cum pot calcula varianța lui p ca derivată dintr-o distribuție binomială? Să spunem că arunc n monede și obțin k capete. Pot estima p ca k / n, dar cum pot calcula varianța în acea estimare?
Mă interesează acest lucru, astfel încât să pot control pentru varianță în estimările raportului meu atunci când compar „puncte cu diferite numere de încercări”. Sunt mai sigur de estimarea lui p când n este mai mare, așa că aș dori să pot modela cât de fiabilă este estimarea.
Vă mulțumim anticipat!
exemplu:
- 40/100. MLE de p ar fi 0,4, dar care este varianța în p?
- 4/10. MLE ar fi în continuare 0,4, dar estimarea este mai puțin fiabilă, deci ar trebui să existe mai multă varianță în p.
Răspuns
Dacă $ X $ este $ \ text {Binomul} (n, p) $ atunci MLE din $ p $ este $ \ hat {p} = X / n $.
O variabilă binomială poate fi considerată ca suma variabilelor aleatorii $ n $ Bernoulli. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ unde $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
astfel încât să putem calcula varianța MLE $ \ hat {p} $ ca
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Deci, puteți vedea că varianța MLE devine mai mică pentru $ n $ mare și, de asemenea, este mai mică pentru $ p $ aproape de 0 sau 1. În termeni de $ p $ este maximizat când $ p = 0,5 $.
Pentru unele intervale de încredere, puteți consulta Intervalele de încredere binomiale
Comentarii
- Cred că link-ul este similar cu ceea ce caut ', dar vreau o valoare care să fie echivalentă cu varianța p. Cum pot obține acest lucru din intervalul de încredere?
- Am editat răspunsul meu original pentru a răspunde mai îndeaproape la întrebarea dvs.
- Cum considerați că formula varianței necesită p, dar dvs. aveți doar o estimare de p?
- Ați putea lua în considerare utilizarea unei transformări de stabilizare a varianței, cum ar fi $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ și apoi veți obține că varianța variabilei transformate este $ \ tfrac {1} {4n} $