Mă uit la un model GARK multivariant BEKK.
Într-un model GARCH standard, în general ne așteptăm,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Coeficientul alfa ( $ \ alpha $ ) să fie considerabil mai mic decât beta ( $ \ beta $ ), a se vedea de exemplu Verbeeks „Ghid pentru econometrie modernă capitolul despre GARCH”, cu aproximativ 0,1 alfa și 0,8 beta. ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
adică un MV-ARCH (1),
Ar cunoaște cineva parametrii adecvați pentru matricea $ A_ {ij} $ , cu o referință? Și, de asemenea, BEKK (1,1) cu termenul GARCH,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Am nevoie de valori adecvate ale parametrilor (ca în ceea ce ne-am aștepta) pentru A și B . Înțeleg că acest lucru se va schimba considerabil între seturile de date etc. Dar, în general, ne putem aștepta la valori?
Răspuns
Din păcate, există nu există verificări directe pentru $ a_ {ij} $ „s și $ b_ {ij} $ ” Coeficienții în cazul BEKK, cum ar fi $ \ alpha + \ beta < 1 $ asigură staționaritatea și dependența de timp slabă în GARCH (1,1) caz. Condițiile sunt puțin mai complicate în cazul BEKK.
Procesul este staționar și slab dependent de timp (în sensul că este un lanț Markov recurent din punct de vedere geometric al Harris), dacă toate valorile proprii ale $ k ^ 2 \ times k ^ 2 $ matrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ sunt mai puțin de 1 și $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ este pozitiv definit, dar acesta va fi întotdeauna cazul cu $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , deoarece este definit pozitiv prin construcție. $ \ otimes $ denotă produsul Kronecker .
Teorema 2 din Comte și Lieberman (2003) spun că această condiție asigură că estimatorul de probabilitate maximă este consecvent și, dacă mai presupunem că procesul are un moment finit de ordinul șase, că este $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , apoi teorema 3 din Hafner și Preminger (2009) stabilește normalitatea asimptotică a MLE.
Din câte știu eu, literatura nu oferă restricții directe ale parametrilor, ceea ce asigură momente finite de ordinul șase al procesului BEKK. Teorema C.1 din apendicele Pedersen și Rahbek (2014) oferă condiții suficiente pentru versiunea ARCH a procesului Gaussian BEKK ( $ B_ {11} = 0 $ ), pentru a avea $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Această condiție este ca toate valorile proprii ale $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ să fie mai mici de $ 15 ^ {- 1/3} \ aproximativ 0,4055 $ .
- F. Comte și O. Lieberman. Teoria asimptotică pentru procesele GARCH multivariate. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner și A. Preminger. Despre teoria asimptotică pentru modelele GARCH multivariate. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen și A. Rahbek. Direcționarea varianței multivariate în modelul bekk -garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24-55, 2014.
Comentarii
- Nu sunt sigur dacă acest lucru se aplică formei particulare de BEKK studiată aici, dar McAleer " Ceea ce nu v-au spus despre existența algebrică (non), regularitatea matematică (ir-) și proprietățile (non) asimptotice ale condiționalului dinamic complet BEKK modelul de covarianță " (2019) arată că BEKK ar putea să nu existe nici măcar în condiții restrictive, trăgând covorul de sub 4500 de hârtii care citează BEKK. > @Duffau un răspuns minunat, dar aveți idei despre care ar trebui să fie decalajul dintre A și B?
- Mulțumesc @FrancisOrigi! Așadar, amintiți-vă că A și B sunt matrice, deci nu există o noțiune clară de " gap ". În sistemele dinamice în care procesul este definit de matrici, adesea un fel de valoare proprie determină stabilitatea sistemului. Ca și pentru BEKK, stabilitatea (staționaritatea și dependența slabă) este guvernată de valorile proprii ale matricilor transformate descrise mai sus. Dacă doriți să aflați mai multe, m-aș uita la autoregresiunile vectoriale liniare, acestea sunt cel mai simplu tip cu dinamică multivariată. Acestea sunt echivalente cu modelele AR din lumea univariată.