Încerc să mă motivez să învăț teorema indexului Atiyah-Singer . În majoritatea locurilor pe care le-am citit despre el, de ex. Wikipedia, se menționează că teorema este importantă în fizica teoretică. Deci întrebarea mea este, care sunt câteva exemple ale acestor aplicații?
Răspuns h2>
Ecuațiile mișcării sau ecuațiile instantonilor sau solitonilor sau ecuațiile lui Einstein sau aproape orice ecuații din fizică sunt ecuații diferențiale. În multe cazuri, suntem interesați de spațiul soluțiilor al unei ecuații diferențiale. Dacă scriem ecuația diferențială totală (posibil neliniară) a interesului ca $ L (u) = 0, $ putem lineariza lângă o soluție $ u_0, $ adică să scriem $ u = u_0 + v $ și extinde $ L (u_0 + v) = 0 + L ' | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ pentru a construi o ecuație liniară $ D (v) = 0 $ în deplasarea $ v. $
O ecuație diferențială liniară este ca o ecuație matricială. Amintiți-vă că o matrice $ n \ times m $ $ M $ este o hartă de la $ R ^ n $ la $ R ^ m $ și $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ independent de matricea particulară (sau de transformarea liniară, mai general). Acest număr se numește „index”. În dimensiuni infinite, aceste numere nu sunt în general finite, dar adesea (în special pentru ecuațiile diferențiale eliptice) și depind doar de anumite informații „globale” despre spațiile pe care acționează.
Teorema indexului vă spune care este indicele unui operator diferențial liniar ($ D, $ mai sus). Îl puteți folosi pentru a calcula dimensiunea a spațiului soluțiilor la ecuația $ L (u) = 0. $ (Când spațiul soluției este o varietate [o altă poveste], dimensiunea este dimensiunea a spațiului tangent, pe care îl descrie ecuația $ D (v) = 0 $.) Nu îți spune care este spațiul real al soluțiilor. Această „întrebare dificilă și neliniară.
Comentarii
- Cred că ' este un răspuns matematic frumos pentru fizicienii care nu ' cunosc deja afirmația teoremei indexului. Dar nu reușesc să văd vreun exemplu fizic real. Ce păcat, sunt sigur că Eric trebuie să știe multe dintre ele . Știu că oamenii îl folosesc tot timpul în teoria șirurilor. Dar nu ' știu suficient pentru a oferi un răspuns propriu.
- Teorema indexului este foarte general și se aplică tuturor exemplelor pe care le-am citat (instantoni, solitoni, ecuații Einstein '). De exemplu, spațiul modulului de $ SU (2) $ instantoni -sfera $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ cu comportament constant la infinit) cu numărul instanton $ k $ este egal cu $ 8k – 3 $ după teorema indexului.
- Ei bine, ai spus " aproape orice ecuații din fizică " care este în contradicție directă cu cotidianul meu observație 🙂 Ceea ce speram erau câteva exemple concrete precum cele pe care le-a dat Steve. Sau ceva de genul exemplului tău instanton (cred că ai vrut să spui $ S ^ 3 $ totuși?). Mi-ar plăcea să văd mai multe dintre acestea, mai ales legate de o anumită interpretare fizică. Mulțumesc anticipat 🙂
- Este adevărat că aproape orice ecuație din fizică este o ecuație diferențială! Cu toate acestea, nu toate duc la probleme de index. (M-am referit la S ^ 4. Instantonii sunt configurații de câmp dependente de timp.) Un exemplu din teoria șirurilor, ale cărui diagrame Feynman sunt amplitudini QFT bidimensionale. Această teorie de câmp 2d descrie hărți de la o suprafață la un spațiu-timp, iar instantonii acestei teorii sunt hărți holomorfe. Dimensiunea spațiului unor astfel de hărți se găsește printr-o formulă index. Pentru un CY, această dimensiune este zero, ceea ce înseamnă că puteți număra soluții (aceasta este legată de teoria topologică a șirurilor).
