Ya hay una pregunta como esta aquí para que mi pregunta pueda ser considerada duplicar, pero intentaré aclarar mi punto de que esta es una pregunta diferente.
¿Hay alguna manera de derivar la ley de Biot-Savart de la «ley de la fuerza de Lorentz» o simplemente de las ecuaciones de Maxwell?
El punto es que generalmente definimos, basándonos en experimentos, que la fuerza que siente una carga en movimiento en la presencia de un campo magnético es $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} $, pero en ese caso el campo magnético generalmente se deja para que se defina más adelante.
Ahora bien, ¿se puede usar esa ley de fuerza de alguna manera para obtener la ley de Biot-Savart como obtenemos la ecuación para el campo eléctrico directamente de la ley de fuerza de Coulomb?
Quería sé eso porque como se señaló en la pregunta que he mencionado, aunque las ecuaciones de Maxwell se pueden considerar más fundamentales, esas ecuaciones se obtienen después de que conocemos las leyes de Coulomb y Biot-Savart, así que si comenzamos con Maxwell » Si las ecuaciones para obtener las ecuaciones de Biot-Savart las usamos para encontrar las ecuaciones de Maxwell, creo que caeremos en un argumento circular.
En ese caso, sin recurrir a las ecuaciones de Maxwell, la única La forma de obtener la ley de Biot-Savart es a través de observaciones o ¿se puede derivar de alguna manera?
Comentarios
- Ni Maxwell ni Biot-Savart son fundamentales – todas estas fórmulas se derivan de Coulomb y una definición bien elegida de $ B $, como se menciona tangencialmente en esta breve perorata .
- @ ChrisWhite, Maxwell no se siguen solo de la ley de Coulomb, la relatividad especial y las definiciones. Por ejemplo, la ley de Gauss para el movimiento de cargas no rectilíneo no puede derivarse sin más suposiciones.
- Creo que @Hans de Vries puede proporcionar una respuesta elegante.
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$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ La ley de Biot-Savart es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell.
Suponemos Ecuaciones de Maxwell y elija el calibre de Coulomb, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Entonces $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Pero $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ En el estado estacionario esto implica $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Por lo tanto, tenemos la ecuación de Poisson para cada componente de la ecuación anterior. La solución es $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr «)} {| \ vr- \ vr» |} d ^ 3 r «. $$ Ahora solo necesitamos calcular $ \ VB = \ nabla \ times \ VA PS Pero $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr «)} {| \ vr- \ vr» |} = \ frac {\ VJ (\ vr «) \ times (\ vr- \ vr»)} {| \ vr- \ vr «| ^ 3} $$ y así $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr») \ times (\ vr- \ vr «)} {| \ vr- \ vr» | ^ 3} d ^ 3 r «. $$ Esta es la ley de Biot-Savart para un alambre de espesor finito. Para un alambre delgado, esto se reduce a $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr «)} {| \ vr- \ vr «| ^ 3}. $$
Anexo : En matemáticas y ciencias, es importante mantener tener en cuenta la distinción entre el desarrollo histórico y lógico de un sujeto. Conocer la historia de un sujeto puede ser útil para tener una idea de las personalidades involucradas y, a veces, para desarrollar una intuición sobre el tema. La presentación lógica del sujeto es la La forma en que los practicantes lo piensan. Encapsula las ideas principales de la manera más completa y simple. Desde este punto de vista, el electromagnetismo es el estudio de las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. Todo lo demás es secundario, incluida la ley de Biot-Savart.
Comentarios
- Pero cómo ‘ lo he visto hecho, Maxwell ‘ Las ecuaciones se derivan de la ley de biot-savart, que haría esta circular.
- @JLA: ‘ he agregado algo a direcciona la » circularidad » a la que te refieres.
- @JLA, no es posible derivar matemáticamente Maxwell ‘ s ecuaciones de la ley de Biot Savart. Lo que la gente a veces hace es inferir (llegar a) las ecuaciones de Maxwell ‘ de la ley de Biot-Savart para un caso específico como corrientes estacionarias y luego generalizarlas a todas las situaciones por palabra.
- En aras de la claridad, los operadores diferenciales se aplican en $ {\ bf r} $ y no en $ {\ bf r ‘} $, que ‘ s cómo se intercambian con integrales sobre $ {\ bf r ‘} $.
- @AG De hecho, tomar la derivada con respecto a $ {\ bf r ‘} $ no tiene sentido.Tenemos $ \ nabla = \ suma \ hat e_i \ parcial / \ parcial x_i $, no $ \ suma \ hat e_i \ parcial / \ parcial x ‘ _i $ (para lo cual yo escribiría $ \ nabla ‘ $ o algo así).
