Context: un prieten de-al meu își face hobby-ul (așa cum îmi imaginez că mulți fac) să încerce să prezică rezultatele playoff-ului de hochei. El încearcă să ghicească echipa câștigătoare în fiecare meci și numărul de jocuri necesare pentru a câștiga (pentru oricine care nu este familiarizat cu hocheiul NHL, o serie este decisă de un maxim de 7). Recordul său din acest an după 3 runde de joc (8 + 4 + 2 = 14 dintre cele mai bune 7 meciuri) este 7 corect / 7 incorect pentru echipa câștigătoare și 4 corecte / 10 incorecte pentru numărul de jocuri (el consideră doar numărul de jocuri corect dacă a ales și echipa câștigătoare).
Am ajuns să glumim că „nu face mai bine decât ghicirea oarbă la întrebarea echipelor, dar că bate substanțial șansele dacă se presupune că pentru o serie de jocuri de 4, 5, 6 sau 7 sunt egale (s-ar aștepta la o rată de succes de 12,5%, el are 28,5%).
Acest lucru ne-a făcut să ne întrebăm care sunt de fapt șansele pentru fiecare număr posibil Cred că am reușit, dar vreau să leg câteva capete libere, întrucât o parte din abordarea mea a fost mâzgălirea cu o forță brută pe o bucată mare de hârtie. Presupunerea mea de bază este că rezultatul fiecărui joc este aleatoriu, cu probabilitatea $ \ frac {1} {2} $ ca fiecare echipă să câștige.
Concluzia mea este că:
$$ \ rm P (4 \; jocuri) = \ frac {2} {2 ^ 4} = 12,5 \% \\ P (5 \; jocuri) = \ frac {8} {2 ^ 5} = 25 \% \\ P (6 \; jocuri) = \ frac {20} {2 ^ 6} = 31,25 \% \\ P (7 \; jocuri) = \ frac {40} {2 ^ 7} = 31,25 \% $$
Mi-am ghidat analiza pe baza noțiunii că o serie de 4 jocuri ar trebui să aibă o probabilitate de $ \ frac {2} {2 ^ 4} $, analog cu șansele de a răsturna 4 monede și de a obține fie 4 capete sau 4 cozi. Numitorii au fost destul de ușor să-și dea seama de acolo. Am obținut numeratorii numărând numărul de combinații „legale” (WWLWWLL ar fi ilegal deoarece seria ar fi decisă după 5 jocuri, ultimele 2 jocuri nu ar fi jucate) de rezultate pentru un anumit număr de jocuri:
Possible 4 game series (2): WWWW LLLL Possible 5 game series (8): LWWWW WLLLL WLWWW LWLLL WWLWW LLWLL WWWLW LLLWL Possible 6 game series (20): LLWWWW WWLLLL LWLWWW WLWLLL LWWLWW WLLWLL LWWWLW WLLLWL WLLWWW LWWLLL WLWLWW LWLWLL WLWWLW LWLLWL WWLLWW LLWWLL WWLWLW LLWLWL WWWLLW LLLWWL Possible 7 game series (40): LLLWWWW WWWLLLL LLWLWWW WWLWLLL LLWWLWW WWLLWLL LLWWWLW WWLLLWL LWLLWWW WLWWLLL LWLWLWW WLWLWLL LWLWWLW WLWLLWL LWWLLWW WLLWWLL LWWLWLW WLLWLWL LWWWLLW WLLLWWL WLLLWWW LWWWLLL WLLWLWW LWWLWLL WLLWWLW LWWLLWL WLWLLWW LWLWWLL WLWLWLW LWLWLWL WLWWLLW LWLLWWL WWLLLWW LLWWWLL WWLLWLW LLWWLWL WWLWLLW LLWLWWL WWWLLLW LLLWWWL Ce este o metodă fără forță brută pentru derivarea numeratorilor? Cred că poate exista o definiție recursivă, astfel încât $ \ rm P (5 \; jocuri) $ poate fi definit în termeni de $ \ rm P (4 \; jocuri) $ și așa mai departe și / sau că poate implica combinații precum $ \ rm (probabilitate \; din \; la \; cel puțin \; 4/7 \; W) \ ori (probabilitate \; din \; legal \; combinație \; din \; 7 \ ; rezultate) $, dar eu „ma cam blocat. Inițial m-am gândit la câteva idei care implică $ \ left (^ n_k \ right) $, dar se pare că funcționează numai dacă ordinea rezultatelor nu contează.