- +1 pentru răspunsul frumos și menționarea instantonilor. Dar există de fapt o aplicație la ecuația lui Einstein '? AFAIK teorema indexului este aplicabilă operatorilor eliptici liniari …
Răspuns
Eric și alții au dat bine răspunsuri cu privire la motivul pentru care se așteaptă ca teorema indexului să apară în diferite sisteme fizice. Una dintre cele mai vechi și mai importante aplicații este rezolvarea „t Hooft” a problemei $ U (1) $. Aceasta se referă la lipsa unui nouă boson pseudo-Goldstone (cum ar fi pionii și Kaons) în QCD la care s-ar putea aștepta naiv de la ruperea simetriei chirale. Rezoluția are două părți. Primul este faptul că chiralul $ U (1) $ este anormal. Al doilea este realizarea că există configurații de acțiune finită (instantoni) care contribuie la funcții de corelație care implică divergența curentului axial $ U (1) $. Analiza se bazează în mare măsură pe teorema indicelui pentru operatorul Dirac cuplat la câmpul de calibrare $ SU (3) $ al QCD. Pentru o explicație mai completă, vezi S. Coleman „Erice prelegeri” Utilizările instantonilor.„Există, de asemenea, aplicații importante pentru dualitatea S de $ N = 4 $ SYM care implică teorema indexului pentru operatorul Dirac pe spațiile modulelor monopol.
Comentarii
- Jeff, rămâi pe linie! Cred că schimbul de stive de fizică ar putea fi util pentru comunitatea de fizică dacă este folosit la fel de larg și cu înțelepciune ca Math Overflow – de exemplu, de la oameni ca tine!
- Mulțumesc Eric. Înțeleg că tocmai am repornit. Sper că va funcționa. Are câteva modalități de parcurs înainte ca acesta să fie de calitate MO.
- Într-adevăr. Cred că există ' s acum un site în dezvoltare (Theoretical Physics Stack Exchange) care va avea ca scop să semene mai mult cu Math Overflow, dar acesta are avantajul de a fi existent.
Răspuns
Mai întâi permiteți-mi să explic la ce se referă index . Dacă matematica devine prea plină de jargon, anunțați-mă în comentarii.
În fizică suntem deseori interesați de spectrul diferiților operatori pe niște varietăți de care ne pasă. De exemplu: operatorul Dirac în spațiu-timp 3 + 1. În special fizica pe distanțe lungi cu energie redusă este conținută în modurile zero (stări la sol).
Acum, ceea ce măsoară „indexul”, pentru operatorul Dirac $ D $ și o varietate dată $ M $, este diferența dintre numărul de moduri zero pentru stângaci și numărul de moduri zero pentru stângaci. Mai tehnic:
$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$
unde este $ D $ operatorul în cauză; $ ker \, D $ este nucleul lui $ D $ – ansamblul de state care sunt anihilate de $ D $; și $ ker \, D ^ {+} $ este nucleul adiacentului său. Apoi, după cum puteți vedea, $ ind \, D $ contează diferența dintre dimensionalitățile acestor două spații. Acest număr depinde doar de topologia $ M $.
Pe scurt, teorema ASI corelează topologia unui colector $ M $ cu modurile zero sau stările de bază ale unui operator diferențial $ D $ care acționează asupra $ M $. Aceasta este, în mod evident, informații relevante pentru fizicieni.
Poate că altcineva poate detalia mai multe despre aspectele fizice.
Cea mai bună referință pentru acest subiect și pentru alte subiecte de fizică matematică, în opinia mea, este Nakahara .
Răspuns
În cazul unui Operator Dirac, indicele este dimensiunea excesivă (semnată) a spațiului modurilor de vid ale unei chiralități cu cealaltă: de exemplu, numărul stărilor „fantomă” anormale într-o teorie a câmpului chiral.
Anomaliile apar atunci când corespondența de simetrie clasică / cuantică se descompune sub renormalizare (o anomalie globală ar putea fi responsabilă pentru masa de quark în QCD; rezolvarea anomaliei chirale locale în conturile SM pentru quark și leptoni; rezolvarea acesteia în teoria superstringului fixează gabaritul grup [fie la SO (32), fie la E8 x E8], iar rezoluția unei anomalii conforme fixează dimensiunea spațiu-timp și conținutul fermionului). Când încercăm să transformăm teoria șirurilor în fizică reală, cineva întreabă
- Poate explica trei generații de fermioni chirali?
- Poate explica rezultatele experimentale asupra degradării protonilor?
