Pentru a diagonaliza termenul pătratic în modelul antiferromagnet Heisenberg, putem introduce transformarea Bogoliubov: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Această transformare poate diagonaliza termenul pătratic în hamiltonian:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
cu $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Dar transformarea U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ nu este unitar, deoarece $ u_k, v_k $ sunt reale, $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {- 1} $.
Numărul de bosoni nu este conservat , deci este posibil ca transformarea să nu fie unitară? Există vreo restricție cu privire la transformarea bosonului?
Comentarii
- Ceea ce contează este că, după transformare, relațiile standard de comutare continuă să fie.
- legat de: physics.stackexchange.com/q/53158
Răspuns
Ai dreptate, transformările Bogoliubov sunt nu unitare în general. Prin definiție,
Transformările Bogoliubov sunt transformări liniare ale operatorilor de creație / anihilare care păstrează relațiile algebrice printre ele.
Relațiile algebrice sunt în principal relațiile de comutare / anticomutare care definesc operatorii bosonici / fermionici. Nicăieri în definiție nu am specificat că transformarea ar trebui să fie unitară. De fapt, transformarea Bogoliubov (în forma sa cea mai generică) este simplectică pentru bosoni și ortogonal pentru fermioni . În niciunul dintre cazuri, transformarea Bogoliubov nu este unitară. Transformarea lui Bogoliubov a bosonilor corespunde transformării canonice liniare a oscilatoarelor în mecanica clasică (deoarece bosonii sunt cantități de oscilatoare) și știm că transformările canonice liniare sunt simplectice datorită structurii simplectice a spațiului de fază clasic.
Deci, pentru a fi mai specific, care sunt restricțiile asupra transformărilor Bogoliubov? Să luăm în considerare cazul modurilor $ n $ cu particule simple, fie ale bosonilor $ b_i $, fie ale fermionilor $ f_i $ (unde $ i = 1,2, \ cdots, n $ etichetează stările unei singure particule, cum ar fi stările proprii ale impulsului). Atât $ b_i $, cât și $ f_i $ nu sunt operatori hermitieni, care nu sunt destul de convenabili pentru un tratament general (deoarece nu putem trata pur și simplu $ b_i $ și $ b_i ^ \ dagger $ ca bază independentă, deoarece acestea sunt încă legate de prin urmare, alegem să rescriem operatorii ca următoarele combinații liniare (motivat de ideea descompunerii unui număr complex în două numere reale precum $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ începe {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ unde $ a_i = a_i ^ \ dagger $ și $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (pentru $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) sunt operatori hermitieni (analogus cu numerele reale).Ei trebuie să moștenească relațiile de comutare sau anticomutare de la bosonii „complexi” $ b_i $ și fermioni $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ unde $ g_ {ij} ^ a $ și $ g_ {ij} ^ c $ sunt uneori numiți metrică cuantică pentru bosoni și respectiv fermioni. În formele matriciale, acestea sunt date de $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrice} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ cu $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ fiind matricea de identitate $ n \ times n $. Deci, păstrarea relațiilor algebrice între operatorii de creație / anihilare înseamnă păstrarea metricei cuantice . Transformările liniare generale ale operatorilor $ a_i $ și $ c_i $ iau forma $$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ unde elementele matricei de transformare $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ trebuie să fie reale, pentru a se asigura că operatorii $ a_i $ și $ c_i $ rămân Hermitian după transformare. Apoi, pentru a păstra metrica cuantică, este nevoie de $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Deci orice transformarea liniară reală care îndeplinește condițiile de mai sus este o transformare Bogoliubov în sensul cel mai general. Apoi, în funcție de proprietatea metricei cuantice, transformarea Bogoliubov este fie simplectică, fie ortogonală. Pentru metrica cuantică bosonică, $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ este antisimetric , deci transformarea $ W ^ a $ este simplectică . Pentru metrica cuantică fermionică, $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ este simetric , deci transformarea $ W ^ c $ este ortogonală .
Comentarii
- Poate cineva recomanda o resursă pentru a afla mai multe despre acest formalism, adică descompunerea operatorilor de creație / anihilare ca ” numere complexe ” și păstrarea metricei cuantice?
Răspuns
Unitaritatea unei transformări mecanice cuantice nu este determinată de modul în care amestecă operatorii de creație și anihilare. (Nu contează ce fel de matrice — ortogonală, simplectică sau unitară — este implicată în amestecare!) Mai degrabă, una ar trebui să examineze dacă transformarea este asociată cu un operator unitar care acționează asupra spațiului Hilbert.
Transformarea Bogoliubov OP citată poate fi reprezentată după cum urmează ($ \ textbf {k} $ – dependența este suprimată): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ unde $ \ lambda $ este un număr real. Această transformare este unitară dacă și numai dacă există un operator unitar $ U $ astfel încât $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ Într-adevăr, aceste relații sunt îndeplinite cu următoarea alegere: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ pumnal}) \ Big], $$ deci transformarea este unitară.
Răspuns
Permiteți-mi să lucrez la această parte a ecuației matricei $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ Partea importantă este că transformarea câmpurilor poate fi văzută, precum și un trans formarea matricei $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ unde $ M ^ \ dagger ~ = ~ M $. Determinantul este $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Determinantul $ M $ apoi dă $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Acestea pot fi apoi reprezentate prin $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ și $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Acum evaluați comutatorul $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Pentru comuatori $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ și apoi vedem $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Același lucru este valabil în mod clar $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ Aceasta înseamnă că orice sistem cu $ N \ hbar $ unități de acțiune este constant. Nu există nicio modificare a volumului spațiului de fază al sistemului. asta înseamnă că transformările Bogoliubov sunt efectiv unitare.
Comentarii
- Deci transformările unitare generale ‘ s definiția este mai lungă $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ pe care o învățăm din manual? Nu ‘ nu înțeleg ‘ Aceasta înseamnă că orice sistem cu Nℏ unități de acțiune este constant. Nu există nicio modificare a volumului spațiului de fază al sistemului ‘, doriți să o explicați?
- Apropo, există vreo restricție privind transformarea a sistemului bosonic (hamiltonian)?
- @ZJX Nu ‘ nu înțeleg de ce Lawrence a spus că transformările bosonice Bogoliubov sunt ” efectiv unitar „. Cred că ar trebui să fie simplectici în general. Restricția vine din păstrarea definiției operatorilor bosonici (astfel încât operatorii bosonici să rămână bosonici sub transformare). Nu există nicio restricție care provine din sistemul bosonic (hamiltonian). Atâta timp cât hamiltonienul este hermitian, acesta este un hamiltonian legitim. Orice transformare simplectică aplicată hamiltonianului este o transformare legitimă Bogoliubov.
Răspuns
Nu, este unitar transformare, dar numai când luați în considerare gaura electronică a lui Hamilton & împreună.
Comentarii
- Dar aici, modelul este despre spin, ‘ nu este fermionul, nu?