Var (XY), dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente [duplicat]

Această întrebare are deja un răspuns aici :

Comentarii

Nu ai vreun gând despre asta? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ ar fi greșit – luați în considerare o valoare constantă aproape zero $ X $
Nu domnule. Știu că Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 și E (XY) = E (X) E (Y) ca X, Y sunt independenți, dar nici o idee despre X ^ 2 și Y ^ 2 sunt independente sau nu.
Dacă $ X $ și $ Y $ sunt independenți, atunci $ X ^ 2 $ și $ Y ^ 2 $ sunt, de asemenea, independenți și $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
Cazul general al produsului aici: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (produsul din 2 este dat în întrebare)
Mulțumesc mult Glen_b

Răspuns

Puteți urma comentariile lui Henry pentru a ajunge la răspuns. Cu toate acestea, un alt mod de a ajunge la răspuns este să folosiți faptul că dacă $ X $ și $ Y $ sunt independenți, apoi $ Y | X = Y $ și $ X | Y = X $ .

Prin așteptări iterate și expresii de varianță

\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ text {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}

Comentarii

$ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ poate fi corect, dar este ciudat nesimetric ca $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ ar fi. Aș fi crezut $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ ar fi mai natural în timp ce $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ ar fi, de asemenea, adevărat
@Henry Ei bine, folosind $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, obținem $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Acel ' este simetric.

Lasă un răspuns Anulează răspunsul