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Puede ser cierto que en los días de antaño la gente medía la fuerza resultante de una corriente filamentaria, descubriendo la ley de Biot-Savart, y luego, a su vez, la usaba como inspiración para construir las ecuaciones de Maxwell. cómo sucedió realmente históricamente, bien.
Pero esto es análogo a que un arqueólogo extraterrestre dentro de 10 millones de años haya encontrado una mano y un pie esqueléticos en la Tierra. De la mano, el arqueólogo llega a comprender qué le gustaba hacer al animal que tenía esa mano: que podía agarrar y usar herramientas, etc. Desde el pie, el arqueólogo llega a comprender que el animal al que pertenecía caminaba sobre dos patas y que normalmente pesaba en la edad adulta entre 100 y 300 libras.
Sólo más tarde el arqueólogo descubre que la mano y el ambos pies pertenecían al mismo animal: un ser humano. Pero la naturaleza del trabajo significa que el enigma de lo que era un ser humano tiene que dividirse en pedazos que puedan entenderse individualmente antes de que se pueda unir la imagen completa. Dicho esto, sería al revés sugerir que la mano y el pie son más fundamentales que el propio ser humano.
Las ecuaciones de Maxwell se han construido para ser consistentes con la ley de Biot-Savart y otras piezas de información. , como la ley de Coulomb. Por lo tanto, puede derivar Biot-Savart de Maxwell, pero no al revés, porque Maxwell es más general y lo abarca todo.
Si ya sabe la ley de fuerza de Lorentz, puede inferir la fuerza del campo magnético de un cable simplemente disparando partículas de prueba cargadas cerca del cable y observando su movimiento. Pero esto pone en duda cómo ya conoce la ley de fuerza de Lorentz, y así
Puede ir en círculos todo el día sobre lo que es o no fundamental, sobre lo que debe basarse en la observación experimental y lo que simplemente se construye para ser coherente con esas observaciones, pero a menudo hay una preferencia para que las observaciones experimentales «simples» se consideren fundamentales frente a construcciones teóricas t Qué incorporan muchas de estas observaciones – vea el comentario de Chris White de que las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse de la ley de Coulomb y algunas otras cosas.
Para mí, esto es una tontería. Las ecuaciones de Maxwell incorporan la suma total de nuestras observaciones (las que se ajustan al régimen clásico, al menos). Para mí, es lo que sabemos sobre el electromagnetismo clásico. Decir que se puede derivar Maxwell » s con un solo resultado más algunas suposiciones … bueno, se pierde el punto de que esas suposiciones también tuvieron que ser probadas y verificadas en primer lugar. Para mí, es muy, muy al revés señalar casos especiales (campos eléctricos, magnéticos, estáticos o dinámicos puros) y tratarlos como «fundamentales».
Editar: pero en realidad, un físico necesita trabajar en ambas direcciones. Para crear una nueva teoría, a menudo tenemos casos especiales que no sabemos que están conectados y debemos unirlos. Eso es construir las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Coulomb y Biot-Savart. Para analizar más fácilmente un problema en particular, para el que no estamos seguros de que exista una fórmula de caso especial, debemos recurrir a la descripción más general (Maxwell) y tratar de reducirlo a algo más simple y más fácil de resolver (en el En caso de que no haya corriente ni dependencia del tiempo, puede volver a la ley de Coulomb). Ambos enfoques son necesarios para ser lo más flexibles posible.
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A partir de un experimento de tipo Rowland Ring es posible definir permeabilidad como medida del flujo generado en una unidad de volumen por amperio-vuelta. Si luego asumimos que este flujo se disipa como una ley del cuadrado inverso, obtenemos la ley de biot savart como un análogo mágico de la ley de coulomb con la adición del producto cruzado cuidando la perpendicularidad de la dirección del campo y estrictamente en el entendimiento de que es una hipótesis de trabajo validada por su utilidad, ya que un elemento actual no puede existir aislado del resto de su circuito. Mi consejo: ignore todas las tentaciones de caer en más matemáticas de las mínimas necesarias, que lo llevarán a la comprensión. Espero que esto ayude .
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Siga el siguiente enlace. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot y vaya al encabezado «Trabajo». Dice que la ley se descubrió experimentalmente en el año 1820, es decir, 45 años antes de que se publicaran las ecuaciones de Maxwell. La formulación general de la La ley de Biot-Savart fue dada por P. Laplace. La expresión de la ley de Biot-Savart (la integración) muestra que el pri El principio de superposición ya está incluido en él.Las ecuaciones de Maxwell se desarrollaron más tarde y se diseñaron adecuadamente para abarcar las implicaciones de la ley de Biot-Savart. Quizás esa sea la razón por la que podemos derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Biot-Savart y viceversa.