Interesant, un alt prieten comun a scos câteva statistici despre 7 serii de jocuri jucate (NHL, NBA, MLB 1905-2013, seria 1220) și a venit cu:
4 Game Series - 202 times - 16.5% 5 Game Series - 320 times - 26.23% 6 Game Series - 384 times - 31.47% 7 Game Series - 314 times - 25.73% Acel „s de fapt un meci destul de bun (cel puțin din punctul de vedere al astronomului meu!). Aș presupune că discrepanța provine din rezultatul fiecărui joc fiind părtinitor spre o victorie pentru o echipă sau alta (într-adevăr, echipele sunt de obicei însămânțate în prima rundă, astfel încât echipa care se califică să joace echipa care abia s-a calificat, locul doi joacă al doilea ultim, și așa mai departe … și majoritatea jocurilor sunt în prima rundă).
Comentarii
- Nu sunt deosebit activ pe CV.SE, deci este posibil să fie nevoie de o reetichetare.
Răspuns
Pentru un echipa care să câștige [seria] în jocul N, trebuie să fi câștigat exact 3 din primele jocuri N-1. Pentru jocul șapte, există $ \ binom {6} {3} = 20 $ modalități de a face acest lucru. Există 2 rezultate posibile pentru jocul șapte și 20 de combinații posibile de victorii pentru fiecare dintre echipele care pot câștiga, deci 40 de rezultate posibile. Pentru o serie de jocuri N o serie dintre cele mai bune dintre cele șapte final N jocuri, numărul posibilităților este de 2 $ \ binom {N-1} {3} $.
Într-adevăr ordinea nu contează, i Dacă ți se dă deja numărul de jocuri jucate. Numai ultimul joc contează, iar câștigătorul trebuie să aibă 3 victorii anterioare, în orice ordine.
Comentarii
- Pentru o serie de jocuri N nu ar trebui să ' să fie $ 2 (^ {N-1} _ {{\ rm etaj} (N / 2)}) $, sau ceva de genul acesta? Presupunând că există un număr impar de jocuri, ceea ce este doar sensibil.
- Foloseam N ca număr de jocuri jucate într-un best-of-seven. De exemplu. pentru N = 4, $ 2 \ binom {3} {3} = 2 $ vă oferă numărul de moduri posibile în care seria se poate încheia în 4 jocuri. adică pentru fiecare echipă, numărul de modalități de a alege 3 victorii din 3 jocuri.
- Da, posibilitățile unei serii de jocuri M decisă în N jocuri, ar trebui să fie de 2 $ \ binom {N-1} { \ mathrm {etaj} (M / 2)} $. Acest lucru va funcționa în continuare dacă există ' un număr par de jocuri, dacă seriile egalizate nu sunt considerate hotărâte.
- Dacă vei fi realist, probabilitatea victoria nu trebuie să fie de 0,5 pentru fiecare echipă pentru fiecare joc. Ar putea exista un avantaj de gheață la domiciliu, ca exemplu.
- @MichaelChernick este adevărat, și ating un pic acest lucru în ultimul paragraf al întrebării, dar 0,5 ca punct de plecare care poate fi ajustat ulterior este rezonabil .
Răspuns
O modalitate alternativă de a privi ar fi distribuția binomială: aveți nevoie de x = 3 (exact 3 succese) în n = 6 (trasee), deci dacă probabilitatea de a câștiga un joc este de 0,5 (ambele echipe sunt la fel de simple), binomul ar spune P (x = 3) = 6C3 * (.5) ^ 3 * (.6 ) ^ 3 = .3125 Acest lucru ar însemna că există 31,25% șanse de a merge la 7 serii de jocuri. Și probabilitatea pe care o câștigi în al 7-lea joc ar urma binomul negativ, câte trasee = 7 pentru 4 succes, 7-1 C 4-1 * (.5) ^ 3 * (.5) ^ 4