- Poate explica micimea masei electronilor?
- Poate explica [lucruri despre constanta cosmologică]?
și AST ajută la răspunsul la aceste întrebări.
Ecuațiile mișcării sau ecuațiile instantonilor sau solitonilor sau ecuațiile lui Einstein sau aproape orice ecuații din fizică sunt ecuații diferențiale. În multe cazuri, suntem interesați de spațiul soluțiilor al unei ecuații diferențiale. Dacă scriem ecuația diferențială totală (posibil neliniară) a interesului ca $ L (u) = 0, $ putem lineariza lângă o soluție $ u_0, $ adică să scriem $ u = u_0 + v $ și extinde $ L (u_0 + v) = 0 + L ' | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ pentru a construi o ecuație liniară $ D (v) = 0 $ în deplasarea $ v. $
O ecuație diferențială liniară este ca o ecuație matricială. Amintiți-vă că o matrice $ n \ times m $ $ M $ este o hartă de la $ R ^ n $ la $ R ^ m $ și $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ independent de matricea particulară (sau de transformarea liniară, mai general). Acest număr se numește „index”. În dimensiuni infinite, aceste numere nu sunt în general finite, dar adesea (în special pentru ecuațiile diferențiale eliptice) și depind doar de anumite informații „globale” despre spațiile pe care acționează.
Teorema indexului vă spune care este indicele unui operator diferențial liniar ($ D, $ mai sus). Îl puteți folosi pentru a calcula dimensiunea a spațiului soluțiilor la ecuația $ L (u) = 0. $ (Când spațiul soluției este o varietate [o altă poveste], dimensiunea este dimensiunea a spațiului tangent, pe care îl descrie ecuația $ D (v) = 0 $.) Nu îți spune care este spațiul real al soluțiilor. Această „întrebare dificilă și neliniară.
Comentarii
- Cred că ' este un răspuns matematic frumos pentru fizicienii care nu ' cunosc deja afirmația teoremei indexului. Dar nu reușesc să văd vreun exemplu fizic real. Ce păcat, sunt sigur că Eric trebuie să știe multe dintre ele . Știu că oamenii îl folosesc tot timpul în teoria șirurilor. Dar nu ' știu suficient pentru a oferi un răspuns propriu.
- Teorema indexului este foarte general și se aplică tuturor exemplelor pe care le-am citat (instantoni, solitoni, ecuații Einstein '). De exemplu, spațiul modulului de $ SU (2) $ instantoni -sfera $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ cu comportament constant la infinit) cu numărul instanton $ k $ este egal cu $ 8k – 3 $ după teorema indexului.
- Ei bine, ai spus " aproape orice ecuații din fizică " care este în contradicție directă cu cotidianul meu observație 🙂 Ceea ce speram erau câteva exemple concrete precum cele pe care le-a dat Steve. Sau ceva de genul exemplului tău instanton (cred că ai vrut să spui $ S ^ 3 $ totuși?). Mi-ar plăcea să văd mai multe dintre acestea, mai ales legate de o anumită interpretare fizică. Mulțumesc anticipat 🙂
- Este adevărat că aproape orice ecuație din fizică este o ecuație diferențială! Cu toate acestea, nu toate duc la probleme de index. (M-am referit la S ^ 4. Instantonii sunt configurații de câmp dependente de timp.) Un exemplu din teoria șirurilor, ale cărui diagrame Feynman sunt amplitudini QFT bidimensionale. Această teorie de câmp 2d descrie hărți de la o suprafață la un spațiu-timp, iar instantonii acestei teorii sunt hărți holomorfe. Dimensiunea spațiului unor astfel de hărți se găsește printr-o formulă index. Pentru un CY, această dimensiune este zero, ceea ce înseamnă că puteți număra soluții (aceasta este legată de teoria topologică a șirurilor).