Vaya a este vínculo https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force y vaya a la sección «Historial». Dice que en El año 1881, es decir, 16 años después de la publicación de las ecuaciones de Maxwell, Thomson derivó por primera vez una forma de la ley de fuerza de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell. Finalmente, Lorentz derivó la forma moderna de la ley de fuerza de Lorentz en 1892 a partir de las ecuaciones de Maxwell.
Así que la secuencia histórica es así:
Ley de Biot-Savart ==> Ecuaciones de Maxwell ==> Ley de fuerza de Lorentz.
Pero en las aulas estamos enseñado en la siguiente secuencia:
Primero: La ley de fuerza de Lorentz, para introducir el concepto de que el campo magnético ejerce fuerza sobre una carga en movimiento.
Segundo: La ley de Biot-Savart, para introducir el concepto de que el cha en movimiento Los rges producen un campo magnético.
Tercero: las ecuaciones de Maxwell; la generalización de todas las observaciones experimentales en electromagnetismo.
Entonces la conclusión es:
(1) La ley de Biot-Savart es una ley observada experimentalmente. Esta ley también incluye la idea ese principio de superposición también es válido en magnetostática. Esta ley proporcionó la base para la magnetostática.
(2) Las ecuaciones de Maxwell se derivaron de tal manera que abarcan los hallazgos de la ley de Biot-Savart ( junto con otras observaciones experimentales del electromagnetismo). Es una generalización teórica. Las ecuaciones de Maxwell son más fundamentales que cualquier otra observación experimental porque los experimentos generalmente se realizan bajo ciertas circunstancias y, por lo tanto, no pueden dar una información generalizada.
(3) La ley de fuerza de Lorentz se derivó de las ecuaciones de Maxwell pero se puede verificar directamente de forma experimental.
NOTA
«Observación y luego generalización»: Creo que esta es la forma en que se desarrolla la física. La observación (experimento) siempre establece la base. La generalización engloba la observación y extiende su usabilidad a otras configuraciones, casos y circunstancias imaginables. Por lo tanto, siempre es posible derivar la generalización de la observación y viceversa [La ley de Biot-Savart puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse de la ley de Biot-Savart ] .
Aquí se enfatiza que la Ley de Biot-Savart es la observación importante que inició el campo de la magnetostática. Se pueden usar las ecuaciones de Maxwell (Generalización) y el concepto de potencial vectorial (una propiedad general del campo vectorial) para derivar la ley de Biot-Savart, pero eso no significa que la ley sea solo un paso intermedio en el desarrollo del conocimiento con respecto a la magnetostática. Que es posible derivar la ley de Biot-Savart de las ecuaciones de Maxwell y que el concepto de potencial vectorial solo certifica que la generalización en las ecuaciones de Maxwell es correcta.
Comentarios
- Pero el OP no estaba preguntando sobre el orden histórico de los eventos.
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Tenemos que mirar la línea de tiempo (la historia). Se publicó la ley de Biot-Savart antes de la publicación de las ecuaciones de Maxwell. Por lo tanto, la ley de Gauss para campos magnéticos (la segunda ecuación de Maxwell) se deriva de la ley de Biot-Savart y no al revés. La derivación de la ley de Gauss para campos magnéticos (la segunda ecuación de Maxwell ) de la Ley de Biot-Savart se puede leer aquí Ley de Gauss para campos magnéticos
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El problema con la ley de Biot-Savart es que teóricamente está formulada en términos de elementos $ Idl $ y luego integrados. Pero en la mayoría de los libros de texto también se formula para cargos POINT, en términos de $ qv $ . El problema aquí es que cuando una carga puntual $ q $ se mueve con velocidad $ v $ , el campo magnético en espacios cercanos CAMBIA con el tiempo, es decir, tenemos un $ \ frac {dB} {dt} $ , y luego tienen lugar los efectos de inducción y se viola la condición magnetostática. Por el contrario, cuando $ Idl $ se integra a lo largo de un cable continuo, el campo $ B $ es constante, (magnetostático ). Las dos situaciones son muy diferentes y, según mi leal saber y entender, el campo de cargo puntual $ B $ nunca se ha medido directamente. La Fuerza en $ qv $ , sí, pero no el campo producido por $ qv $ .