No eres el único que cuestiona la infinidad de números. De hecho, hay escuelas de pensamiento enteras que exploran el espectro infinito de números, escuelas de pensamiento enteras que exploran los números transfinitos más allá del espectro infinito, y escuelas de pensamiento enteras que exploran cómo hacer matemáticas donde los infinitos no existen (conocidas como escuelas de pensamiento finitistas). pensamiento)!
Fundamental para la discusión de los números infinitos es el concepto de aritmética de Peano. Giuseppe Peano desarrolló un conjunto de axiomas para los llamados «números naturales», que se definen informalmente como la secuencia 0, 1, 2, 3, 4. .. Los axiomas son:
- 0 es un número natural (declaramos que existe, es una constante)
- Para cada número natural
x, x = x (reflexivo: todo» es igual «a sí mismo)
- Para todos los números naturales
x y y, si x = y entonces y = x (propiedad simétrica de igualdad)
- Para todos los números naturales
x, y, z, si x = y y y = z luego x = z (propiedad transitiva de igualdad)
- Para todos
a y b, si b es un número natural y a = b entonces a es un número natural (la igualdad es «cerrada»)
Entonces necesitamos definir una función S, conocida como función sucesora, por lo que podemos tener números mayores que 0. De manera informal, S(0)=1, S(1) = 2 y así encendido.
- Para cada número natural
n, S(n) también es un número natural
- Para todos los números naturales
m y n, m = n si y solo si S(m) = S(n) (S es una inyección)
- Para cada número natural
n, S(n) = 0 es falso (el sucesor de un número nunca es 0 … también conocido como 0 es el «primer» número natural)
Ahora necesitamos el axioma que hace que su pregunta sea tan exquisitamente interesante, el axioma de inducción:
- si
f es una función tal que t f(0) es verdadero y, para cada número natural n, si f(n) es verdadero, entonces f(S(n)) es verdadero, entonces f(n) es verdadero para todos los números naturales.
Ese último axioma es el uno que hace que ocurra un comportamiento tan interesante. Es el que intenta llegar al infinito, y pretende ofrecer formas de captarlo. Y, como todos los axiomas, no necesariamente afirma que sea «correcto», simplemente que se declara verdadero dentro de los confines. de las reglas de la aritmética (como la define Peano).
Gran parte de la aritmética se formalizó en lo que se conoce como «teoría de conjuntos», que es la base de gran parte de nuestras matemáticas porque parece ser fundamental en cuanto a cómo está organizado el universo. Los conjuntos tratan con colecciones particulares de cosas, como «el conjunto de números naturales que son menores que 5», que se escribe como {0, 1, 2, 3, 4}.La aritmética de Peano se asigna más comúnmente a la teoría de conjuntos usando la siguiente construcción:
- El conjunto vacío
{} se declara como la constante 0 en los axiomas de Peano
- La función sucesora
S(n) se define como` S (n) = {{}, {n }} (El sucesor de cualquier número se define como la unión del conjunto vacío y un conjunto que contiene el número anterior)
Esa definición suena un poco obtusa, pero se eligió porque Es fácil mapear todos los otros axiomas de Peano en estas dos definiciones. Con esto, obtenemos la capacidad de usar los axiomas de la teoría de conjuntos para manipular «números» de formas muy poderosas y fundamentales. Una de las más importantes es el concepto de cardinalidad de un conjunto. Este es el «número» de cosas en un conjunto. Informalmente {1, 2, 3}, {3, 4, 5} y {manzana, naranja, orangután} tienen una cardinalidad de 3 porque tienen 3 elementos, pero {2, 4, 6, 8} tiene una cardinalidad de 4.
Esto es donde se vuelve complicado, porque resulta que «el conjunto de todos los números naturales» es un conjunto válido, generalmente representado con una N mayúscula, por lo que podemos preguntar «cuál es la cardinalidad de ¿el conjunto de todos los números naturales? «La respuesta es» infinito «, y esa afirmación se hace como una definición. Definimos la cardinalidad de N como un número particular, conocido como ℵ₀, que recibe el nombre en inglés «infinito contable». Sí, para los matemáticos, el infinito es contable, porque teóricamente puedes empezar en 0, contar hacia arriba 1, 2, 3, 4, 5 … y «llegar» ℵ₀ según el axioma de inducción. También hay infinitos incontables, como ℵ₁, conocido como la cardinalidad del continuo o el número de números reales (asumiendo que la hipótesis del continuo es cierta … incluso hay opiniones diferentes al respecto). Incluso hay una escuela de Pensé en números «transfinitos» que pueden manejar frases como «¡Te desafío el doble del infinito más una vez!»
Bienvenido a la madriguera del infinito en matemáticas. «Hemos definido la palabra para que signifique algo aquí. Se define con respecto a un conjunto de axiomas. ¿Se cumplen esos axiomas en la» vida real? «La mayoría de los matemáticos encuentran conveniente suponer que sí. La computadora en la que estás leyendo esto hoy se desarrolló utilizando muchos modelos de cálculo, y las raíces del cálculo se encuentran en lo profundo del infinito (en particular, su concepto de «límites). Hasta ahora, esa suposición nos ha hecho bastante bien. ¿Es esa suposición» verdadera? «Eso es más complicado pregunta. Existen escuelas de pensamiento finitistas que parten del supuesto de que el número de números naturales es finito, generalmente relacionado con la capacidad finita de la mente humana o del universo de una forma u otra. Si el tiempo es finito y la computación es finita, entonces no se puede computar teóricamente el «infinito», por lo que argumentan que no existe. ¿Están en lo cierto? Bueno, sí … por sus definiciones, así como la afirmación opuesta es verdadera por las definiciones de los axiomas de Peano y la teoría de conjuntos. Ambos pueden posiblemente ser verdaderos porque cada uno define la palabra «infinito» para significar algo ligeramente diferente.
Como conclusión, puede valer la pena incursionar en lingüística elección: «Entonces, ¿diremos que los números son infinitos?» Podemos decir una gran cantidad de cosas. Que esas cosas cumplan con el ideal de verdad (en sí mismo una palabra muy difícil de describir formalmente) depende en gran medida de los significados individuales de cada uno palabras. Si acepta la definición de «infinito» dada por las matemáticas convencionales, entonces «los números son infinitos» es cierto, literalmente porque las matemáticas convencionales definen el «infinito» como tal. Si acepta la definición dada por los finitistas, entonces «los números son infinitos» es falso, literalmente porque los finitistas definen «infinito» como tal. Puede elegir su propia definición. Incluso puede ser contextual (no es raro encontrar matemáticos cristianos que definen «infinito» dentro de su religión de manera ligeramente diferente a como lo definen dentro de las matemáticas, sin efectos nocivos además de dos conceptos muy similares a los que se les asigna la misma palabra en su vocabulario) .
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