici. Este definit cu privire la un set de axiome. Acele axiome se mențin în„ viața reală? ”Majoritatea matematicienilor le este convenabil să presupunem că o fac. Calculatorul pe care îl citiți astăzi a fost dezvoltat folosind multe modele din calcul, iar rădăcinile calculului se găsesc adânc în infinit (în special conceptul său de „limite). Până în prezent, această presupunere ne-a făcut destul de bine. Este această presupunere„ adevărată? ”Asta este mai complicată întrebare. Există școli de gândire finitiste care pleacă de la presupunerea că numărul numerelor naturale este finit, de obicei legat de capacitatea finită a minții umane sau a universului într-un fel sau altul. Dacă timpul este finit, iar calculul este finit, atunci nu se poate calcula teoretic „infinitul”, așa că ei susțin că nu există. Au dreptate? Ei bine, da … după definițiile lor, la fel cum afirmația opusă este adevărată prin definițiile axiomelor Peano și ale teoriei mulțimilor. Ambele pot fi, fără îndoială, adevărate, deoarece fiecare dintre ele definește cuvântul „infinit” pentru înseamnă ceva atât de ușor diferit.
alegere: „Deci, vom spune că numerele sunt infinite?” Putem spune un număr mare de lucruri. Dacă aceste lucruri îndeplinesc idealul adevărului (el însuși un cuvânt foarte greu de descris formal) depinde foarte mult de sensurile individuale ale cuvinte. Dacă acceptați definiția pentru „infinit” dată de matematica mainstream, atunci „numerele sunt infinite” este adevărat, literalmente, deoarece matematica mainstream definește „infinitul” ca atare. Dacă acceptați definiția dată de finitiști, atunci „numerele sunt infinite” este falsă, deoarece literalmente finitiștii definesc „infinitul” ca atare. Puteți alege propria definiție. Poate fi chiar contextual (nu este neobișnuit să găsim matematicieni creștini care definesc „infinitul” în religia lor ușor diferit decât o definesc în matematică, fără efecte negative în afară de două concepte foarte similare cărora li se atribuie același cuvânt în vocabularul lor) .
Comentarii