- +1 pentru răspunsul frumos și menționarea instantonilor. Dar există de fapt o aplicație la ecuația lui Einstein '? AFAIK teorema indexului este aplicabilă operatorilor eliptici liniari …
Eric și alții au dat bine răspunsuri cu privire la motivul pentru care se așteaptă ca teorema indexului să apară în diferite sisteme fizice. Una dintre cele mai vechi și mai importante aplicații este rezolvarea „t Hooft” a problemei $ U (1) $. Aceasta se referă la lipsa unui nouă boson pseudo-Goldstone (cum ar fi pionii și Kaons) în QCD la care s-ar putea aștepta naiv de la ruperea simetriei chirale. Rezoluția are două părți. Primul este faptul că chiralul $ U (1) $ este anormal. Al doilea este realizarea că există configurații de acțiune finită (instantoni) care contribuie la funcții de corelație care implică divergența curentului axial $ U (1) $. Analiza se bazează în mare măsură pe teorema indicelui pentru operatorul Dirac cuplat la câmpul de calibrare $ SU (3) $ al QCD. Pentru o explicație mai completă, vezi S. Coleman „Erice prelegeri” Utilizările instantonilor.„Există, de asemenea, aplicații importante pentru dualitatea S de $ N = 4 $ SYM care implică teorema indexului pentru operatorul Dirac pe spațiile modulelor monopol.
Comentarii
- Jeff, rămâi pe linie! Cred că schimbul de stive de fizică ar putea fi util pentru comunitatea de fizică dacă este folosit la fel de larg și cu înțelepciune ca Math Overflow – de exemplu, de la oameni ca tine!
- Mulțumesc Eric. Înțeleg că tocmai am repornit. Sper că va funcționa. Are câteva modalități de parcurs înainte ca acesta să fie de calitate MO.
- Într-adevăr. Cred că există ' s acum un site în dezvoltare (Theoretical Physics Stack Exchange) care va avea ca scop să semene mai mult cu Math Overflow, dar acesta are avantajul de a fi existent.
Mai întâi permiteți-mi să explic la ce se referă index . Dacă matematica devine prea plină de jargon, anunțați-mă în comentarii.
În fizică suntem deseori interesați de spectrul diferiților operatori pe niște varietăți de care ne pasă. De exemplu: operatorul Dirac în spațiu-timp 3 + 1. În special fizica pe distanțe lungi cu energie redusă este conținută în modurile zero (stări la sol).
Acum, ceea ce măsoară „indexul”, pentru operatorul Dirac $ D $ și o varietate dată $ M $, este diferența dintre numărul de moduri zero pentru stângaci și numărul de moduri zero pentru stângaci. Mai tehnic:
$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$
unde este $ D $ operatorul în cauză; $ ker \, D $ este nucleul lui $ D $ – ansamblul de state care sunt anihilate de $ D $; și $ ker \, D ^ {+} $ este nucleul adiacentului său. Apoi, după cum puteți vedea, $ ind \, D $ contează diferența dintre dimensionalitățile acestor două spații. Acest număr depinde doar de topologia $ M $.
Pe scurt, teorema ASI corelează topologia unui colector $ M $ cu modurile zero sau stările de bază ale unui operator diferențial $ D $ care acționează asupra $ M $. Aceasta este, în mod evident, informații relevante pentru fizicieni.
Poate că altcineva poate detalia mai multe despre aspectele fizice.
Cea mai bună referință pentru acest subiect și pentru alte subiecte de fizică matematică, în opinia mea, este Nakahara .
În cazul unui Operator Dirac, indicele este dimensiunea excesivă (semnată) a spațiului modurilor de vid ale unei chiralități cu cealaltă: de exemplu, numărul stărilor „fantomă” anormale într-o teorie a câmpului chiral.
Anomaliile apar atunci când corespondența de simetrie clasică / cuantică se descompune sub renormalizare (o anomalie globală ar putea fi responsabilă pentru masa de quark în QCD; rezolvarea anomaliei chirale locale în conturile SM pentru quark și leptoni; rezolvarea acesteia în teoria superstringului fixează gabaritul grup [fie la SO (32), fie la E8 x E8], iar rezoluția unei anomalii conforme fixează dimensiunea spațiu-timp și conținutul fermionului). Când încercăm să transformăm teoria șirurilor în fizică reală, cineva întreabă
- Poate explica trei generații de fermioni chirali?
- Poate explica rezultatele experimentale asupra degradării protonilor?
- Poate explica micimea masei electronilor?
- Poate explica [lucruri despre constanta cosmologică]?
și AST ajută la răspunsul la aceste întrebări.